二次函数与一元二次方程的关系

1.4二次函数与一元二次方程的联系

情境引入课堂小结合作探究随堂训练

导入语：我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.问题：现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?情景引入问题:

如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t－5t2考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？合作探究所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数.h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．球的飞行高度达不到20.5m．20m（4）解方程:0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c

深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0.例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数

y=x2－4x+3

的值为0，求自变量x的值．例：求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.

分析：一元二次方程的根就是：抛物线与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.作出函数图象的图象可以发现抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个在2与3之间通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数根为x1-0.4，x22.4还可以用等分计算的方法确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.例题学习归纳：一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c

与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标

既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根说一说例2：如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线

运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度。（1）当铅球离地面的高度为2.1m它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？xy解：（1）由抛物线的表达式得：即x2-6x+5=0解得x1=1x2=5当铅球离地面高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m当铅球离地面高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m（2）由抛物线的表达式得：即x2-6x+9=0解得x1=x2=3所以铅球离地面高度不能达到3m。（3）由抛物线的表达式得：即x2-6x+14=0因为△=（-6）2+4x1x14<0所以方程无实数根

从例2可以看出，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）某一个函数值y=M求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax2+bx+c=M，这样二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根．一般地，从二次函数y=ax2+bx+c

的图象可知（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0

就是方程ax2+bx+c=0

的一个根．课堂小结二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根0xy1有两个交点有两个相异的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0说明：a≠0下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2＋x－2（2）y=x2－6x＋9（3）y=x2－x＋1（1）抛物线y=x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.（2）抛物线y=x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=

3时，函数的值是0．由此得出方程

x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根3.（3）抛物线y=x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根．xyO1y=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2随堂训练2.若一元二次方程无实根，则抛物线图象位于（