2023届高考前迅速提分复习专题2-6 特殊与一般思想中的六种题型 （解析版）

第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat12页2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））题型一：三角函数与解三角形1．（2021·上海青浦·一模）若数列：中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为__________.【答案】【分析】根据题意，可知当时，不符合题意；所以，则均成立，从而得出，通过类比推理得出对一切正整数恒成立，进而可得出，即可得出实数的所有取值.【详解】解：当时，，，不符合题意，又因为，所以，则均成立，则，即，，以此类推，对一切正整数恒成立，因为当时，，则，所以，解得：，经检验，符合题意，综上所述，实数的所有取值组成的集合为.故答案为：.题型二：平面向量一、单选题1．（2019秋·上海奉贤·高二校考期末）下列命题正确的是（

）A．单位向量都相等B．若且，则C．，则D．若与是单位向量，则【答案】C【分析】利用向量的定义知A错误；利用向量数量积的运算知B错误；利用向量模长的运算知C正确，利用两个向量垂直，数量积为0知D错误.【详解】对于A，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A错误；对于B，若，根据数量积公式可得，由可得，不能得到，故B错误；对于C，由，可得，所以，故C正确．对于D，若与是单位向量，且，有，故D错误.故选：C.二、解答题2．（2023春·上海闵行·高二校联考阶段练习）我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为.(1)求和的值；(2)求的值；(3)当为偶数时，证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）类比（1），结合排列组合的知识，二项式定理，求解即可；（3）类比（2）的考虑方法，可得，，由二项式定理可得，根据组合数的运算性质化简得解.【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，它们的范数依次为，；（2）当为奇数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，可按照含0个数为进行讨论：的个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；的个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为1；，，，两式相加除以2得：.（3）当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：的个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；的个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为1；所以，.因为，①，②得，，所以.思路一：因为，所以..思路二：得，.又因为，所以【点睛】关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题.题型三：数列1．（2021·上海徐汇·一模）已知，记表示中的最大值，表示中的最小值，若，数列和满足，则下列说法中正确的是（

）A．若，则存在正整数，使得 B．若，则C．若，则 D．若，则存在正整数，使得【答案】B【分析】根据时，，利用二次函数的性质可得即可判断A，当时，分类讨论可判断数列极限确定B，时判断数列的增减性判断C，由题意可得即可判断D.【详解】设的解为t，当时，,因为，所以，依次类推，，故A错误；当时，，当时，，所以B正确；当时，，所以是递增数列，所以无极限，故C错误；因为，所以，故D错误.故选：B2．（2022·上海市松江二中高三开学考试）若实数数列满足，则称数列为数列.(1)请写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零；(2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值；(3)已知为数列，求证：为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.【答案】(1)(答案不唯一)；(2)；(3)证明见解析.【分析】（1）根据数列的定义写出一个满足条件的数列即可.（2）由数列的定义，只需让正整数且间的间隔尽量小，结合题设找到后续各项数字出现规律，找到对应的最小位置，即可得的最小值.（3）由数列的定义，分别从充分性、必要性两方面证明结论，注意反证法的应用.(1)由题设，，又，所以，存在满足条件，又，则，综上，满足题设的数列有.(2)由题设，为，所以数列从开始依次往后各项可能出现的数字如下：，，，，，，，，…，要使的最小即正整数且间的间隔尽量小，又，则，综上，的最小值为.(3)由为数列，则，由为数列，则，又为数列，即，若不是单调数列，则存在，即，显然与矛盾；或存在，即，显然与矛盾；综上，是单调数列，充分性得证；由是单调数列且为数列，所以，则，则，即，所以、均为数列，必要性得证；综上，为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列写出的各项，结合及数列的定义，有必是最靠前的项，再依次项判断后续各项数字出现规律，找到对应的最小位置.题型四：不等式1．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意；（2）对任意；（3）对任意．给出下列四个结论：①；②；③对任意；④存在．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】②③④【解析】根据给定的新运算得到的计算方法，再逐项计算并判断相应的结论是否成立，从而得到正确的序号.【详解】由题设有，对于①，，故①错误.对于②，，由①中结果可知，故②正确.对于③，对任意，而，故，故③正确.对于④，取，则，而，故，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】本题考查新定义背景下命题真假的判断，此题的关键是根据给出的运算规则得到的运算方法，本题属于较难题.2．（2022·上海·高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.【答案】1010【分析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和当时，，成立；假设时，当时，综上可得，，则数集的所有非空子集的“积数”的和为：故答案为：1010.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“积数”的理解和运用，以及“积数”的和的求法，求证对于有限非空数集，积数和是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题.3．（2022·上海·高三专题练习）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.（1）解方程：；（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：________，并证明；（3）无穷数列，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）存在，.【分析】（1）由题意得，结合一元二次方程的解法及指数函数的性质求解即可；（2）类比两角和正弦公式有，结合已知双曲正余弦函数分别化简等式左右边的式子，判断是否相等即可.（3）若，假设，应用数学归纳法证明通项公式在上成立，则有，此时不成立；若，则，结合双曲余弦函数的值域为，求证，并应用数学归纳法证明在上成立，令求m值，即可确定值的存在性.【详解】（1）由题意得：，即，解得：；（2）左边，右边，∴左边等于右边，即成立（3）当时，存在，使得，由数学归纳法证明：，证明如下：ⅰ）当时，成立，ⅱ）假设时，，则成立.综上：.∴，有，即.当时，由，函数的值域为，对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，类比余弦二倍角公式，猜测.证明如下：.类比时的数学归纳法，由，易证，，…，，…，∴若，设，则，解得：或，即，∴，于是.综上：存在实数使得成立.【点睛】关键点点睛：第三问，讨论、，应用类比方法分别假设、即，结合数学归纳法求证通项公式在上成立，进而令判断参数的存在性题型五:空间向量与立体几何一、单选题1．（2022·上海·高一专题练习）下列四种说法中：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②相等的线段在直观图中仍然相等；③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】直接根据棱柱的定义，平面图形和直观图的应用，圆锥的定义即可判断出正误.【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足①中条件，却不是棱柱；故①错误；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边形，故②错误；对于③，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故③错误.故选：A.2．（2021秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如果直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成角分别为和，那么和满足条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据线面角的概念，判断出的取值范围，从而判断出与的关系.【详解】因为直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成角分别为和，结合图示再根据线面角的定义可知：（当且仅当三角形所在平面与平面垂直时等号成立），又因为，所以，即，取等号时三角形所在平面与平面垂直.故选：B.【点睛】本题考查线面角的知识、三角函数的诱导公式以及正弦函数的单调性，涉及到了转化与化归的思想方法，难度一般.解题的关键时能通过线面角的定义将问题转化为三角函数问题.二、填空题3．（2021秋·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知圆锥的母线长为，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，则此圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是____________．【答案】【分析】先判断两条母线的夹角时最大截面三角形的面积为，再建立不等式和，最后求出的取值范围即可.【详解】解：过圆锥顶点的截面三角形的面积：（为两母线的夹角），因为过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为，即两条母线的夹角时的截面面积，此时底面弦长为，所以，又，所以