数学史数学文化与数学教学课件

数学史与数学文化视角下的数学教育“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了。作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。”

——M·克莱因《西方文化中的数学》一、数学史与数学文化视角下的数学教育1数学家和数学教育工作者的观点法国著名数学家庞加莱(HenriPoincare,1854~1912)在1908年出版的《科学与方法》中曾指出:“如果我们想要预见数学的将来,适当的途径是研究这门科学的历史与现状”他认为数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给学生.著名数学家和数学史家克莱因(M·Kline,1908~1992)坚信:历史上大数学家所遇到的困难,正是学生也会遇到的学习障碍,因而数学史是教学的指南,教师应该介绍历史背景,如果它是有趣的和有启发意义的.根据孔德(A1Comte,1798-1857)的历史发生原理数学教育工作者得出结论:数学家遇到的困难或挫折同样也会为课堂上的学生所经历,学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似.

因此数学史对于数学教师设计和实施数学教学以及指导学生数学学习都将起到重要的作用.关于数学史的教育功能,早在上世纪80年代我国著名数学家吴文俊也有对此认同的观点.我的导师，著名数学史家中科院数学所李文林先生更是将数学史研究的功能精辟地概括为如下三重目的：

1、历史的目的（数学史家）；

2、数学的目的（数学家）；

3、教育的目的（数学教育家）。

M·克莱因“关于高中数学课程的建议”（1966）:“在建构数学时,发生原理是极其有用的.该原理说:历史顺序通常是正确的顺序,数学家所经历的困难,正是我们的学生要经历的困难.试图利用逻辑的冗长语言来消除这些困难是不可能成功的让我们举例说明上述观点.如果从演绎数学诞生开始,数学家花了1000年才得到负数概念,又花了另外1000年才接受负数概念,那么你就可以肯定:学生在学习负数时将会有困难.而且,学生克服这些困难的方式与数学家大致也是相同的.因此我们必须为这样的困难做准备,并帮助他们克服这样的困难.将分配律扩展到负数根本无益于理解负数.”卡约黎

(F.Cajori,1859～1930)《初等数学史》(1917)：“历史告诉我们：在教代数的时候，给出负数的图形表示是十分重要的。如果我们不用线段、温度等来说明负数，那么现在的中学生就会与早期代数学家一样，认为它们是荒谬的东西。”M·克莱因(M.Kline,1908～1992)《数学:文化进路》(1967)：“如果记住物理意义，那么负数运算以及负数和正数混合运算是很容易理解的。”2数学史教育价值的实证研究：两个实验介绍McBrod

和Rollins通过实验研究了数学史的学习对于大学生数学学习态度的影响.研究被试共67名,其中一半被试在正常数学学习中每次增添五分钟时间学习相关的数学史,实验时间一共12周,在实验前后采用统一的数学态度量表测试学生的数学态度.结果发现,数学态度改变有着显著差异,运用数学史在促进学生形成积极的数学态度上有着明显的效果.Jardine研究了在微积分课程学习中运用数学史的效果.研究被试共84名,研究人员要求他们研究历史图形或者概念,然后向全班学生做3到5分钟的口头陈述,最后交上一篇一页左右的短文,实验时间正好一个学期,实验结束之后,所有被试参加匿名调查.结果发现,学生普遍认为数学史激发了他们的数学学习动机,丰富了他们的数学学习体验.相关研究表明：利用数学史可以----激发学生的学习兴趣、培养学生的数学精神启发学生的人格成长、预见学生的认知发展----指导并丰富教师的课堂教学----促进学生对数学的理解和对数学价值的认识----构筑数学与人文之间的桥梁等等数学史已成为理解数学的一种重要途径成为数学教学的有效教学策略之一3、HPM介绍成立于1972年的HPM小组

InternationalStudyGroupontheRelationsbetweentheHistoryandPedagogyofMathematics数学史与数学教学关系的国际研究群它隶属于国际数学教育委员会(ICMI,InternationalCommissiononMathematicsEducation)专门推动数学史在数学教育上的应用工作.四年一度的HPM国际会议（作为ICME的卫星会议）以及各地HPM学术会议论文层出不穷近年来,欧美HPM方面的硕士和博士学位论文不断增加香港和台湾的HPM的研究方兴未艾全国第一届数学史与数学教育学术会议于2005年5月在西北大学召开,在这次大会上,与会代表们已经在HPM研究上达成了共识,认为从理论走向实践是HPM研究的趋势,国内的HPM研究也应当走向实践,而不是停留在必要性的探讨上.HPM介绍HPM研究的内容、方法与案例HPM研究当然不能脱离数学史的研究；但与纯数学史研究相比，前者不是为历史而研究历史，而是为教育而研究历史，我们称之为数学教育取向的数学史研究。其目的之一是为数学课堂教学提供相关材料。美国数学教师协会早在1969年就组织数学史家和数学教育家编写了《用于数学课堂的历史话题》

（1）数学教育取向的数学史研究中学数学中的许多知识点的历史都有待于我们去研究。因为这些专题史往往为纯数学史家所忽略，很少完整地见于一般数学通史著作，如：平面概念的历史、角概念的历史、向量概念的历史、均值概念的历史等等。J.Matos对角概念历史的研究不过是其中一例而已。HPM研究的内容、方法与案例数学教育取向的数学史研究的另一目的是获取相关知识点(概念、公式、定理等)的教学启示。卡约黎(F.Cajori,1859～1930)的《初等数学史》就是早期的例子.如,卡约黎根据负数的历史得出结论:“在教代数的时候,给出负数的图形表示是十分重要的.如果我们不用线段、温度等来说明负数,那么现在的中学生就会与早期代数学家一样,认为它们是荒谬的东西.”HPM研究的内容、方法与案例M·克莱因从数学历史中获得了诸多启示,如:任何一门学科最初都是通过直观的方法建立起来的,每一位数学家都是直观地思考问题,然后才用演绎的形式,用文字、数学符号和普通的逻辑来表述他的论点.因此,数学理解乃是通过直观的方法来获得的,而逻辑的陈述充其量不过是学习的辅助工具.M·克莱因因而提出如下课程原理:必须将每一种数学思想或方法的直观意义从直观上清楚地讲给学生.HPM研究的内容、方法与案例M·克莱因说:“把函数的连续性说成是一条可以用铅笔不间断移动所画出的曲线,比起ε-δ的定义来,要容易掌握多少啊!”M.A.Malik通过对函数概念历史的考察获得启示:中学阶段应该教简单易懂的函数概念;J.P.Ponte通过对函数历史的考察获得启示:

在中学阶段将函数定义为数集之间的对应关系是合适的;中学数学中必须强调具有解析式的函数例子;将函数等同于解析式,不应被看作是一个大错误！L.Filep通过对分数概念历史的考察,获得教学启示:分数概念的引入必须与度量联系起来,而不是两数相除.结论:数学史是一个宝藏,不论时代如何变迁,那些从事数学研究和数学教育的人们总是可以并且也有必要从中汲取有益的思想养料.HPM研究的内容、方法与案例

（2）相似性研究：测试与访谈在数学教学中运用数学史的最重要的论据之一是历史发生原理.该原理可以上溯到18世纪孔德（A.Comte,1798～1857）时代,19世纪人们将德国生物学家海克尔（E.Haeckel,1843～1919）所提出的生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”运用于教育中,重新得出“个体HPM研究的内容、方法与案例

知识的发生遵循人类知识发生的过程”，历史发生原理因此而形成。就数学教育而言，个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序。教育家们相信，有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤。F·克莱因（F.Klein,1849～1925）、庞加莱（H.Poincaré,1854～1912）、波利亚（G.Pólya,1887～1985）、弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905～1990）等都是历史发生原理的支持者。20世纪80和90年代，西方学者对历史发生原理进行了广泛的讨论，实证研究方法随之出现。二、对数学教学的启示莱布尼茨（G.Leibniz,1646~1716）指出：“了解重大发现，特别是那些绝非偶然的、经过深思熟虑的重大发现的真正起源，是极为有益的”，通过历史范例，可以“促进数学发现的艺术，揭示数学发现的方法”.数学史运用于数学教育的三个层次说：第一层次：第一个层面也是当前数学教育界谈得最多的，即在数学课程中适当地增加进数学史料，以激发学习兴趣，进行爱国主义教育等（这往往是停留在表面上，没有起到数学史的应有的作用和育人功能）；第二个层面就是新课标中提出的开设《数学史选讲》、《数学文化》等课程，从而对学生进行文化的修养（但从实际的教育实践来看，由于众所周知的高考升学压力，这些课程开设的效果并不好）；第三个层面，也是笔者要着重思考和研究的问题，基于中国教育的现实（升学就业），我们认为要真正地把蕴含着数学思想方法的巨大宝藏的数学史的文化教育功能发挥出来，就必须走数学史与数学教育整合的研究之路，这也是本研究所设想的“基于数学思想的历史与逻辑的数学教育方式”的基本认识——即将历史上发生的数学的思想和方法融进数学的知识内容的教学之中，让学生在学习数学知识的同时，受到数学的精神、思想、方法的熏陶，这就是我们认为的数学史在数学教育中的作用的第三个层面（或者说是第三种境界）。普通高中新课程标准所指出的：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质”应该指的就是这样的一种境界。思考与构想：

基于数学思想的发生发展的历史与逻辑以及数学家创立新数学理论的思维过程的基础上，揭示其对数学教育的迁移和教育作用（即如何将数学家的思维方式转化为数学的教育形态），并将这一基本认识迁移到我们的数学教育教学实践中，形成“基于数学思想的历史与逻辑的数学教育方式”的基本范式。将历史上发生的数学的思想和方法融进数学的知识内容的教学之中，让学生在学习数学知识的同时，受到数学的精神、思想、方法的熏陶。真正地把蕴含着数学思想方法的巨大宝藏的数学史的文化教育功能发挥出来，走数学史与数学教育整合的研究之路。具体地说，我们将有选择地探究与中学数学密切相关的有关专题的历史上数学家（如笛卡尔、牛顿、高斯等）发明与创造数学新理论的思维过程，并研究这种思维过程对于数学教育的迁移：即数学家是如何发现数学的？这种发现数学的机制在数学教育中怎样迁移？它对于培养学生的探究与发现的数学思维与实践能力的又有怎样的作用？……

其次，我们将着重通过分析与研究在数学学习过程中学生的真实的思维活动，适时地调整教师的教学（思维）方式，探究培养学生数学思维与实践能力的基本途径和教学落脚点。构想：

在数学教育实践中，基于对数学观、数学教育观以及数学教学观及其指导下的数学教育实践的深入的哲学思考基础上，以着眼于学生数学思维能力的培养和创新思维能力开发为基本教育哲学理念；遵循数学思想发生发展的历史与逻辑相统一的辩证思维基本规律，贯彻以数学思想方法为核心，充分揭示数学的思维过程为原则来组织数学的教与学；将数学地思维（数学思想方法——数学观——世界观）作为数学教学的首要目标，突出培养学生的数学观在数学教学中的重要地位和数学的教育功能；同时，我们特别注重学生的思维与实践能力在数