行列式的展开定理

第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例如一、余子式与代数余子式

简化高阶行列式计算的一个重要方法就是降低行列式的阶数。第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一【定义】在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，余下的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一【定理】

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：二、基于行列式某一行（列）的展开定理显然这些项都是D的个展开项中的某一项，第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一

因此只需证明在两端的展开式中，这些项前面的符号也相同即可。右端中的项：其中：是的一个排列。在右端的展开式中，该项前面所带的符号是：第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一该符号正好是在D的完全展开式中前面所带的符号。证毕第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例1按第三行展开第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例2

计算解：第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例3计算范德蒙(Vandermonde)行列式第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一按第1列展开，提取公因式得：

第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一依次下去：第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例4计算解：第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，故有：第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例5

计算第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例7

证明证：第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一由以上递推公式可得：逐个代入可得：第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一解：按第1行展开：第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一整理：由此：（请关注本题解决问题的思想！）第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一按第n列展开第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一

解：利用加边法，有：第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一（请关注本题解决问题的思想！）第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一

【定理】行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一同理相同第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一关于代数余子式的重要性质：第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一2.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

三、小结1、余子式，代数余子式的概念重要结论：按第i行展开按第j列展开第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一习题求第一行各元素的代数余子式之和第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一信息系刘康泽

1-3拉普拉斯展开定理(2)第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第三十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第三十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一第三