高二数学苏教版选修11讲义第一部分第1章11111四种命题

_1．1命题及其关系1．1．1四种命题命题的概念观看以下语句的特点：(1)这幅画真美丽！(2)求证eq\r(3)是无理数；(3)菱形是平行四边形吗？(4)等腰三角形的两底角相等；(5)x>2018；(6)假设x2＝20182，那么x＝2018.问题：在这些语句中哪些能推断出真假，哪些不能推断出真假？提示：(1)(2)(3)(5)不能推断真假；(4)(6)能推断真假．1．能够推断真假的语句叫做命题．2．命题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：推断为真的命题.,假命题：推断为假的命题.))四种命题及其关系观看以下四个命题：(1)假设两个三角形全等，那么这两个三角形相像；(2)假设两个三角形相像，那么这两个三角形全等；(3)假设两个三角形不全等，那么这两个三角形不相像；(4)假设两个三角形不相像，那么这两个三角形不全等．问题：命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件．对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否认和结论的否认；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否认和条件的否认．1．四种命题的概念(1)假如一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．(2)假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否认和结论的否认，那么这两个命题叫做互否命题．(3)假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否认和条件的否认，那么这两个命题叫做互为逆否命题．2．命题的四种形式原命题：假设p那么q；逆命题：假设q那么p；否命题：假设非p那么非q；逆否命题：假设非q那么非p.3．四种命题之间的关系四种命题真假之间的关系观看以下命题，答复后面的问题：(1)假如两个三角形全等，那么它们的面积相等；(2)假如两个三角形的面积相等，那么它们全等；(3)假如两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；(4)假如两个三角形面积不相等，那么它们不全等．问题1：假设把命题(1)看作原命题，这四个命题之间有什么关系？提示：(1)与(2)、(3)与(4)为互逆关系；(1)与(3)、(2)与(4)为互否关系；(1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系．问题2：推断四个命题的真假．提示：命题(1)(4)是真命题；命题(2)(3)是假命题．1．四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．1．原命题是相对其他三种命题而言的．事实上，可以把任意一个命题看成原命题，来讨论它的其他形式的命题．2．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，大前提仍作大前提．3．假设两个命题互为逆否命题，那么它们有相同的真假性，即它们同真同假．所以，当一个命题的真假不易推断时，可以通过推断其逆否命题的真假来确定原命题的真假．命题的概念及其推断[例1]推断以下语句是否为命题？假设是命题，那么推断其真假：(1)eq\r(2)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(5)当x＝4时，2x＋1>0；(6)把门关上．[思路点拨]首先推断是不是命题，假如是，然后再推断它是真命题还是假命题．[精解详析](1)能推断真假，是命题，是假命题．(2)不是命题，由于语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法推断语句的真假(这种语句叫“开语句〞)．(3)不能推断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能推断真假，是命题，是真命题．(6)由于没有作出推断，所以不是命题．[一点通]1．推断一个语句是不是命题，关键是看能不能推断真假．2．判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种状况作出正确的推断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．3．疑问句、感慨句、祈使句不是命题．1．以下语句：(1)2＋2eq\r(2)是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？其中是命题的是________．解析：(1)能推断真假，是命题，是假命题；(2)能推断真假，是命题，是假命题；(3)不能推断真假，不是命题；(4)是命题，是真命题；(5)不能推断真假，不是命题．答案：(1)、(2)、(4)2．推断以下命题的真假：(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)不等式|3x－2|>4的解集是－∞，－eq\f(2,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))；(4)平行于同一平面的两条直线平行．解：(1)y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，明显其最小正周期为π，故(1)为真命题．(2)斜率相等的两条直线有可能平行，也有可能重合，故(2)是假命题．(3)由|3x－2|>4得，3x－2>4或3x－2<－4，∴x>2或x<－eq\f(2,3)，∴|3x－2|>4的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪(2，＋∞)．故(3)为真命题．(4)平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故(4)为假命题.四种命题及其真假推断[例2]分别写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并推断其真假：(1)假设实数a，b，c成等比数列，那么b2＝ac；(2)函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2<0.[思路点拨]先分清所给命题的条件和结论，再按要求写出逆命题、否命题和逆否命题，并做出真假推断．[精解详析](1)原命题可以写成：假设实数a，b，c成等比数列，那么b2＝ac，为真命题．逆命题：假设实数a，b，c满意b2＝ac，那么a，b，c成等比数列，为假命题．否命题：假设实数a，b，c不成等比数列，那么b2≠ac，为假命题．逆否命题：假设实数a，b，c，满意b2≠ac，那么a，b，c不成等比数列，为真命题．(2)原命题可以写成：假设函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，那么loga2<0，为真命题．逆命题：假设loga2<0，那么函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，为真命题．否命题：假设函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，那么loga2≥0，为真命题．逆否命题：假设loga2≥0，那么函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，为真命题．[一点通]1．四种命题进行转化时应首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的概念直接转化即可．2．对于命题的真假推断，当直接推断有难度时，可以通过推断它的逆否命题的真假来推断．3．写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解：(1)逆命题：假设一个数的平方是非负数，那么这个数是实数．是真命题．否命题：假设一个数不是实数，那么它的平方不是非负数．是真命题．逆否命题：假设一个数的平方不是非负数，那么这个数不是实数．是真命题．(2)逆命题：假设两个三角形全等，那么这两个三角形等底等高．是真命题．否命题：假设两个三角形不等底或不等高，那么这两个三角形不全等．是真命题．逆否命题：假设两个三角形不全等，那么这两个三角形不等底或不等高．是假命题．4．写出以下原命题的其他三种命题，并分别推断其真假：(1)在△ABC中，假设a>b，那么∠A>∠B；(2)正偶数不是质数；(3)假设x∈A那么x∈(A∪B)．解：(1)原命题：在△ABC中，假设a>b，那么∠A>∠B，真命题；逆命题：在△ABC中，假设∠A>∠B，那么a>b，真命题；否命题：在△ABC中，假设a≤b，那么∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，假设∠A≤∠B，那么a≤b，真命题．(2)原命题：假设一个数是正偶数，那么它肯定不是质数，假命题，例如2；逆命题：假设一个数不是质数，那么它肯定是正偶数，假命题，例如9；否命题：假设一个数不是正偶数，那么它肯定是质数，假命题，例如9；逆否命题：假设一个数是质数，那么它肯定不是正偶数，假命题，例如2.(3)原命题：假设x∈A，那么x∈(A∪B)，真命题；逆命题：假设x∈(A∪B)，那么x∈A，假命题；否命题：假设x∉A，那么x∉(A∪B)，假命题；逆否命题：假设x∉(A∪B)，那么x∉A，真命题.四种命题的综合应用[例3]证明：函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0.[思路点拨]依据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可．[精解详析]法一：原命题的逆否命题为“函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，假设a＋b<0，那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．〞证明如下：假设a＋b<0，那么a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，那么a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相冲突．因此假设不成立，故a＋b≥0.[一点通]由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．5．c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减，q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R，假如p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．解：函数y＝cx在R上单调递减⇔0<c<1.记P＝{c|0<c<1}不等式x＋|x－2c|>1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.∵x＋|x－2c|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2c，x≥2c，,2c，x<2c，))∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.∴不等式x＋|x－2c|>1的解集为R⇔2c>1⇔c>eq\f(1,2).记Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(c>\f(1,2))))).假如p正确，且q不正确，借助数轴得0<c≤eq\f(1,2).假如p不正确，且q正确，借助数轴得c≥1.∴c的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．6．设有两个命题p，q，其中p：对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立；命题q：f(x)＝(4a－3)x在R上为减函数．假如两个命题中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为2x＋1＞0，明显不能恒成立，故a＝0不适合；当a≠0时，不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝22－4a＜0，))解得ap：{a|a＞1}．由f(x)在R上为减函数，得0＜4a－3＜1，解得eq\f(3,4)＜aq：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＜a＜1))))，由题意，可知p，q一真一假．当p真q假时，a的取值范围是{a|a＞1}∩aeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(3,4)))或a≥1＝{a|a＞1}；当p假q真时，a的取值范围是{a|a≤1}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＜a＜1))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＜a＜1))))；所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)．1．写四种命题时，可以按以下步骤进行：(1)找出原命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否认非p和结论q的否认非q；(3)依据四种命题的概念写出全部命题．2．推断命题的真假时，可以依据互为逆否的命题的真假性相同来推断，这也是反证法的理论根底．[对应课时跟踪训练(一)]1．给出以下语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真美丽！⑤假设x∈R，那么x2＋4x＋5>0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．解析：①是命题，且是假命题，由于空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是假命题，由于数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感慨句，不是命题；⑤是命题，由于x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0恒成立，所以是真命题．答案：①③⑤⑤2．命题“假设实数a满意a≤2，那么a2＜4〞的否命题是_______命题(填“真〞或“假〞)．解析：命题“假设实数a满意a≤2，那么a2＜4〞的否命题是“假设实数a满意a＞2，那么a2≥4〞．它是真命题．答案：真3．命题“对于正数a，假设a>1，那么lga>0〞及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．解析：逆命题：对于正数a，假设lga>0，那么a>1.否命题：对于正数a，假设a≤1，那么lga≤0.逆否命题：对于正数a，假设lga≤0，那么a≤1.依据对数的性质可知都是真命题．答案：44．命题“假设x，y都是偶数，那么x＋y也是偶数〞的逆否命题是______________________．解析：由于“x，y都是偶数〞的否认表达是“x，y不都是偶数〞，“x＋y是偶数〞的否认表达是“x＋y不是偶数〞，故原命题的逆否命题为“假设x＋y不是偶数，那么x，y不都是偶数〞．答案：假设x＋y不是偶数，那么x与y不都是偶数5．给出以下命题：①“假设x2＋y2≠0，那么x，y不全为零〞的否命题；②“假设{an}既是等差数列，又是等比数列，那么an＝an＋1(n∈N*)〞的逆命题；③“假设m>1，那么不等式x2＋2x＋m>0的解集为R〞的逆否命题．其中全部真命题的序号是________．解析：①的否命题为“假设x2＋y2＝0，那么x，y全为零〞是真命题；②的逆命题为“数列{an}中，假设an＝an＋1(n∈N*)，那么数列{an}既是等差数列，又是等比数列〞是假命题，如0,0,0，…；对于③当m>1时，Δ＝4－4m<0恒成立，x2＋2x＋m>0的解集为R是真命题．因此逆否命题是真命题．答案：①③6．把以下命题写成“假设p，那么q〞的形式，并推断真假．(1)奇函数的图象关于原点对称；(2)当x2－2x－3＝0时，x＝－3或x＝1；(3)a<0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增大而增大．解：(1)假设一个函数是奇函数，那么它的图象关于原点对称，是真命题．(2)假设x2－2x－3＝0，那么x＝－3或x＝1，是假命题．(3)假设a<0，那么函数y＝ax＋b的值随着x值的增大而增大，是假命题．7．推断以下命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并推断其真假．(1)假设四边形的对角互补，那么该四边形是圆的内接四边形；(2)假设在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，那么该函数图象与x轴有