2023年高考数学考点归纳之 等差数列及其前n项和

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一、基础学问

1．等差数列的有关概念

(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b

2，其中A叫做a，b的等

差中项．

在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.

2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋

n(n－1)2d＝n(a1＋an)

2

.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系

(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d0，d0，则满足????

?

am≤0，am＋1

≥0的项数m使得Sn取得最小值Sm.

考点一等差数列的基本运算

[典例](1)(2022·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()

A．－12

B．－10

C．10

D．12

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝()A．3B．7C．9

D．10

[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.

(2)由于S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝(22－4a2)

2＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an

＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.

[答案](1)B(2)D

[解题技法]等差数列的基本运算的解题策略

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用办法．

[提示]在求解数列基本量运算中，要注重公式使用时的精确     性与合理性，更要注重运算的精确     性．在碰到一些较复杂的方程组时，要注重整体代换思想的运用，使运算越发便捷．

[题组训练]

1．(2022·开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为()

A．1

B．2

C．3

D．4

解析：选B设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得?????

a1＋a1

＋4d＝10，4a1＋4×3

2×d＝16，

解得?

???

?

a1＝1，d＝2，故选B.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，则S20＝()A．420B．340C．－420

D．－340

解析：选D设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d0，d0时，满足?

????

am≤0，

am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

[题组训练]

1．在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝()A．－12B．－13C．12

D．13

解析：选B法一：设公差为d，则2d＝a5－a3＝－9＋5＝－4，则d＝－2，故a7＝a3

＋4d＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.

法二：由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a70的最大自然数n的值为()

A．6

B．7

C．12

D．13

解析：选C由于a1>0，a6a70，a70，a1＋a13＝2a70，S130的最大自然数n的值为12.

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．

解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝n(a1＋an)

2＝324，

∴18n＝324，∴n＝18.答案：18

[课时跟踪检测]

A级

1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2，Sn为{an}的前n项和，则S10等于()A．90B．100C．110

D．130

解析：选C由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S10＝10×2＋10×9

2×2＝

110.故选C.

2．(2022·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是()

A．30

B．29

C．28

D．27

解析：选C由题意，设等差数列的公差为d，则d＝a5－a3

5－3＝1，故a4＝a3＋d＝4，所

以S7＝7(a1＋a7)2＝7×2a4

2

＝7×4＝28.故选C.

3．(2022·山西五校联考)在数列{an}中，an＝28－5n，Sn为数列{an}的前n项和，当Sn

最大时，n＝()

A．2

B．3

C．5

D．6

解析：选C∵an＝28－5n，∴数列{an}为递减数列．令an＝28－5n≥0，则n≤28

5

，又n∈N*，∴n≤5.

∵Sn为数列{an}的前n项和，∴当n＝5时，Sn最大．故选C.

4．(2022·广东中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列????

?

?

Snn

的前11项和为()

A．－45

B．－50

C．－55

D．－66

解析：选D∵an＝－2n＋1，∴数列{an}是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴Sn＝n[－1＋(－2n＋1)]2＝－n2

，∴Snn＝－n2n＝－n，∴数列??????Snn是以－1为首项，－1为公差

的等差数列，∴数列????

??

Snn的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.

5．(2022·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S10＝200，则a10＋a11的值为()

A．20

B．40

C．60

D．80

解析：选D设等差数列{an}的公差为d，由已知得???

S5

＝5a1

＋5×4

2

d＝50，S10

＝10a1

＋10×9

2

d＝200，

即?

????

a1＋2d＝10，a1＋9

2d＝20，解得?????

a1＝2，

d＝4.∴a10＋a11＝2a1＋19d＝80.故选D.

6．(2022·广州高中综合测试)等差数列{an}的各项均不为零，其前n项和为Sn.若a2n＋1

＝an＋2＋an，则S2n＋1＝()

A．4n＋2

B．4n

C．2n＋1

D．2n

解析：选A由于{an}为等差数列，所以an＋2＋an＝2an＋1，又a2n＋1＝an＋2＋an，所以a2n＋1

＝2an＋1.由于数列{an}的各项均不为零，所以an＋1＝2，所以S2n＋1＝(a1＋a2n＋1)(2n＋1)

2

＝

2×an＋1×(2n＋1)

2

＝4n＋2.故选A.

7．已知等差数列5,427，34

7

，…，则前n项和Sn＝________.

解析：由题知公差d＝－57，所以Sn＝na1＋n(n－1)2d＝5

14(15n－n2)．

答案：5

14

(15n－n2)

8．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.解析：∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.

∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋6×(6－1)

2d＝6×6－30＝6.

答案：6

9．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a70，∴?????

a5>0，

a6

0，

∵等差数列{an}的前3项的和为－3，前3项的积为8，

∴?????

3a1＋3d＝－3，a1(a1＋d)(a1

＋2d)＝8，

∴?????a1＝2，d＝－3或?????

a1＝－4，d＝3.

∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴an＝3n－7.(2)∵an＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，∴Sn＝n(－4＋3n－7)2＝n(3n－11)2.

B级

1．设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中不正确的是()A．{an＋1－an}是等差数列B．{bn＋1－bn}是等差数列C．{an－bn}是等差数列

D．{an＋bn}是等差数列

解析：选D对于A，由于an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2.

所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；

对于B，由于bn＝n2－n(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，

所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；对于C，由于an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确；

对于D，an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，cn＋1－cn不是常数，故D错误．2．(2022·武汉调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，

联立，解得?????

a4＝11，a6＝25或????

?

a4＝25，a6

＝11，

当?????

a4＝11，a6＝25时，可得?????

a1＝－10，