名校版初中数学【多元极值问题】专讲6大解题方法

名校版初中数学【多元极值问题】专讲，6大解题方法把多个元素转化为某一元素为主元，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，便利求解。例1.已知a,b,c为整数，且a+b=2006,c-a=2005,若a＜b，则：a+b+c的最小值是.分析与解：由a+b=2006,c-a=2005,得a+b+c=a+4011.因为a+b=2006，a＜b，a为整数，所以，a的最大值为1002．于是，a+b+c的最大值为5013．例2.若x+y+z=30，3x+y-z=50且x、y、z均为非负数，则M=5x+4y+2z的最大值为__________.（认准公众号：初中数学提分）分析与解：由用x来表示y、z，得y=40－2x，z=x－10，又由y≥0，z≥0，得解得10≤x≤20，又把y=40－2x，z=x－10代入M=5x+4y+2z得，M=－x+140，显然M是关于x的一次函数，且M随x增大而减小，所以当x=10时，M的最大值为130.二、数形结合法数形结合就是把抽象的数学语言、（认准公众号：初中数学提分）数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。例3.已知,的最小值为（）（A）3（B）4（C）5（D）分析与解：这道题，初识实感无从下手，若将“式”转化成“形则或轻松解.（如图1）分别以x、1和y、2为直角边，

为斜边，构造如图1所示的两个由图形显见，当点C位于直线AD上时，AC+AD最短，即的值最小.于是过点A作AG垂直DE的延长线交于G点，则四边形ABEG是矩形，∴AB=EG=1又∵AG=BE=x+y=5（认准公众号：初中数学提分）在中，DG=3，AG=5，斜边AD=由勾股定理可得：AD=.故应选择D。同类型试题:已知a,b均为正数，且a+b=2，求的最小值．,此题也可以用此方法来解决,最小值为.三、均值代换法在数学问题中，出现条件X+Y=a时，我们常作代换这种代换称为均值代换。例4.若x,y均为正数,且求的最小值.分析与解：由x+y=1,设:则原式有最小值：1+8=9.（认准公众号：初中数学提分）四、和差代换法对于任意的实数则有：这种代换称为和差代换.（认准公众号：初中数学提分）例5.已知实数a,b（认准公众号：初中数学提分）满足那么t的取值范围是_____.分析与解:五、参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.例6.若则可取的最小值为（）A.3B.

C.

D.6解：设

，则x=k+1，y+2k-1，z+3k+2所以∴当时∴的值最小为，应选B六、整体设元法就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联系的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入和求值等.（认准公众号：初中数学提分）例7.已知a,b为实数，那么的最小值是分析与解：（认准公众号：初中数学提分）本题要直接求出所求式子的值很困难，故可以采取整体设元，巧妙运用二元一次方程的根的判别式来