第十八次课二次型

第十八次课二次型第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期一一、二次型及其标准形的概念称为二次型.第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期一只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期一1．用和号表示二、二次型的表示方法第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期一取则则二次型可以表示为二次型用和号表示二、二次型的表示方法第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期一令则其中为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期一解例１第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期一例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型的矩阵也把二次型称为对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩二次型定义2：第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期一设三化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期一定义6.12（正交变换）y=(y1,y2,…,yn)T,x=(x1,x2,…,xn)T,如果Q为正交矩阵，则称线性变换y=Qx为正交变换.设y=Qx是欧氏空间V的一个线性变换，定理6.7设y=Qx是正交变换，则y=Qx保持向量的内积不变，y=Qx保持向量的长度不变.证明设y=Qx，QTQ=E.设y1=Qx1，y2=Qx2于是，正交变换保持向量内积不变.得到，向量长度经正交变换不变.特别地，令y1=y2，可有第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期一证明即为对称矩阵.第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期一(1)自反性：A与A合同；(2)对称性：若B与

A合同，则A与B合同;(3)传递性：若A与B合同,B

与C合同，则A与C合同.矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也称二次型等价).性质6.5在实对称集合中，合同关系是一个等价关系，即第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期一说明第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期一用正交变换化二次型为标准形的具体步骤3对每一个特征值λi,

解方程(λiE-A)X=0,求出基础解系，利用施密特正交化方法将基础解系正交化，然后单位化。第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期一解例3第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期一第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期一通过正交变换Ｘ＝ＰＹ化为标准型，求a,b的值及正交矩阵Ｐ．解：f的矩阵Ａ及标准型的矩阵Λ分别为：由已知条件知：

P-1AP=PTAP=Λ故Ａ相似于对角阵Λ，所以｜Ａ｜＝｜Λ｜

tr(A)=tr(Λ)即：-(b-1)2=0

a+2=5解得：a=3,b=1

由Ａ相似于对角阵Λ，得Ａ的特征值为λ1=0，λ2=1,λ3=4．对于λ1=0，解方程组

(0E-A)X=0得基础解系例3

已知二次型第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期一例3

已知二次型通过正交变换Ｘ＝ＰＹ化为标准型，求a,b的值及相似变换矩阵Ｐ．把ξ１单位化，得对应于λ1=0的单位特征向量类似可得对应于λ２=１的单位特征向量为：对应于λ３=４的单位特征向量为：所求的正交矩阵为第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期一五、小结

1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．

2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方