高考数学一轮总复习第八章立体几何第7讲空间中角与距离的计算课件理

第7讲空间(kōngjiān)中角与距离的计算第一页，共44页。考纲要求考点分布考情风向标1.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用2011年新课标卷以四棱锥为背景，考查求二面角的余弦值的大小；2012年新课标卷以三棱柱为背景，考查求二面角的大小；2013年新课标卷Ⅰ以三棱柱为背景，考查求线面所成角的正弦值；2014年新课标卷Ⅰ以三棱柱为背景，考查求二面角的余弦值)；2015年新课标卷Ⅰ考查求直线与直线所成角的余弦值在近年高考试卷中，立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局.一直以来立体几何解答题都是让广大考生又喜又忧.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.比较容易建系的就用空间向量(有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与证明第二页，共44页。 1.异面直线所成的角 过空间(kōngjiān)任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所(0°，90°]成的角，其范围(fànwéi)是____________.第三页，共44页。(1)如果直线(zhíxiàn)与平面平行或者在平面内，则直线(zhíxiàn)与平面所成的角等于(děngyú)0°.90° (2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于____. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°). 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过(jīngguò)斜足的直线所成的一切角中最小的角.2.直线与平面所成的角第四页，共44页。 从一条直线(zhíxiàn)出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角(zhíjiǎo)的二面角叫做____________.直二面角 4.点到平面的距离 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等积法，即构造(gòuzào)一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高. 5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.二面角第五页，共44页。1.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列(xiàliè)向量中能作为平面(píngmiàn)γ的法向量的是()BA.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(－1，－2,3)D.(3,6,8)解析：向量(xiàngliàng)(1,2,3)与向量(xiàngliàng)(3,6,9)共线.第六页，共44页。2.若直线l∥α，且l的方向(fāngxiàng)向量为(2，m,1)，平面α的法向CA.－4C.－8B.－6D.8第七页，共44页。3.已知平面α上的两个(liǎnɡɡè)向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个(yīɡè)法向量为() A.(1，－1,1) C.(－2,1,1)

B.(2，－1,1)D.(－1,1，－1)C第八页，共44页。4.如图8­7­1，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面(píngmiàn)BB1D1D所成角的正弦值为______. 图8-7-1第九页，共44页。考点(kǎodiǎn)1线面所成角的计算(jìsuàn) 例1：(2014年福建)在平面(píngmiàn)四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面(píngmiàn)ABD⊥平面(píngmiàn)BCD，如图8-7-2. (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.图8-7-2第十页，共44页。 (1)证明(zhèngmíng)：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面(píngmiàn)BCD，∴AB⊥CD.(2)解：如图D55，过点B在平面(píngmiàn)BCD内作BE⊥BD.图D55第十一页，共44页。 由(1)知，AB⊥平面(píngmiàn)BCD，BE⊂平面(píngmiàn)BCD，BD⊂平面(píngmiàn)BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.设平面(píngmiàn)MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，第十二页，共44页。第十三页，共44页。【规律方法(fāngfǎ)】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法： ①传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时(yǒushí)也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.第十四页，共44页。 ②空间向量的坐标(zuòbiāo)法：建系并确定点及向量的坐标(zuòbiāo)，然后利用向量的夹角公式通过坐标(zuòbiāo)运算求得直线和平面所成的角.从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点，用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间直角坐标(zuòbiāo)系解决该问题为好.第十五页，共44页。【互动(hùdònɡ)探究】1.(2011年大纲)如图8­7­3，四棱锥S­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形.AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明(zhèngmíng)：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.图8­7­3第十六页，共44页。解法(jiěfǎ)一：(1)如图D58，取AB中点E，连接DE，则四边形图D58又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，所以∠DSE为直角.由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面(píngmiàn)SDE，所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直.所以SD⊥平面(píngmiàn)SAB.第十七页，共44页。第十八页，共44页。第十九页，共44页。解法(jiěfǎ)二：以C为原点，射线CD为x轴的正半轴，射线CB为y轴正半轴，建立如图D59所示的空间直角坐标系Cxyz.图D59设D(1,0,0)，则A(2,2,0)，B(0,2,0).又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.第二十页，共44页。第二十一页，共44页。第二十二页，共44页。第二十三页，共44页。考点(kǎodiǎn)2面面(miànmiàn)所成角的计算图8-7-4例2：(2014年湖南)如图8­7­4，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有(suǒyǒu)棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值.第二十四页，共44页。(1)证明(zhèngmíng)：如图D56，因为四边形ACC1A1为矩形，图D56所以(suǒyǐ)CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1，所以(suǒyǐ)CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.第二十五页，共44页。(2)解：方法一：如图D56，过O1作O1H⊥OB1于H，连接(liánjiē)HC1.由(1)知，O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.又因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，则A1C1⊥B1D1.从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1.于是OB1⊥平面O1HC1，则OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1­OB1­D的平面角.不妨设AB＝2.第二十六页，共44页。第二十七页，共44页。方法二：因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有(suǒyǒu)棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形(línɡxínɡ)，因此AC⊥BD. 又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直. 如图D57，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间(kōngjiān)直角坐标系Oxyz，不妨设AB＝2.图D57第二十八页，共44页。第二十九页，共44页。【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：①定义(dìngyì)法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法.,(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小第三十页，共44页。【互动(hùdònɡ)探究】2.已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面(píngmiàn)AEF与平面(píngmiàn)ABC所成的二面角的正切值等于_________.第三十一页，共44页。图D60第三十二页，共44页。第三十三页，共44页。第三十四页，共44页。难点(nádiǎn)突破⊙利用(lìyòng)空间向量求空间距离 例题：如图8-7-5，S是△ABC所在平面外一点(yīdiǎn)，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离.图8-7-5第三十五页，共44页。解：方法(fāngfǎ)一，如图8-7-6，作AD⊥BC交BC延长线于D，连接(liánjiē)SD.图8-7-6∵SA⊥平面(píngmiàn)ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.第三十六页，共44页。 过点A作AH⊥SD于H，由平面与平面垂直的性质定理(dìnglǐ)可知，AH⊥平面SBC. 于是AH即为点A到平面SBC的距离.第三十七页，共44页。方法(fāngfǎ)二，设A到平面SBC的距离为h，第三十八页，共44页。在△SBC中，第三十九页，共44页。 方法三，如图8-7-7，以A为坐标原点，以AC，AS所在(suǒzài)直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系.图8-7-7∵△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，第四十页，共44页。第四十一页，共44页。 【规律(guīlǜ)方法】求点到平面的距离通常有以下方法： (1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的距离，即为所求； (2)间接法，包括等体积法和转化法； (3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接