2022-2023学年湖南省长沙市高二下学期期中数学试题2【含答案】

2022-2023学年湖南省长沙市高二下学期期中数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质求出，即可得出答案.【详解】因为，所以.因为，所以.故选：C.2．已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或.因此，函数的定义域为.故选：A.3．设函数的定义域为R，且是奇函数，则图像（

）A．关于点中心对称 B．关于点中心对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】A【分析】根据奇函数的性质，结合对称性，即可得出答案.【详解】因为为奇函数，所以，所以函数图象关于点中心对称.故选：A.4．如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据随机变量的线性关系，结合数学期望与方差的性质即可得，，故可得答案.【详解】解：因为，所以，，则，.故选：D.5．关于“函数，的最大、最小值与函数，的最大、最小值”，下列说法中正确的是（

）．A．有最大、最小值，有最大、最小值B．有最大、最小值，无最大、最小值C．无最大、最小值，有最大、最小值D．无最大、最小值，无最大、最小值【答案】C【分析】画出，的图象，数形结合得到其最值情况，在，的基础上，得到，的最值情况.【详解】，，画出函数图象如下：函数，无最大值，也无最小值；当时，此时函数的图象为上一些点，当且时，，当且时，，且函数在且上单调递减，在当且上时单调递减，故时，取得最小值，当时，取得最大值.故选：C6．如图是下列某个函数在区间的大致图象，则该函数是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用特殊值结合排除法求解．由正负、的大小及函数的零点排除三个选项得正确结论．【详解】对B，由，知，但由图象知，故可排除B，对C，因为在上，而由函数图象知函数一个零点在上，而排除C；对D，由知，而由函数图象可知，故可排除D.故选：A．7．“”是“不等式与同解”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】取特殊值，即可得出充分性和必要性均不满足.【详解】取，，满足，所以即为，即为，两不等式的解集不同，故充分性不满足；不等式与不等式的解集相同，均为R，但不满足，故必要性不满足.所以“”是“不等式与同解”的既不充分又不必要条件.故选：D.8．设，则的大小顺序为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小．【详解】令，，则，，，而，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，即.故选：B.二、多选题9．下列函数中，能用二分法求函数零点的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用二分法零点判断规则即可得到正确选项【详解】选项A：由，可得在上存在零点；选项B：由，可得在上存在零点；选项C：，则其零点为，但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点；选项D：由，可得在上存在零点.故选：ABD10．下列选项中，正确的是（

）A．对于任何两个集合，恒成立B．“对于，”的否定是“，”C．对于成对样本数据，样本相关系数越大，相关性越强；相关系数越小，相关性越弱D．已知实数x，y，z满足，则【答案】AB【分析】根据集合的运算，即可得出A项；根据全称量词命题的否定可知B项正确；根据样本相关系数的概念，可判断C项；作差，结合不等式的性质，即可判断D项.【详解】对于A项，对于任何两个集合，都有，所以恒成立，故A项正确；对于B项，根据全称量词命题的否定可知，“对于，”的否定是“，”，故B项正确；对于C项，对于成对样本数据，样本相关系数的绝对值越大，相关性越强；相关系数的绝对值越小，相关性越弱，故C项错误；对于D项，作差可得.因为，所以，，，所以，，所以，故D项错误.故选：AB.11．下列命题中，正确的命题是（

）A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7B．已知随机变量X服从正态分布，且，则C．若事件A，B满足，则A与B独立D．在独立性检验中，已知，若计算出，由此推断出犯错误的概率不大于0.01【答案】BCD【分析】根据百分数的计算公式，即可判断A项；根据正态分布的对称性，即可得出B项；由已知可推得，即可得出C项；根据已知条件，结合独立性检验规则，即可得出D项.【详解】对于A项，由，所以70%分位数是，故A项错误；对于B项，因为，所以正态曲线关于对称.又，所以有，所以，故B项正确；对于C项，因为，即.又，即，所以，故与独立，故C项正确；对于D项，由已知，根据独立性检验规则可知，推断出犯错误的概率不大于，故D项正确.故选：BCD.12．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由已知得出的可能取值为0，1，2，根据超几何分布得出的分布列，根据公式，求得期望、方差，即可得出答案.【详解】根据题意，的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以，，，.所以，的概率分布列为：012所以，，.对于A项，由分布列可得，，故A项正确；对于B项，由分布列可知，，故B项正确；对于C项，因为，故C项错误；对于D项，由上分析知D项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列、期望、方差的方法，1.由已知得出随机变量的取值；2.列出分布列；3.根据分布列求出期望、方差.三、填空题13．若“函数是奇函数”是真命题，则a的值是__________.【答案】【分析】由已知求出函数的定义域，.然后根据奇函数的性质，列出关系式，即可得出答案.【详解】由已知可得，的定义域为R，且.因为函数是奇函数，所以有成立，即，即.因为，所以有，所以.故答案为：.14．设为R上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为__________.【答案】/【分析】根据已知可求出，然后根据导数的几何意义，即可得出答案.【详解】由已知可得.根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为.故答案为：.15．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为_______.【答案】【分析】求出随机变量的分布列，可得期望，进而可根据E(X)＞1.75解得.【详解】有题意知所以，解得或，由，所以.故答案为：16．已知函数（，）至多有一个零点，则的最小值为________．【答案】3【分析】由题意可得到满足的不等式关系，将变形并结合，推出，再利用换元，变形为，继而利用基本不等式求得最值.【详解】由题意知,故，设，则，当且仅当，即时取等号，此时，，符合题意，故的最小值为3，故答案为：3【点睛】关键点点睛：根据题意可得到满足的不等式关系，要求的最小值，关键是将变形并结合，推出，从而利用换元，变形为，继而利用基本不等式求得最值.四、解答题17．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为．(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？【答案】(1)千米/时，千辆/时(2)【分析】（1）函数解析式的分子分母同时除以v，然后利用基本不等式求出函数的最大值以及取得最大值时v的值．（2）由条件列出不等式，求解即可．【详解】（1）依题意，当且仅当，即（千米/时）时，等号成立．最大车流量千辆/时．（2）由条件得，整理得，解得，故汽车的平均速度应该在范围内．18．已知实数，函数.(1)当时，求；(2)当时，若关于a的方程有解，求实数m的范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，求出分段函数值即可；（2）根据的取值范围，求出，.代入已知整理可得，结合二次函数的图象与性质，求出当时，，即可得出答案.【详解】（1）当时，函数，所以，，所以.（2）当时，，则，，所以.因为有解，所以，即在上有解.当时，由可知，当时，有最小值，所以，所以.19．某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.x123456y0.511.53612-0.700.41.11.82.5(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）(2)根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？经验回归方程残差平方和18.290.65参考公式及数据：，，，，.【答案】(1)，(2)30（千件）【分析】（1）求出，根据公式计算出得线性回归方程；求出，再求得系数，，代入得非线性回归方程；（2）根据（1）回归方程分别求得相关指数，比较可得，然后估算销售量即可．【详解】（1）由题可得，，，，所以，，方案①回归方程，对两边取对数得：，令，是一元线性回归方程.

，，，方案②回归方程；（2）方案①相关指数；方案②相关指数，（有此结论即给分），故模型②的拟合效果更好，精度更高.当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量（千件）.20．某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有或者两种可能，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（2）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.①若此箱出现的废品率为，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望；②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买.【答案】(1)在不开箱检验的情况下，可以购买.(2)①分布列见解析，0.4

②不可以购买【分析】（1）求出在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值，即得解；（2）①的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率，即得的分布列和数学期望；②一箱产品中，设正品的价格的期望值为，求出即得解.【详解】（1）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：，∴在不开箱检验的情况下，可以购买.（2）①的可能取值为0，1，2，，，，∴的分布列为：0120.640.320.04.②设事件：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则，一箱产品中，设正品的价格的期望值为，则，事件：抽取的废品率为的一箱，则，事件：抽取的废品率为的一箱，则，∴，∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望的求法，考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，.(1)求在上的解析式；(2)求的“倒域区间”.【答案】(1)，(2)和【分析】（1）设，利用奇函数的定义，即可求得函数在上的解析式；（2）分析可知，只需讨论或，分析二次函数的单调性，结合函数值域可缩小的范围.然后根据题中定义可得出关于实数、的等式组，求出、的值，即可得出结果.【详解】（1）当时，则，且.因为为上的奇函数，所以，所以，所以，在上的解析式为，.（2）由已知在时，函数值的取值区间恰为，其中且，，所以，，则，所以同号，所以或.①当时，因为函数，根据二次函数的图象与性质，可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，则有.因为，所以，，所以，.因为函数在上递减，且在上的值域为，所以，，解得，所以，函数在内的“倒域区间”为；②当时，，根据二次函数的图象与性质，可知在上单调递减，在上单调递增，故当时，，则有.因为，，所以，，所以，.因为在上单调递减，则，解得，所以，在内的“倒域区间”为.综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意得出关于参数的方程，进行求解即可.22．已知，.(1)求方程的根的个数；(2)证明：.【答案】(1)2个(2)证明见解析【分析】（1）原问题可转化为求函数零点的个数，求出.二次求导得出的单调性以及极值情况，然后分以及，根据的单调性，结合端点处的导数值，即可得出的单调性，从而得出该区间内零点的个数.进而研究，根据复合函数的单调性，可得出的单调性，根据零点存在定理