函数单调性的证明函数的最值

人教B版高中数学必修第一册

§3.1.2

函数单调性的证明、函数的最值

我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律.情境与问题

如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y=f（x）.

这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？

情境与问题中的函数y=f（x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小.

给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过.如下图，从正比例函数y=2x的图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.尝试与发现

怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”？

一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，且I⊆D：

（1）如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），则称y=f（x）在I上是增函数（也称在I上单调递增），如下图（1）所示；

这种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间）.

由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，y=2x在R上是增函数；y=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数.（2）如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），则称y=f（x）在I上是减函数（也称在I上单调递减），如下图（2）所示

这种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递减区间）.能否说y=在定义域内是减函数？为什么？想一想尝试与发现

如下图所示的函数y=f（x），在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是函数，在[1，3]上是函数，在[3，6]上是函数.增减

增

由尝试与发现可知，从函数的图像能方便地看出函数的单调性.但一般情况下，得到函数的图像并不容易，而且手工作出的图像往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法.例1求证：函数f（x）=-2x在R上是减函数.

一般地，设函数f（x）的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f（x）≤f（x0），则称f（x）的最大值为f（x0），而x0称为f（x）的最大值点

如果对任意x∈D，都有f（x）≥f（x0），则称f（x）的最小值为f（x0），而x0称为f（x）的最小值点

最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.例2判断函数f（x）=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值.例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以-3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.单调性的性质在公共定义域内，增函数＋增函数＝________；减函数＋减函数＝________；增函数－减函数＝________；减函数－增函数＝________.增函数减函数增函数减函数(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明.利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性题型二求函数的单调区间角度1利用图像求函数的单调区间【例2－1】画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间.函数单调区间的两种求法 (1)图像法：即先画出图像，根据图像求单调区间. (2)定义法：即先求出定义域，再利用定义进行判断求解.

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个或两个以上单调区间时，单调区间之间可用

“，”分开，也可以用“和”来连接，不能用“∪”.角度2利用定义求函数的单调区间角度3求复合函数的单调区间

对于复合函数的单调区间，分解函数时，要把函数分解成一些初等函数，以便比较熟练地写出这些内层函数的单调性.题型三函数单调性的应用角度1由单调性比较大小【例3－1】(1)已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则

有(

)(2)已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则(

) A.f(2)>f(3)B.f(2)>f(5)C.f(3)>f(5)D.f(3)>f(6)角度2利用单调性解不等式【例3－2】

(1)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________.题型四函数的最值问题角度1由单调性求最值【例4－1】已知函数

(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.角度2二次函数最值分类讨论问题【例4－2】

(1)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值.二次函数在闭区间上的最值

对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：(1)若h∈[