第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）（解析版）

第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性质A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。4.交集的性质A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A.5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。【要点注意】1．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；②交集的补集等于补集的并集，即．方法方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据交集的定义可求.【详解】，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为，，所以，故选:B．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为，故可得，则.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合，非空集合，则能使成立的所有实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】由知，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵，∴，，∴，解得，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合，，则中元素的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】联立方程解得或，得到答案.【详解】，解得或，故中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合，，集合B中有3个元素，则A中元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．不确定【答案】C【分析】根据条件得到或，进而可得集合A中元素个数.【详解】，则集合B中必有元素1，2当时，，当时，，故集合A中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先求得集合，由此确定正确选项.【详解】，所以，.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】先化简集合，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合，，因此，.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合，若，则的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；【详解】解：因为，所以，所以或；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合，，若，则x的可能取值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合，，且根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得或．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合，，则满足条件的实数为

A．0 B．1 C．​ D．​【答案】CD【分析】由说明是的子集，然后利用子集的概念分类讨论的取值．【详解】解：由，所以．又，，所以，或，或．时，集合A违背集合元素的互异性，所以．时，或．符合题意．时，得或，集合均违背集合元素互异性，所以．所以满足条件的实数的个数有2个．故选CD．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集，集合，则______．【答案】【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集，集合，所以，故答案为：2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S＝{2,3,4}，集合A＝{4,3}，则＝____；若全集S＝{三角形}，集合B＝{锐角三角形}，则＝______；若全集S＝{1,2,4,8},A＝，则＝_______；若全集U＝{1,3,a2＋2a＋1}，集合A＝{1,3}，＝{4}，则a＝_______；已知U是全集，集合A＝{0,2,4}，＝{－1,1}，＝{－1,0,2}，则B＝_____.【答案】

{2}

{直角三角形或钝角三角形}

{1,2,4,8}

1或－3

{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S＝{2,3,4}，集合A＝{4,3}，由补集的定义可得＝{2}；若全集S＝{三角形}，集合B＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S＝{1,2,4,8},A＝∅，由补集的定义＝{1,2,4,8}；若全集U＝{1,3,a2＋2a＋1}，集合A＝{1,3}，＝{4}，故即，即，解得1或－3；已知U是全集，集合A＝{0,2,4}，＝{－1,1}，故，＝{－1,0,2}，故{1,4}。故答案为：{2}，{直角三角形或钝角三角形}，{1,2,4,8}，1或－3，{1,4}题型八：根据补集运算确定集合或参数3．（2021·广东外语外贸大学实验中学高一期中）若全集且，则集合A的真子集共有______________个．【答案】【分析】由补集结果可确定集合，由中元素个数可确定真子集个数.【详解】且，，共个元素，的真子集共有个.故答案为：.4．（2021·全国·高一课时练习）设，，全集，，或，则______.【答案】1【分析】根据补集的概念对应系数相等即可求出结果.【详解】因为，，所以或.又或，所以，，所以.故答案为：1.考点四：集合的交并补题型九:交并补混合运算1．（湖南省部分校2021-2022学年高二下学期基础学科知识竞赛数学试题）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据交集与补集的定义求解.【详解】，，，故选：C.2．（2022·浙江宁波·高二期末）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求集合的补集，再根据并集运算求出结果.【详解】因为，，所以；因为，所以.故选：B.3．（2020·山西大附中高二阶段练习）已知集合，则（

）A． B．E C．F D．Z【答案】A【分析】由交集补集的定义求解即可【详解】易知，所以．故选：A．题型十：根据交并补混合运算确定集合或参数4．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设全集，集合，，．(1)求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求，再求交集即可；（2）先求，再根据数轴上的关系分析时实数的取值范围即可(1)或，故．(2)，因为，故．5．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据并集的概念可求出结果；（2）求出后，分类讨论是否为空集，再根据交集的结果列式可求出结果.(1)当时，，.(2){或，当时，，此时，解得；当时，若，则解得.综上，实数的取值范围为.6．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）已知集合A＝，．(1)当m＝1时，求AB，(A)B；(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数的定义域为集合B；②不等式的解集为B．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用集合的运算求解即可.（2）通过AB＝A得出，计算时注意讨论A为空集的情况.(1)选条件①：（1）当时，，选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；(2)若，则当时，，解得当时，，即，解得综上，实数m的取值范围为考点五：Venn图题型十一：Venn图1．（湖北省武汉市四校联合体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知，，，则（

）A． B．N C． D．M【答案】D【分析】根据Venn图判断即可【详解】因为，，，故，故故选：D2．（2022·河南河南·高一期末）集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出集合，再结合韦恩图及交集、并集、补集的定义计算可得；【详解】解：∵，，∴，则，，选项A中阴影部分表示的集合为，即，故A错误；选项B中阴影部分表示的集合由属于A但不属于B的元素构成，即，故B正确；选项C中阴影部分表示的集合由属于B但不属于A的元素构成，即，有1个元素，故C错误；选项D中阴影部分表示的集合由属于但不属于的元素构成，即，故D错误．故选：B．3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二期中）已知，，则图中阴影表示的集合是（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】结合图像以及补集的知识求得正确答案.【详解】由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，即阴影表示的集合是，所以.故选：D4．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.【详解】解：如图所示，A.对应的是区域1；

B.对应的是区域2；C.对应的是区域3；

D.对应的是区域4.故选：B考点六：集合的应用一、单选题1．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为.故选：A.2．（2021·全国·高一期中）学校对高一学生进行体质检测，检测项目包括跑步和立定跳远，某班65名学生中有的学生两项检测都未达标，跑步达标的有35人，立定跳远达标的有42人，则该班两项检测都达标的学生人数为（

）A．13 B．23C．25 D．30【答案】C【分析】求出至少有一项检测达标的学生人数即可得出.【详解】两项检测都未达标的学生人数为，所以至少有一项检测达标的学生人数为，所以两项检测都达标的学生人数为．故选：C.3．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（

）A．28 B．23 C．18 D．16【答案】C【分析】分析出只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，即可得解.【详解】参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，所以只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，所以参加本次运动会的人数共有18人.故选：C4．（2021·江苏·高一期中）某班有30人参加了“第十四个五年规划的知识竞赛”若答对第一题的有18人，答对第二题的有16人，两题都答对的有8人，则一、二两题都没答对的有（

）A．3人 B．4人 C．5人 D．6人【答案】B【分析】结合交并补集的概念，结合题意即可求出结果.【详解】设全班的同学组成全集，答对第一题的同学组成集合，答对第二题的同学组成集合，由题意可得中元素有18个，中元素有16个，中元素有8个，所以中元素的个数为个，所以中元素的个数为个，故一、二两题都没答对的有人，故选：B.二、填空题5．（2021·湖南·高一期中）某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有___________人.【答案】5【分析】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得，解方程可求得结果【详解】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得，解得.故答案为：56．（2020·黑龙江·大兴安岭实验中学高一阶段练习）某校高一（1）班有学生50人，参加数学小组的有24人，参加物理小组的有30人，至少参加一个小组的有43人，则既参加数学小组又参加物理小组的人数为____________.【答案】11【分析】根据集合的交集并集的定义得到答案.【详解】既参加数学小组又参加物理小组的人数为.故答案为：11.7．（2021·湖北黄石·高一阶段练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.【答案】9【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故答案为：9.考点七：集合新定义1．（2022·贵州·凯里一中高一期中）已知且，若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用集合的含义解答.【详解】解：由题得.故选：B2．（2022·全国·高一）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”，则的取值为____________．【答案】0【分析】根据题中定义，结合子集的定义进行求解即可.【详解】当时，，显然，符合题意；当时，显然集合中元素是两个互为相反数的实数，而集合中的两个元素不互为相反数，所以集合、之间不存在子集关系，不符合题意，故答案为：3．（2022·北京一七一中高一阶段练习）已知集合.对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）.(1)若，，求和；(2)若满足且，求的所有可能结果.【答案】(1)和(2)的所有可能结果为【分析】（1）代入和，逐个计算出，，，和，，，，即可得到答案.（2）根据，得到，利用，得到，然后，分类讨论，即可得到，①；②；③；④；四种情况下的所有可能结果.(1)当时，，，，；当时，，，，；(2)因为，所以，，又因为，所以，，因为，当时，，当时，，所以，当时，经检验符合题意，当时，经检验符合题意，当时，经检验符合题意，当时，经检验符合题意.所以，的所有可能结果为.4．（2022·北京二中高一阶段练习）对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.(1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.【答案】(1)不是“和谐集”，不是“和谐集”(2)证明见解析，(3)7【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解(1)对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”，对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集”(2)设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，故的奇偶性相同①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”，若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数综上，集合中元素个数为奇数(3)由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”当，设，去掉1后，，去掉3后，，去掉5后，，去掉7后，，去掉9后，，去掉11后，，去掉13后，，故是“和谐集”，元素个数的最小值为7巩固巩固提升一、单选题1．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依题意图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以.故选：C2．（2021·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知集合，，则的子集个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】由交集运算与子集的定义求解即可【详解】因为，，所以，所以的子集为，所以的子集个数为1，故选：B3．（2022·江苏·高一）已知集合或，则（

）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】根据交集的概念及运算法则求出交集.【详解】由题意得：，故选：C．4．（2021·新疆·沙湾县第一中学高一期中）已知全集，集合，集合，则集合的真子集的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．7个【答案】B【分析】先求出，再计算真子集个数即可.【详解】由题意知：，则，则的真子集的个数为.故选：B.5．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集的计算即可求解.【详解】解：因为，，所以；故选：A6．（2022·陕西省安康中学高一期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．R【答案】D【分析】求出集合A，再利用并集的定义直接计算作答.【详解】依题意，，而，所以．故选：D7．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合与集合的补集，利用交集运算求解即可.【详解】解：因为全集，集合，，则，，故.故选：B.二、多选题8．（2022·全国·高一）若集合，集合，则正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】根据，且可判断A选项；利用集合的包含关系可判断B选项；利用集合的运算可判断CD选项.【详解】对于A选项，，且，A对；对于B选项，，所以，，，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，，D对.故选：ABCD.9．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）下列关系中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据常用集合的专用符号，结合元素与集合的关系，以及集合的补运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：表示整数集，是整数，故A正确；对：表示正整数集，不是正整数，故B错误；对：表示有理数集，是有理数，故C正确；对：表示无理数构成的集合，是无理数，故D正确；故选：ACD.10．（2022·全国·高一）已知集合A，B均为R的子集，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】如图所示根据图像可得,故A正确；由于，故B错误；,故C错误故选：AD11．（2022·全国·高一专题练习）对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（

）．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而判断即可；【详解】解：因为，，所以，∴．故选：CD三、填空题12．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为__________.【答案】2【分析】先求后再计算即可.【详解】的非空真子集的个数为.故答案为：213．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合，则的子集的个数为___________.【答案】8【分析】先求得，然后求得的子集的个数.【详解】，，有个元素，所以子集个数为.故答案为：14．（2020·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知，则_________【答案】【分析】利用交集的运算解题即可.【详解】交集即为共同的部分，即.故答案为：15．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）若A=，B=，则=____________【答案】【分析】由集合中的条件组成方程组求解可得.【详解】将代入，得，解得，则，所以.故答案为：16．（2022·全国·高一）满足的所有集合是______.【答案】或或或【分析】根据子集的定义和交集的定义求解即可.【详解】∵，∴为的子集，∴或或，∴或或或，故答案为：或或或.17．（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．【答案】23【分析】利用容斥原理判断参加田赛和径赛的同学人数，进而可得没有参加比赛的人数.【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为人.故答案为：2318．（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知集合，则的元素个数为___________.【答案】5【分析】直接求出集合A、B，再求出，即可得到答案.【详解】因为集合，集合，所以，所以的元素个数为5.故答案为：5.19．（2022·湖南·高一课时练习）已知，为非空集，为全集，且，用适当的符号填空：（1）______；

（2）______；（3）______；

（4）______；（5）______；

（6）______；（7）________；

（8）________．【答案】

=

=

=

=

【分析】根据集合的交集，并集，补集的性质及子集、集合相等的概念求解.【详解】由交集，并集，补集的运算及性质，结合子集、集合相等求解，直接写出答案即可.故答案为：，，，，=，=，=，=，，20．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则，则下列结论不正确的个数是__________个.（1）集合中至多有2个元素；（2）集合中至少有4个元素；（3）集合中有且仅有4个元素；（4）集合中至多有4个元素.【答案】3【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点.【详解】因为若，则，所以，，则；当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，所以集合M中至少有4个元素．故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，故答案为：3.四、解答题21．（2022·全国·高一）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意可得，利用交集的定义运算即得；（2）由题可得，即得．(1)当时，，；(2)由，则有：，解得：，即，实数的取值范围为．22．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知集合．(1)求；(2)求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据并集的定义计算可得；（2）根据交集、补集的定义计算可得；(1)解：因为，，所以．(2)解：因为，，，所以，所以．23．（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）设全集为R，集合，，求，．【答案】或；或【分析】根据交集、并集的概念，先求得、，根据补集运算的概念，即可得答案。【详解】因为，，所以，则或，又，所以或24．（2016·天津市红桥区教师发展中心高一期中）（1）已知全集，集合={}，={}，求（分别用描述法和列举法表示结果）；（2）已知全集，若集合，求集合；（3）已知集合，当集合只有一个元素时