第6章-时变电磁场6课件

第六章时变电磁场§6.1法拉第电磁感应定律与麦克斯韦第二方程§6.2位移电流和全电流定律§6.3麦克斯韦方程组§6.4分界面上的边界条件§6.5坡印亭定理和坡印亭矢量§6.6时谐变电磁场§6.7波动方程§6.8时变场的标量位和矢量位★复数表示法一、时谐变电磁场量的复数表示法二、麦克斯韦方程组的复数形式三、能量密度、坡印廷定理和坡印廷矢量的复数表示法四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式§6.6时谐变电磁场一、时谐变电磁场量的复数表示法二、麦克斯韦方程组的复数形式三、能量密度、坡印廷定理和坡印廷矢量的复数表示法四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式§6.6时谐变电磁场1、欧拉公式一、时谐变电磁场量的复数表示法容易验证：单位复数：复数z0的三角形式和指数形式：三角形式：指数形式：(6-35)(6-34)令则(6-35)★正弦电磁场

现在我们讨论一种特殊的时变电磁场：其场强的方向与时间无关，但其大小随时间的变化规律为正弦函数，即

仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。为角频率。式中，

为正弦函数的初始相位,它可能是空间的函数。具有这种变化规律的时变电磁场称为正弦电磁场，或者称为时谐电磁场。正弦电磁场在实际中获得广泛的应用。由傅里叶变换的数学方法得知：任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。

正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。因为场与源随时间的变化规律是相同的，所以正弦电磁场的场和源具有相同的频率。

当场的方向与时间无关时，对于这些相同频率的正弦量之间的运算可以采用复数方法，即仅须考虑正弦量的振幅和空间相位

，而略去时间相位t。那么，对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量表示为原来的瞬时矢量和复矢量的关系为

实际中，通常测得的是正弦量的有效值，（即平方的周期平均值）式中所以最大值表示复矢量和有效值表示复矢量之间的关系为以

表示正弦量的有效值，则无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与时间无关。而且，只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算。

有的书刊将正弦电磁场表示为则瞬时矢量与复矢量的关系为将下列场量的复数和瞬时值表达式互换。（设对t的变化以余弦为基准。）例6-7P225解：

一、时谐变电磁场量的复数表示法二、麦克斯韦方程组的复数形式三、能量密度、坡印廷定理和坡印廷矢量的复数表示法四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式§6.7时谐变电磁场已知正弦电磁场的场强与源的频率相同，因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程。二、麦克斯韦方程组的复数形式因此，麦克斯韦第一方程(6-16a)可表示为（对于正弦电磁场）：或写为因为上式对于任何时刻均成立，故虚部符号可以消去。那么即同理可得以及式中各量均为有效值。(6-37)麦克斯韦方程的复数形式(6-39)线性各向同性媒质的本构关系将麦克斯韦方程组中的各场量都用复数表示时，只需用j代替对时间的导数，并消去方程两边的时间因子，如用有效值表示，则上式可表示为：例如对第一方程可表示为：(6-16a)如用有效值表示，则上式可表示为：式中，(6-36)(6-37)★谐变电磁场中的介质特性

实验和理论都证明，对于谐变电磁场，线性均匀各向同性介质的

极化强度、磁化强度和传导电流密度也是谐变量，即：(6-39)一、时谐变电磁场量的复数表示法二、麦克斯韦方程组的复数形式三、能量密度、坡印廷定理和

坡印廷矢量的复数表示法四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式§6.7时谐变电磁场三、能量密度、坡印廷定理和坡印廷矢量的复数表示法已知时变电磁场的电场及磁场能量体密度的瞬时值分别为

因此最大值为或者表示为式中及分别为复矢量及的共轭值。已知正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为即式中E(r)

及

H(r)

均为有效值。上式又可写为

或者以场强的最大值表示为

或者表示为上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度与磁场能量密度的最大值之和的一半。同样，媒质中单位体积内的损耗功率也可用复矢量表示。其最大值为平均值为可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。已知能流密度矢量

S的瞬时值为其周期平均值为现定义一个复能流密度矢量

Sc

，令式中及均为有效值。该定义又可用场强最大值表示为

那么，复能流密度矢量

Sc

的实部及虚部分别为可见，复能流密度矢量的实部就是能流密度矢量的平均值，即同时表明，复能流密度矢量的实部及虚部不仅取决于电场及磁场的振幅大小，而且与电场及磁场的相位密切相关。当电场与磁场同相时，即，则实部为最大正值，虚部为零；当电场与磁场反相时，即，则实部为最大负值，虚部仍然为零；当电场与磁场的相位差为的奇数倍，即 ，则实部为零，虚部为最大正值或负值；若电场与磁场的相位差为任意值时，则虚部及实部均不为零。tttt电场强度磁场强度能量定理也可用复矢量表示为即此式称为复能量定理复能流密度矢量的实部表示能量流动，

虚部表示能量交换。可见:流进

S内的复能流密度矢量通量的实部等于

S

内消耗的功率，这就表明，Sc的实部的确代表单向流动的能量。

一、时谐变电磁场量的复数表示法二、麦克斯韦方程组的复数形式三、能量密度、坡印廷定理和坡印廷矢量的复数表示法四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式§6.7时谐变电磁场四、达朗贝尔方程及其特解的复数形式(6-69)对于正弦电磁场，位函数也可用复矢量表示。其方程为考虑到时间滞后因子，对于正弦函数，表现的相位滞后为 。令则罗伦兹条件的复数形式为正弦电场和磁场与位函数的关系也可用复矢量表示为(6-70)已知自由空间时谐变电磁场的电场瞬时值为试求其磁场强度的复数形式及能流密度矢量的平均值。解：根据时变