2022-2023学年北京市房山区高一下学期期中调研考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市房山区高一下学期期中调研考试数学试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可.【详解】复数，则其在复平面所对应的点为，故其在第四象限，故选：D.2．设向量，，.若，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】求出的坐标，再利用列方程求解的值.【详解】，，，，，解得.故选：B.3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上､下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径，由，则，故该陀螺的体积.故选：D.4．已知向量，,,则A． B． C．5 D．25【答案】C【详解】将平方得，选C.5．已知向量，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂直的数量积为0，结合二倍角的余弦公式求解即可.【详解】由可得，即.故选：B6．设点D为中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将用基底表示，转化为以A为起点向量表示即可.【详解】如图，D为BC中点，O为靠近A的三等分点，，.故选：D.7．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简解析式，再求出正余弦函数的周期，最后判断函数的奇偶性，即可得出答案..【详解】因为，函数的周期为π，因为，所以是非奇非偶函数，A不正确；因为，函数的周期为2π，B不正确；因为，函数的周期为π，是偶函数，C不正确；因为，函数的周期为π，是奇函数，D正确；故选：D8．已知非零向量，，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若，则，，所以“”是“”成立的必要条件，若，则，，当，时，，成立，但.所以，“”不是“”成立的充分条件，所以“”是“”成立的必要不充分条件，故选：B.9．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】本题首先可根据诱导公式得出，然后根据二倍角公式即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式的应用，考查的公式有、，考查计算能力，是简单题.10．若向量满足：，且，则的最小值为（

）A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】由平面向量数量积的运算，结合图形以及平面向量的线性运算求解即可.【详解】设，，，为，的中点，则，，，，因为，，所以，，则，因为是直角三角形，所以，（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）所以，因为，当且仅当在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，且在线段上时取等号，如下图示，所以，所以的最小值为2.故选：B.二、填空题11．复数满足，则__________.【答案】【分析】利用复数模长的求法可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：.12．若，，，，则______．【答案】【分析】根据角的取值范围和同角三角函数的基本关系得到，，然后利用两脚差的正弦即可求解.【详解】因为，，且，所以，又因为，则，所以，又因为，所以，故答案为：.13．已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为__________．【答案】12【分析】计算出正四棱锥的侧棱长以及侧面三角形的高，进而可计算出该正四棱锥的表面积.【详解】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，则为的中点，且，，取的中点，连接，则，且，，故正四棱锥的表面积为.故答案为：12.14．角的始边均为x轴非负半轴，它们的终边关于轴对称.如图，角的终边与单位圆交于点，则________，________．【答案】/-0.80【分析】根据三角函数的定义即可求解，进而由正切的和角关系即可代入求值.【详解】由角的终边与单位圆交于点可知，由于的终边关于轴对称，所以在的终边上，故，所以,故答案为：,0三、双空题15．在中，为线段的中点，，（1）若，则的面积为__________.（2）面积的最大值为__________.【答案】/【分析】①由等边三角形面积公式求解结果；②由余弦定理结合三角形面积公式及二次函数求最值得到结果.【详解】在中，，，所以为等边三角形，由为线段的中点，则为的高，所以，则.的面积为.设.在中，由余弦定理得，故的面积为，当时面积取到最大值，最大值为.故答案为：；.四、解答题16．已知向量与的夹角为，且.(1)求；(2)当为何值时.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果.（2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果.【详解】（1）由已知得，因为.所以（2）若，即，所以，即，所以，即当时，.17．已知函数.(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的最值.【答案】(1)3，最小正周期为(2)最大值3，最小值【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式化简函数，再代入求值，求解周期；（2）先根据的范围求出的范围，再求解最值.【详解】（1）;;的最小正周期为.（2）因为，所以.所以.所以，即.时，最大值3;时，最小值.18．如图，在中，D是BC边上一点，，，．（1）求AD的长；（2）若，求角B的大小【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【详解】解：（1）在中，，，．利用余弦定理，解得．（2）利用余弦定理，所以，在中，利用正弦定理，整理得，故．【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．在中，，．(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．【答案】(1)(2)选择条件②,;选择条件③.【分析】(1)利用余弦定理求解即可；(2)根据条件①②③逐一计算，满足三角形只有一个解即可，再求面积.【详解】（1）由余弦定理知，，因为，所以．（2）选择条件①：把，代入中，化简得，解得，所以存在两个，不符合题意；选择条件②：因为，，所以，由正弦定理知，，所以，因为，所以的面积．选择条件③：因为的周长为，且，所以，又，所以，解得，所以的面积.20．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且图1图2图3(1)写出三条正六棱台的结构特征.(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”...............”亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧.注：可以参考（不限于）下面公式：①元均值不等式：②琴生不等式：若函数在上为“凸函数”，且为上任意个实数，则注：在是“凸函数”③柯西不等式：注：其二元形式为【答案】(1)答案见解析(2)(3)答案见解析【分析】（1）根据正六棱台性质即可;（2）找出棱台的高，代入体积公式即可;（3）分别配凑出各类不等式的使用条件，代入各种不等式即可求得答案.【详解】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等腰梯形，等等.（2）在中，可求，所以排练厅上底面为