备战高考技巧大全之高中数黄金解题模板

【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论.例1已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。（4）恒成立.【变式演练1】已知函数在上有意义，则的取值范围是.【答案】．【解析】函数在上有意义，等价于在上恒成立，即恒成立，记，即等价于.因为在上是增函数，因此的最大值为.所以，于是的取值范围是，故应填．【变式演练2】若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法二函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型宜变量分离，故直接研究函数，先求导数，导函数有两个零点，再根据两个零点大小分类讨论：时，，；时，；时，试题解析：（1）当时，，所以，函数在点处的切线方程为即：（Ⅲ）因为在上恒成立，有在上恒成立．所以，令，则．令则若，即时，，函数在上单调递增，又所以，在上恒成立；若，即时，当时，单调递增；当时，，单调递减所以，在上的最小值为，因为所以不合题意．即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为又因为，所以恒成立综上知，的取值范围是考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题.方法三判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.例3设，当时，恒成立，求实数的取值范围.解得。综上可得实数的取值范围为.【点评】一般地，对于二次函数,有1）对恒成立；2）对恒成立.例4、若为二次函数，-1和3是方程的两根，.（1）求的解析式；（2）若在区间上，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）设二次函数，由可得，故方程可化为，∵-1和3是方程的两根，∴由韦达定理可得，解得，故的解析式为；（2）∵在区间上，不等式有解，∴在区间上有解，故只需小于函数在区间上的最大值，由二次函数可知当时，函数取最大值5,∴实数的取值范围为考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为来求参数的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.【变式演练6】已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。【答案】.【变式演练7】已知：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；：不等式有解，若为真，为假，求的取值范围．【答案】【解析】试题分析：由韦达定理可得，则当时，，不等式对任意实数恒成立即，可得或；不等式有解的充要条件为，则由为真，为假可得的取值范围．试题解析：∵，是方程的两个实根，∴，，∴，∴当时，，由不等式对任意实数恒成立，可得，∴或，①若不等式有解，则当时，显然有解，当时，有解，当时，∵有解，∴，∴，∴不等式有解时，∴假时的范围为，②由①②可得的取值范围为．考点：命题真假性的应用【高考再现】1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数QUOTESKIPIF1<0有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是SKIPIF1<0QUOTE的两个零点,证明：SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0存在两个零点．（iii）设SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．又当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不存在两个零点．若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,在SKIPIF1<0单调递增．又当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不存在两个零点．综上,SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．考点：导数及其应用2.【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知SKIPIF1<0.（=1\*ROMANI）讨论SKIPIF1<0的单调性；（=2\*ROMANII）当SKIPIF1<0时，证明SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）求SKIPIF1<0的导函数，对a进行分类讨论，求SKIPIF1<0的单调性；（Ⅱ）要证SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0成立，即证SKIPIF1<0，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减.综上所述，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，在SKIPIF1<0内单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，在SKIPIF1<0内单调递减，在SKIPIF1<0 内单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递增，在SKIPIF1<0内单调递减，在SKIPIF1<0内单调递增.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0SKIPIF1<0单调递减，因为SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；在SKIPIF1<0上单调递减，由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0取得等号，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立。考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0.（1）求方程SKIPIF1<0的根;（2）若对任意SKIPIF1<0,不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的最大值；（3）若SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有且只有1个零点，求SKIPIF1<0的值。【答案】（1）①0②4（2）1【解析】试题解析：（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.①方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.②由条件知SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立.而SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故实数SKIPIF1<0的最大值为4.于是当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.因而函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是单调减函数，在SKIPIF1<0上是单调增函数.下证SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为端点的闭区间上的图象不间断，所以在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间存在SKIPIF1<0的零点，记为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与“0是函数SKIPIF1<0的唯一零点”矛盾.若SKIPIF1<0，同理可得，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间存在SKIPIF1<0的非0的零点，矛盾.因此，SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.4.【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知SKIPIF1<0，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=SKIPIF1<0（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间0,6]上的最大值M（a）.【答案】（I）SKIPIF1<0；（II）（i）SKIPIF1<0；（ii）SKIPIF1<0．【解析】试题解析：（I）由于SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．所以，使得等式SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．（II）（i）设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，由SKIPIF1<0的定义知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（ii）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．【思路点睛】（I）根据SKIPIF1<0的取值范围化简SKIPIF1<0，即可得使得等式SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范围；（II）（i）先求函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的最小值，再根据SKIPIF1<0的定义可得SKIPIF1<0；（ii）根据SKIPIF1<0的取值范围求出SKIPIF1<0的最大值，进而可得SKIPIF1<0．6.【2016年高考四川理数】（本小题满分14分）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得SKIPIF1<0在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).【答案】（Ⅰ）当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0>0，SKIPIF1<0单调递增；（Ⅱ）SKIPIF1<0.【解析】试题解析：（I）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内单调递减.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0=0，有SKIPIF1<0.此时，当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0>0，SKIPIF1<0单调递增.故当SKIPIF1<0>SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内恒成立时，必有SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0>1.由（I）有SKIPIF1<0,从而SKIPIF1<0，所以此时SKIPIF1<0>SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内不恒成立.当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0单调递增.又因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立.综上，SKIPIF1<0．考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求SKIPIF1<0，解方程SKIPIF1<0，再通过SKIPIF1<0的正负确定SKIPIF1<0的单调性；要证明函数不等式SKIPIF1<0，一般证明SKIPIF1<0的最小值大于0，为此要研究函数SKIPIF1<0的单调性．本题中注意由于函数SKIPIF1<0有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．7.【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．8.【2015高考福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．（III）由（II）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．当时，令，，则有．由得，．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．9.【2015高考山东，文20】设函数.已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程QUOTE在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数QUOTE（表示，中的较小值），求的最大值.【答案】（I）；(II)；(III).【解析】当时，.又所以存在，使.因为所以当时，，当时，，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程在内存在唯一的根.其次是根据（II）的结论，确定得到的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥.10.【2015高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a∈(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.11.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数（=1\*ROMANI）求的单调区间;（=2\*ROMANII）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（=3\*ROMANIII）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（=1\*ROMANI）的单调递增区间是,单调递减区间是;（=2\*ROMANII）见试题解析;（=3\*ROMANIII）见试题解析.试题解析:（=1\*ROMANI）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（=2\*ROMANII）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.12.【2015高考四川，文15】已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【解析】对于①，因为f'(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m，n的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x1，x2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题.13.【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（）(A)-，1）(B)-QUOTE，QUOTE）(C)QUOTE，QUOTE）(D)QUOTE，1）【答案】D【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.14.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）．．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（Ⅱ）恒成立，等价于．由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．15.【2015高考福建，理20】已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)．当时，令得．取对任意恒有,所以在上单调递增,,即.综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．综上，.【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．【反馈练习】1．【2017届福建连城县朋口中学高三上期中数学试卷，理9】若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】考点：不等式恒成立问题.2.【2017届福建连城县一中高三上期中数学试卷，理12】若函数存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：显然，令，分离参数得.令，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，画出图象如下图所示，由图可知，要存在唯一零点，则需.考点：函数导数与零点.3.【2016-2017学年河南郑州七校联考高二上期中考试数卷，文8】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.4.【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试理数试卷，理12】若对于任意的,关于的不等式恒成立，则的最小值为（）A．B．C.D．【答案】A【解析】试题分析：设，根据已知条件知：，该不等式表示的平面区域如图所示，设，所以，所以该方程表示以原点为圆心，半径为的圆，原点到直线的距离为，所以该圆的半径，解得，故选A.考点：简单的线性规划求最值.5.【2017届河北武邑中学高三上期中数学试卷，文20】已知．（1）若在上单调，求实数的取值范围；（2）证明：当时，在上恒成立．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数知识求解；（2）借助题设运用导数的有关知识分析推证．（2）时，当时，在上单调递增，在上单调递减，∴存在，使得在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减故在上，，所以在上恒成立考点：不等式的推证方法及导数的有关知识的综合运用．6.【2016-2017学年黑吉两省八校高二上期中数学试卷，文21】设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对恒成立，求的取值范围；（3）求整数的值，使函数在区间上有零点．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题解析：（1），∴，∴所求切线方程为，即（2）∵，对恒成立，∴，设，令，得，令得，∴在上递减，在上递增，∴，∴（3）令得，当时，，∴的零点在上，令得或，∴在上递增，又在上递减，∴方程仅有一解，且，∵，∴由零点存在的条件可得，∴.考点：导数的综合应用问题．7.【2017届湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三文上联考一数学试卷，文21】已知函数，其中.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】试题解析：（1）由，所以又，所以所以切线方程为切线方程为：（2）令因为，所以在，递增，在递减要使对，不等式恒成立，即当时，即时，在递增，在递减所以当时，即时，在递增，在递减，在递增考点：导数的几何意义，不等式恒成立，导数与最值．8.【2017届山西右玉一中高三上期中数学（理）试卷，理21】已知函数（为自然对数的底数），，．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的极小值；（3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）求出在处的导数即得切线的斜率；求出切点坐标，根据点斜式方程求得切线方程；（2）讨论导函数的零点与定义域的关系得到其单调性，找出极小值点，求得极小值；（3）对任意的，总存在，使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，分别求出的最小值和的最小值，得到的范围.（2），，又的定义域，∴当时，令，或，令，，∴在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，∴的极小值为，当时，，综上，．（3）对任意的，总存在，使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，考点：导数的几何意义