同济高等数学课件包含习题exec

定理f˛CDa,b,ff则存在x˛a,b,fx=0.注罗尔定理主要应用于讨论

C 设f˛CD则存在x˛a,b,f(x)=f(b)-f(a)b- y=f x 柯西中值定理设fxg(x˛CDa,bf(b)-f(a)=f)g(b)-g(a) g(x) 如果函数f在含x0的某个开区间内具有直到n+1阶导数，则对于x˛a,b，有fx=fx+fxx-x

f0)x-

2

(fnx fn+1)x) n x-x) x-x)+ +1! 定理f在含有x0的开区间a,b内有a,b,fx=fx+fxx-x

f0)x-

2

(fnx 0 x-x0)+ox-x0)0

0,¥ 0¥¥¥00,1¥,¥0

x)= g) 1. 若函数y=f的导函数f‡0且在任何一个有限区间内最多只有有限多个零点，则f单调上升；若函数y=f的导函数f£0且在任何一个有限区间内最多只有有限多个零点，则f单凹凸性yfx在区间I内满足："x1,x2˛Iflx1+lx2<1-lf(x1)+lf(x2f为凸函数，相应的曲线为下凸的；若函f在区间I上满足："x1,x2˛I,flx1+lx2>1-lf(x1)+lf(x20<l<1,y1+lf2)

y=fx)

lx11+lf2)lx1 1-

1- o o yfxffyff单调下降，则fx是凹函数；yfy0,则，f)y0,f是凹函数。yfx的图形在点0,f0的两侧有不 0x0y=fx) yfx在点x0x0U(x0当x˛U0f£fx0fx0fx)f‡fx0fx0fxyyy=f x⑴若函数在点x0处取得极值，且fx0fx0=⑵设函数在x0f在点x0的两fx0ff)由fi-fx0f由fi+，fx0为极小值。 y由fi-

y=fx)xfx0 y由fi-

fi+y=fx) fx0

y=fx) fx0x0x0fx0ffx00,fx0为fx00,fx0为极大值。f˛C,记最大值和最小值分别为M再记fx)的零点和不可导点为x1,x2 .xr,M=max{f1,fx2 ,fxr,fa,f1,x2 ,fxr,fa,fflimf= mfx=a,lim

x=xfi xfi xfi-fyf 0limfx=¥limf=¥,limfx=¥ 0xfi

xfix+

xfix- fxf=limfx)=

a,lim

x-ax=xfi

xfifyax设函数f˛C1, 则函数曲线在点x,y)处y+y+y2t xt,yt˛Ca,b=yt K=tyt-xtt3+2R=1K例1f=xxbg其中g为多项式函数，a,bfx的两个相邻单根。证明：⑴gg>ax=gg„0.若gg<0,则存a,bx=x=是的。又f=f=0, 定理，知$x˛a,b)使fx= 设f˛CDa,b,证明在ab内存在fx=fx-fb-证令Fbx)ffF˛CDa,b,FF则由洛尔定理得，存在x˛a,b,使得x=0,bxfx-x-

fx=fx-fb-例 设f˛CDa,b,a>0,b>0,求证ffxlnbf在aba 若结论成立，则原式变形后，f-fa=flnb-lna 1/x故取g=lnx,在区间上使 f-fa=fx=xfx)x˛a,b 即，原方程在区间ab例 设函数f在点x0为右连续，且导数fxx0的右极限fx00)x0=fx0+证fx)在区间0x0上连续，在区间0x0上可导，由L—中值定理，得00Dx-0x)0

,

+fx= f0+Dx-f0)=limfx Dxfi =f0+

Dxfif0f-x0f0x00x0fx0=fx0+

x> ln(1+x)x£0,求ffx0f=1,f0)=1,f=- x£0,- x£0,f=例 x<1,0,1f1证明在0,1内有唯一的点x0fx0= Ffx,Ff0Ff1a,bx00,1x1x1 定理得，存在x˛, Fx=0,即fx= 例 af<a,b,x= 不妨设fa>0,f<0, , ,a,b)fx=

y=f 例 设函数f在x=0处可导，且对任意实数x,fxyffy,f在¥+¥⑵faxfa为任一常数。f在x0处连续，故0-Dxfi DxfixDy=fx+Dx)-f=f+f-f-f=f-f 故，limDylimff Dxfi Dxfi即：f˛C¥+¥limDy=limfx+Dx)-fDxfi0 Dxfi =limf-f=f=aDxfi f=f+ff=b= 设函数f在[0,1]内有三阶导数，且f=0,又函数F=x3fx,证明在0,1内至少存在一点x,使得Fx=0.F在区间F=F=x1˛使得F10,F=3x2f+x3fF10,12=F=6xf+4x2f+x3f,F由此得$x˛0,2Fx=例 设函数f˛CD2a,b,ff0,f0,acb,证明：至少存在x˛a,b,fx>0.证 a,,¢=fc-faf1

c-

c,b, fb-fcf2

b-

在区间2上再一次使用 在x˛1,2)a,b,使得x=2-1例 求下列极限ex-e-

⑴xfi¥

+e-

⑵ 2xfipp-2x -1/ ⑶

2xtanpxfi

xfixfi

1+x1/；x

ex-e- ex-e-=1, xfi+¥

+e-

xfi-¥

+e-所以，极限

ex-e-

xfi¥ex

+e-⑵

xfipp-2x2 xfi

-4p-

xfip 88⑶xfi

e-1/x

t=x

limt=tfi+¥y=2-x)

,则lnytan2

xln2-

2x,cotpx2limln2-x)=

=2xfi

xfi

-

2

lim2pxfi⑸

+/x-

1/x=+

1++ xfi

xfi

+.=-++ 1-+ .=-xfi

+

xfi

4 例 求极限limncos

-e-1/2n2.nfi .4 limxcos

-e-1/2

,并作变换t1,

xfi

-t2/2limx4cos

-e-1/2

=

cost- xfi tfi cost=1-1t2+1t4+ot4 e-t/2=1-t2

1t4+t41 1 cost-e-t/2=-t4+o cost

-t2/2

-1t4+ot4

- =

=-1tfi t tfi t 例 设函数f在点x=0处有三阶导数，f-f0,f=1,f2xfi证将f展开成二 展开式，f=x+x2+o2

=1.

limf-

=1.xfi 例 设f在x=0的邻域内有三阶导数， fxlim1+x xfi0 f0,f0,f fx⑵求lim1+ xfi0 由条件得f=f=0,f= ffx2ox21ax2ox2 则 fx

1/

ox2xfi0

xfi0

a

1+a 2=lim1+1+x+ 2

xfi0

=e3,a= f=fx2+ox2=1ax2+ox2=2x2+ox2 fx lim1+ =lim2x+oxfi0

xfi

xfi0

=e2.例 设在上，f>0,证明函f-f

x˛a,b]f=

x-a

x=证xa时，有=xa--x-f-f=fxxaxf0,fxf-fx>=fxa)ffx-=f-f-a)>x-例 证明不等式e2x<1+x0<x<1.x证f1x)1xe2xf=121-xe2注意到ff=2e2x+4xe2x-2e2x‡所以，fx0时，有f>0,所以，fx)x0时，有f>0,例 证明不等

sinx>2x0<x<p.2p 2p sin证做函数f

,xlimsinx=1,fp=22p xfi 2p 因：fxcosxsinxxtanx x2cos所以，f0xp2f<fp=22p 2p 证 用凹凸性证明。做g=sinx-2p2 g=-sinx<2 gx

g0=g

=

2是上凸的， 0xpg0.2sinx>2p 求函数f=xex-2的零点个数。解对函数f=xex-2,则：f=ex+xex=1+xex=0,x=-=x2exx˛¥-1,f0,f,x为f limf=-2,limf=+¥ fifnn例 设a>0,b>0,证明：当nnn

>na+ 作f=x1/

+b1/

xnff=1x1/n-1-x+/n-1> n f是单调上升的，因而当x0fxa,x2例 设函数f(x)=

x>

求fx+ x£limf2,limfx=1,xfi xfi2ln=

x<x˛¥,0,y¢>0y›,x˛0,e-1,y¢<0y,所以，f2,f1e-2e-1分别为函数的极大值和例 =limf=xfi x0f的极值点？若是，是极大值⑵ff0,且存在0U f>f

fi

limf=xfi 故存在x0的某个邻域Uf0,，因而,f不是拐点。 度为8a，求以水平方向通过的铁杆的最长长度。 如图所示，铁杆的长度为L=L1+L2,其L=8a,L= 2 sinq cosq2 qqL=8a+ , sinq sin2qcos2 令0,tanq255sinq=2,cosq=155L=

+

= +sinq

=

5+5

5= 5即，铁杆的最大长度为

,例 在椭

=1

两点A2a,0,B,2b)所构成的三角形面积为最小。解因线段AB固定，故欲使面积最小，即要使点p离开byoa2axbyoa2a 即：bxay2ab点pbx+aybx+ay-a2+bxay2ab0故目标函数为：f2abbxay,条件为a2-y=

=

f=2ab-bx- a2-a2-fa2-a2-

=即

=x,x=aa2-22yya2-22pa,b22 22 例 求函数y=lna>的凹凸区间和拐点 解y=alnx=alnx-lna,y¢=a1-nx-ln, 1-2ln x=ae3/2,ae3/ 3/ -3/2为拐点2 2 ,ae3// ⑴设函数f是区间I上的凸函数，试用归纳法证明：若x1,x2, ,xn是I内不完全相同的n个数，正数 ln满足l1l2+ln=1,1+22+n111 ann£1+a2++an)a1,a2, ,an>n1fx1+l2x2=f-l2x1+lx2 <1-1+1+x2即当n2假设在n时命题成立：即对n<1f1+2f2++lnfn ,ln+1,满足l1+l1++ln+1=,ni1, ,ni lx=1-

x+l

i=11-

x=x ,lx=-l

n

n

即有xn+1=

从而xi=xn+1i=1,2, ,n,此为 fln+1+ln+1xn+1-+xn+1而 fx=

1-

xi

fi

-+xn+1 i£-i

fx+lf

i=11-

=lifxi flixi=f

1-

i=11-ln+1

-+xn+1nxi+xn+1nflnx,f为定义域上的凹函数对正数a,a ,a,l=1i lnlni

£ln

ainni n 取以e

1/

nin

n ann£1+a2++ann例 试证曲线y=x-1有三个拐点，且位于同

x2+1x2+1-x- 1+2x-证

+

+

2-22+2-+2x-x222+12x2+2x+12-4x=

44所以，y0x11x2,32–

, 2

3,-1–,3 2,3 3 1y2-y1=y3-y2=1x2- x3- 1设yfxysinxlimnf2n nfi n x5x-10

x-

⑵xfi1 - x-1

xfi11-x+ln

1-cosx

im xfi11- lnx xfixx+-2x-

tanx-sinxfi

xsin2a1/x+a1/x++a1/x⑹lim xfi+¥ fff=nx-xfi

lnfff的两个零点之间一定有ff的零点。fxf0,f-F=证明F

x-a