竞赛讲座-线段

:Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删 竞赛讲座 线段 平面几何是研究平面图形(planefigure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系. 构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础. 几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、 硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究. 解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法.例题 【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑. 注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制 造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》. 当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想 象能力的最有效学科之一. 求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题： 线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段？n条直线两两相交的直线最多有几个交点？n条直线最多能把平面分成几个区域？【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的 中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于(). A.1 B.2 C.3D.4 1 *广 '(“五羊杯”邀请赛试题) 思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示.【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23,求线段AC的长度. ADCB思路点拨引人未知数，通过列方程求解.【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵 车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？(“华杯赛”试题) 思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考.【例5】(1)如图a，已知A、B在直线1的两侧，在1上求一点P,使PA+PB最小；如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P,使PA+PB最小； 如图c,有一正方体的盒子ABCD—A]B]C]D],在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而在对角的顶点C处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行，才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C]处不动)思路点拨联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直.

注：恰当设元，运用方程思想，将线段、角的计算问题代数化，是解与线段、角相关计算问题的重要方法. 数学既研究数，也研究形，许多数学问题既可以从代数角度来思考，也可以从形的角度加以解决. “谋定而后动”，解题方法的选择建立在分析的基础上，切忌“慌不择路”，扎进“死胡同”. 分类思想是一种科学思想，在数学学习中的各阶段都要运用到，几何学运用分类思想时，总是与图形位置关系，数量关系相关的. 【例6】摄制组从且市到月市有一天的路程，计划上午比下午多走100km到C市吃午饭.由于堵车， 中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400km,傍晚才停下来休息，司机说，再走C市到这里路程的一半就到达目的地.问A、B市相距多少千米？思路点拨画出线段图进行分析.如图13—1所示，设小镇为D点，傍晚在正点休息.2•「GE=2EB,.・・GE=—BC1•「AD=—AC,32•「DC+CE=—31•「AD=—AC,32•「DC+CE=—32...DE=—AB,32-400图13—】...DC=—AC.-400图13—】32(BC+AC)=—AB又DE=400km；3又DE=400km；AB=600km. 注：线段图形比较直观，在实际问题中有着广泛的应用.同学们想一想，“计划上午比下午多走100km”1 这个条件是必需的吗?如果把司机的话改成“再走c市到这里路程的3就到达目的地”，需要前面的条件吗?请同学们自己试完成解答. 【例7】如图13-7所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直,设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？ 思路点拨虽然A、B两点在河两侧，但连结AB的线段不垂直于河岸.如图13-8，关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的。 如图13-9，建立在PD处符合题意.注：两点之间线段最短，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.学力训练::Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删 1.如图，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a,BC=b,则线段 AMBCND（第1题）AD= AMBCND（第1题）2.从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价. （黑龙江省中考题）3.如图，AB=a，BC=b，CD=c,DE=d,EF=e,以A、B、C、D、E、F为端点的所有线段长度的和为 .（“数学新蕾”邀请赛试题3. A~~S（第5题）abcde A~~S（第5题）4为£力，为（第3题） 在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是（）.A 在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是（）.A.1条B.4条C6条 D.1条或4条或6条如图，若C是线段AB的中点，D是线段AC上的任一点（端点除外），贝M ）.A.AD.DB<AC.BCC.AD.DB>AC.BC （广州节中考题）6.线段AB=1996厘米，P、段PQ=（ ）厘米.A.254B.150C.4.5.B.AD.DB=AC.BCD.它们的大小关系不能确定Q是线段AB上的两个点，线段AQ=1200厘米，线段BP=1050厘米，则线 DMANBC

（第?题）N是AC中点，127 D.8713如图，线段AB=2BC，DA==AB，M是AD中点，2试比较MN和AB十NB的大小.已知A、B、C三点在同一直线上，若线段AD=60,的长.线段AB上有P、Q两点，AB=26，1P=14，PQ=11， 其中点为M；线段BC=20,其中点为N,求MN那么BQ= 将长为20cm的一条线段围成一个六边形，则围成的六边形中最长边的取值范围是 .如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点.已知图中所有线段的长度之和为12.线段AC 的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为—.（“希望杯”邀请赛试题） ACDB（第11题）五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候.已知：a握了4次，b握了1次，e握了3次，d握了2次.到目前为止，e握了（）次.A.1B.2 C.3D.4 （重庆市竞赛题） 平面内有条直线（nN2）,这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则a+b的值是（）.A.n（nA.n（n一1）B.n2一n+1C.D. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为（）•A.19B.20C.24D.26（全国高考数学试题）某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，BN有15人，C区有10人.三个区在一条直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程D.A、B两区之间D.A、B两区之间（江苏省竞赛题）A.A区B.B区C.C区20米200米4区8区 。区（第15题）（第14题）（1）一条直线可以把子面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明.（2） 四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系.（3） 平面上有n条直线。每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多，记为。，试研究。与n之间的关系.n n（山东省聊城市中考题）如图，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?说明理由.•4 ■* •C •冃I -~*〔第16题｝，第璋题， （第18题）〔第】9题〉19.一条河两岸有A、B两地，要设计一条 ,yII亠u 上土41'J厂r*/、/mi刀，异来连接A、B两地,问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？::Word行业资料分享-可编辑版本-双击可删 参考答案

£例題求解】例】I詰提示』当平曲内两的&条宜城相交于一盅，此时交，点中牧最少为1个I为使平面内商两格交的宜墳的茫点个數最考，可絶其任城所线相交胡产生-十新的愛点，即任意两棊直戡相交部确定一个变点，旦H:藏三条苴幽部「旬间--点，于是可博交点敷最审为"*'拦£例題求解】例】逸B提示:MN=AN—AM,F(J=FA—QA=-^(AN—M)%提祠设配=r,则"=夺皿=牛代=亍，照=券.盛注由願慮得，宀十盐片卄秒丄芸十*=■签GOD千米提示'没』,钠为口-鹼晓汽车在E休息•加图.，则.4D=-1-DChEB--CE^AD^-EB-^DE-^O<1）3AB.AB不的交爲即为曲求的P点，V）昨A关于』的对幡点仆‘,连*if交1TP点为所求的点，把员面展开，也包含点A期盧说的两个堂画在同一个平面内‘如图是其中的一韩，据两点之冋J域段姐通「只聴巷対AC,邮可.设由:.与iiii,交f点B\U|XJi'+B'C.tt是蟻爆捋装一【学力训练】J2ti+iA12丄5«中既+W+日4十5# 4.D$.C6A提,^1?IQ+BC=225(J>1996+!WWA.P.Q.fi(JU点位覧如图析示-夫 *一7.M.V>AB+ME提示、MN=Af/L+AN・#n&AB+NB=AE+«：M-U0=MAB B.M峠〜网或4。£ 49.踣戏】提示兽分点Q柱縄段月P上与点Q在湖段FB上西神憎况讨论Jjt<80~jinIG.设冉円=］削其奈五条边长度的和为艺。=里,由律专WtVI。It.3据示：设，则AD=±+茅熊=目+由上）=成郭=丫,风三专■一由麗意得打+，=払C提示a作出平面上5.点，把握「用吏接的縫段表示，13-［>提示，平面内”条直蝶两两相交，最少有一个交点，童孝有西亍登个丈点A提亲，号察毎条通击的景士：信息歐.有3+4+古+6*】9.15-A提求：淬J5点世存也、B、G三区,计算总院程脊别为45DO米、500。米、1即口。米.郎拌膵选項执们谟停株点在貞法两区之IHjafeAE.J米.則豆牌程为Wh+LMIN一功+1取紅1。一7=4如0丄质工：>4部队冥.排障選項D.16.（1）灿IS①，两齢直鯉国其位骨不同，可以分别把平面昔成3个或4个区域I如图。,三条直銭因其位股关系的不同，即以址割把平面分或4个部个和丁个区域.<2>扯图⑶「四条直蝶暴多可以挹平■面分■成II个区域，此时这四条宜统怛置关事是佩两帝相瓷-旦天二战共点.<3）平面上"照宜缱四两相登,旦没有三条直経变于一点.把平而分成亀个区域,平冏本好就塁一个国域•当Z!=L时z,=1十1—為当fi-W时士1+¥=4」当门=3酎・朋=1十］+W十3。孔岩n-4时+皿=］十1十£+3十4=I」.…由此可以归纳公式..T+1+£M+…+广1+主彳”=亡尹