第4讲-利用轴对称破解最短路径问题

第4讲一利用轴对称破解最短路径问题第一章平移、对称与旋转第4讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。二、基础知识•轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）三、重难疑点•轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到

有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰(边)三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。(1)“一线同侧两点”问题例1如图，点A、B在直线m的同侧，点B‘是点B关于m的对称点，AB′交m于点P.(1)AB,与AP+PB相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N,并连接AN与NB,比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由.TOC\o"1-5"\h\z解析：(1)•••点B，是点B 关于m的对称点， .PB=PBz，ABz- 4厂R’=AP+PB',•••AB/=AP+PB.(2)如图：连接AN,BN,B'N,•••AB/=AP+PB.(2)如图：连接AN,BN,B'N,•••AB，=AP+PB,••・AN+NB=AN+NB/>AB‘,•AN+NB>AP+PB.点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条B线段来研究，利用两点之间的线 • *段最短得出结果。这类题主考实 郎际问题转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等．变式1需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A,B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．（2）“两点两线（平行）”问题例2如图所示,在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试’问：桥架在何处，才能使从A到B的””距离最短？ ；解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸.关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法

使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．如图，作BB'垂直于河岸GH,使BB'等于河宽，连接AB',与河岸EF相交于P,作PDLGH,则PD〃BB'且PD=BB',于是PDBB'为平行四边形，故PD=BB'.根据“两点之间线段最短”，AB'最短，即AP+BD最短.故桥建立在PD处符合题意.点评：此题考查了轴对称——最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决“造桥选址”的简单的实际问题．但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．此类题往往需要利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．变式2如图，两个村庄A /和B被一条河隔开，现要在河上 ——架设一座桥CD.请你为两村设计 桥址，使由A村到B村的距离最小（假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直）.要求写出作法，并说明理由．（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题例3：如图所示，NABC内有，一点P,在BA、BC边上各取一点P1、P2,使APP1P2的周长最小．解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB, 1/AC的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M,一yc以BA为对称轴作出P的对飞称点N,连MN交BA、BC于点P、P•••△PP1P2为所求作三角形.2点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题变式3城关中学八（2）班举，行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO,BO）,AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短？（4）“一线异侧两点”“差最大”问题例4在定直线XY异侧有两点A、B,在直线XY上求作一点P,使PA与PB之差的绝对值L——；最大.解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B’,作直线AB′交XY于P点，则点P为所求点（如图）；若 5B，A〃XY（即B，、A到直线XYp一.：；"]的距离相等），则点p不存在. -：证明：连接BP,在XY上任Z&*意取点P’,连接P'A、P‘B,则PB=PB,,P'B=P’B,因为|P'B-P'A|=|P‘B'-P‘A<AB'=|P‘B-PA|=|PB-PA|,所以，此时点P使|PA-PB|最大.点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解．变式4.如图，在4ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,连接人MB,若AB=8cm,ZXMBC的周长是14cm,(1)求BC的长 ' '(2)在直线MN上是否存在点P,使IPA-CPI的值最大，若存在，画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由。(5)“两点一线＋线段”例5直线L的同侧有两点A、B,在直线L上求两点C、D,使得AC、CD、If/，CD的长为定值a,点D在点C的“：。口hI作法：①将点A向右平移a \：%②作点B关于直线L的对利.… ”1③连结A1B1交直线L于点D④过点人作人合人1口交直线L于点C,连结BD，

变式5长方形OACB,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，当4CDE的周长最小时，画出点E的位置；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，画出点E、F的位置；(6)台球击点问题例6如图，在台球桌面.上，有白和黑两球分别位于M,N两" “点处，问：怎样撞击白王^拉，使白球先撞击台边笈。反弹后再去击中黑球N？解析:作N关于8C的对称点N',连接拉N咬8C于点连接EN.按ME方向撞击白球拉，白球拉反弹后必沿EN方向击中黑球N.点评：要使白球M撞击台边BC反弹后再去击中黑球N,必须使NMEB=ZNEC由轴对称还可得，NN'EC=NNEC.又对顶角NMEB=NN'EC,故可得到NMEB=NNEC.本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．变式6如图，甲乙丙丁四人做接力游戏．开始时，甲站在长方形操场ABCDB p内部的E点处，丙在BC的中点*G处，乙，丁分别站在AB、CD， 。边上．游戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲．如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹，作法不用写）四、课时作业•轻松练A.基础题组.如图，直线l是一条河，P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P,Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是（）D、’D、’A、・•/zB、71C、，b.已知，如图4ABC为等边三角形，高PD+PB的最小值为cm．AH=10cm,P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为cm．第3题.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，°．ZPCD=°．ZAOB小于.为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线（如图：AO，OB）AO桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，90度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短．请作出路线图，并用字母表示所走路线．（保留作图痕迹，不写作法、不必说明理由）ZAOB小于B.中档题组.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地11放羊，然后赶羊到小河12饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．.如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去喂马，“二 '该牧民在傍晚回到营帐B之前先一〜。带马去小河边PQ给马饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）C.挑战题组.如图，荆州古城河在CC'C处直角转弯，河宽均为5米，从 除三室A处到达B处，须经两座桥:DD'， |EE，（桥宽不计），设护城河以b.邕及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B的路程最短，画出路程图五、我的错题本参考答案变式练习 ..变式1解：利用轴对称图形的性_1,二质可作点A关于公路的对称点A，，连4接A’B,与公路的交点就是点P的位置.变式2解：如图，过点B作BC^n,且使BC等于河宽，连接AC交直线m与M,作MN〃BC即可.理由：两点之间线段最短.4^ 变式3解析：本题意思是在0A上找一点D,在0B上找一点E,使^‘一c >■CDE的周长最小.如果作点C关于0A的对称点是M,关于OB的对称点是N,当点D、E在MN上时，ACDE的周长为CD+DE+EC=MN,此时周长最小．变式4解：(1)因MN垂直平分AB,所以MB=MA,又因4MBC的周长是14cm,故AC+BC=14cm,所以BC=6cm.(2)当点P位于直线MN与BC延长线的交点时，PA—CP的值最大，最大值是6cm,理由：因A、B关于直线MN对 ,称，所以AP二BP,当点P位于MN（直线MN与BC延长线的交点除外）上.二^三"时，根据三角形三边关系始终有IPB—CPI<BC,当点P位于直线MN与BC延长线的交点P时，即B、C、P三点成线时，存在|PA—CP|=BC=6cm为最大值，变式5解：（1）如图，作点D关于b口，OA的对称点D\连接CD，与OA交于点。匕彳E,连接DE. 。怦4若在边OA上任取点与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E'由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE，可知4CDE的周长最小.（2）如图，作点D关于OA的对称点DI在CB边上截取CG=2,连接D，G‘上彳与OA交于点E,在EA上截取EF=2, 力GC〃EF,GC=EF,.•.四边形GEFC:『力为平行四边形，有GE=CF,又GC、EF的长为定值，...此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.变式6解:作点G关于CD的对称；点G,作E关于AB的对称点E，连接十GrEr,交CD于点F、交AB于点H,.卜^故比赛最短的路线为：E-H-G-F.课堂作业A.基础题组.D解析：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.作点P关于直线L的对称点P',连接QP,交直线L于M.根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短.故选D.应.10解析：连接PC,根据等边 n/K三角形三线合一的性质，可得PC=BP,PD+PB要取最小值，应使D、P、C三,二点一线.连接PC,〈aABC为等边三角形，D为AB的中点，，PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm..45°解析：\•当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC,AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出NPCD=45°,，NPCD=45°.

.解析:要求小华所走路程最短路g线，如图，可作点C关于0A的对称点 «M,作点C关于0B的对称点N.连接MN,《交OA于点F,交OB于点E,最短路线CEF..中档题组5解：作出点A关于L的对称点E,点B适于！的对称点F,连接E