2012-2021北京重点区高三（上）期末数学汇编：圆锥曲线章节综合

2012-2021北京重点区高三（上）期末数学汇编

圆锥曲线章节综合

一、单选题

1.（2021.北京东城.高三期末）已知抛物线y?=2px（P>0）的焦点尸到准线的距离为2,过焦点厂的直线与抛物

线交于A,B两点，且|AF|=3|FM，则点A到），轴的距离为（）

A.5B.4C.3D.2

2.（2015•北京西城•高三期末（理））已知抛物线C：V=4x,点尸（机0）,O为坐标原点，若在抛物线C上存在一

点Q,使得NOQP=90,则实数m的取值范围是

A.（4,8）B.（4,+oo）C.（0,4）D.（8,+oo）

3.（2015•北京朝阳•高三期末（理））过抛物线/=4x的焦点厂的直线/交抛物线于A8两点.若A8中点”到抛

物线准线的距离为6,则线段A8的长为

A.6B.9C.12D.无法确定

4.（2018•北京海淀•高三期末（理））已知点尸为抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，点K为点尸关于原点的对称

点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是（）

A.使得为等腰三角形的点M有且仅有4个

B.使得为直角三角形的点M有且仅有4个

1T

C.使得NMK/的点M有且仅有4个

4

7T

D.使得NMKF=工的点M有且仅有4个

5.（2016•北京海淀•高三期末（文））已知点A（5,0）,抛物线C：y2=4x的焦点为F,点P在抛物线C上，若

点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）

A.2B.2&C.3D.4

二、填空题

6.（2019•北京朝阳•高三期末（理））过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A,B两点，分别过A,B作准线

1的垂线，垂足分别为C,D.若|AF|=4|BF|,则|CD|=.

7.（2018•北京海淀•高三期末（理））设抛物线C：V=4x的顶点为。，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线

和抛物线C交于A3两点，则|砺+而卜.

8.（2012.北京海淀.高三期末（文））已知抛物线产=如过点《；/），那么点A到此抛物线的焦点的距离为

三、解答题

22

9.（2021.北京东城.高三期末）已知椭圆C：二+2=1">b>0）过点A（-2,0）,3（2,0）,且离心率为;.

a"b~z

（1）求椭圆。的方程；

（2）设直线/与椭圆。有且仅有一个公共点E,且与不轴交于点G（E,G不重合），轴，垂足为T,求

TAGA

GB

10.（2019•北京东城•高三期末（理））已知椭圆C：W+E=1过点尸（2,1）.

a22

（I）求椭圆C的方程，并求其离心率；

（II）过点P作x轴的垂线/,设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线/上）,直线期关于/的对称

直线性与椭圆交于另一点8.设。为坐标原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由.

11.（2018•北京东城•高三期末（文））已知椭圆C：，+/=1（〃>力>0）的离心率为乎，其左焦点为F1（-1,

0）.直线/：y=k（x+2）（原0）交椭圆C于不同的两点A,B,直线BF1与椭圆C的另一个交点为E.

（I）求椭圆C的方程；

（II）当上=工时，求△F1AB的面积；

（III）证明：直线4E与x轴垂直.

（2018•北京东城•高三期末（文））已知椭圆C：5+g=

12.的右焦点尸（1,0）与短轴两个端点的连线互相垂直.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点Q为椭圆C的上一点，过原点。且垂直于。尸的直线与直线y=2交于点P,求AOPQ面积S的最小值.

13.（2012•北京东城•高三期末（理））14.（2011•北京东城•高三期末（理））

已知椭圆C:]+y2=i的左、右焦点分别为耳，鸟，过点（-2,0）且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆C交于两点.

（1）求直线/的斜率的取值范围；

（2）若点P在椭圆C上，且N,£,户三点共线，求证：点M与点P的横坐标相同.

14.（2020.北京西城.高三期末）已知椭圆W:一+丁=1的右焦点为凡过点尸且斜率为的直线/与椭圆W

4

交于48两点，线段A3的中点为用,。为坐标原点.

（1）证明:点”在y轴的右侧；

（2）设线段AB的垂直平分线与x轴、，轴分别相交于点CO.若与ACME的面积相等，求直线/的斜率%

22

15.（2018•北京西城•高三期末（文））已知椭圆C:J+:=1仅>6>0）过A（2,0）,4（0,1））两点.

ab

⑴求椭圆C的方程及离心率；

（II）设点。在椭圆C上.试问直线x+y-4=o上是否存在点尸，使得四边形PAQ8是平行四边形？若存在，求出点

户的坐标；若不存在，说明理由.

16.（2018•北京西城•高三期末（文））已知椭圆C:[+]=l（a>8>0）过A（2,0）,8（0,1）两点.

（1）求椭圆C的方程及离心率;

（2）设点。在椭圆C上.试问直线x+y-4=0上是否存在点P,使得四边形PAQ8是平行四边形？若存在，求出

点户的坐标；若不存在，说明理由.

17.（2018•北京西城•高三期末（理））已知椭圆C:%£=1（〃>6>0）过点4（2,0）,且离心率为母.

⑴求椭圆C的方程；

（II）设直线y=fcr+6与椭圆C交于两点.若直线x=3上存在点P,使得四边形PAMN是平行四边形，求％

的值.

18.（2016•北京西城•高三期末（理））己知椭圆C。+。l（a>8>c）的离心率为争点AH|在椭圆上.

（I）求椭圆C的方程.

（2）设动直线/与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点。为圆心的圆，满足此圆与/相交于两点R,

P2（两点均不在坐标轴上），且使得直线。6、。鸟的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明

理由.

19.（2020•北京西城•高三期末（文））已知A,B是抛物线W：y=/上的两个点，点A的坐标为（LD,直线A3的

斜率为内左>0）.设抛物线W的焦点在直线A8的下方.

（I）求k的取值范围；

（H）设C为W上一点，且A5_LAC,过8,C两点分别作W的切线，记两切线的交点为。.判断四边形AB£>C是

否为梯形，并说明理由.

20.（2015•北京朝阳•高三期末（文））已知离心率为立的椭圆C：二+工=1（。>%>0）与直线x=2相交于产、

2a2b-

。两点（点P在X轴上方），且12。1=2.点八、5是椭圆上位于直线尸。两侧的两个动点，且NAPQ=NBPQ.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求四边形AP8Q面积的取值范围.

22o

21.（2020.北京朝阳•高三期末）已知椭圆C:5+2=l（a>〃>0）过点P（-l，i）,且椭圆C的一个顶点。的坐标为

ab'2

（-2,0）.过椭圆C的右焦点F的直线/与椭圆C交于不同的两点A,B（A,B不同于点。），直线ZM与直线

m：x=4交于点连接M尸，过点尸作的垂线与直线”交于点N.

（1）求椭圆C的方程，并求点F的坐标；

（2）求证：D,B,N三点共线.

22.（2019•北京朝阳•高三期末（理））过椭圆牝5+尸=1的左焦点/;；作直线/1交椭圆于48两点，其中A

（0,1）,另一条过”的直线4交椭圆于C。两点（不与A,B重合），且。点不与点（0,-1）重合.过［作x轴的垂线分

别交直线AO,BC于E,G.

（I）求B点坐标和直线4的方程；

（II）求证：但用=|4G|.

23.(2018・北京朝阳•高三期末(文))已知椭圆C:厂+工=10>0)的一个焦点坐标为(2,0).

右+F

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知点E(3,0),过点(1,0)的直线/(与x轴不重合)与椭圆C交于M,N两点，直线历E与直线x=5相交于

点尸，试证明：直线RV与x轴平行.

参考答案

1.C

【解析】

可设出直线方程与抛物线方程联立，得出西七，再由焦半径公式表示出|AF|=3|EB|,得到与=3X2+2,结合这两个

关系式可求解玉=3

【详解】

已知焦点厂到准线的距离为2,得。=2,

可得/=4x

设4（不31）,5（/,必），AB:x=my+\

与抛物线方程y'=4x联立可得：/-4wy-4=0

,•・、力="4，.•.x&=ML=i①

16

,

又|A〃|=3|码，..X1+1=3（X2+1）,二占=3%+2②

根据①②解得玉=3

点4到y轴的距离为3

故选：C

【点睛】

抛物线中焦半径公式如下：

抛物线丁=2»（，＞°）的焦点为「，A（AX）为抛物线上的一点，则|4尸|=玉+与，解题时可灵活运用，减少计算

难度.

2.B

【详解】

试题分析：设。（瓦,%），由NOQP=90：得而=0,即（苑-〃?）.%+需=0,显然％w0,因此且=〃?-4,所

以，〃-4＞0,即机＞4.选B.

考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题.

3.C

【详解】

试题分析：AB中点”到抛物线准线的距离为6,则A,B到准线的距离之和为12,即

%+x2+p=[2：.\A^=xt+Xj+p=\2

考点：直线与抛物线相交问题

4.C

【分析】

△MFK为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；△MFK为直角三角形，考虑直角顶点，结合图

形，可得有4个点；考虑直线y=x+],与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得M有2个；考

虑直线y=^(x+5),代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点M有4个.

【详解】

由为等腰三角形，若KF=MF,则M有两个点；

若MK=MF,则不存在，若MK=FK,则M有两个点，

则使得△M/火为等腰三角形的点M有且仅有4个；

由AMFK中ZMFK为直角的点M有两个；

NMK/为直角的点〃不存在；NA0K为直角的点M有两个，

则使得AMFK为直角三角形的点M有且仅有4个；

若=?的M在第一象限，可得直线MK:y=x+5,

代入抛物线的方程可得V-px+二=0,解得x=《，

由对称性可得M在第四象限只有一个，

则满足ZMKF=£的M有且只有2个；

使得NMKFq的点M在第一象限，可得直线MK:y=q(x+g,

代入抛物线的方程，可得犬-5a+工=0,A=25p2-p2=24/>0,

4

可得点M有2个；

若M在第四象限，由对称性可得也有2个，

7T

则使得NMKF=工的点M有且只有4个.

6

故选：C

5.D

【详解】

试题分析：利用已知条件，判断三角形PFA是形状，利用抛物线的性质与抛物线方程求出P的坐标，通过两点间

距离公式求解即可.

解：点A(5,0)在x轴上，抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0),

点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，

可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|,可得|PF|=4,

由抛物线的定义可知，P的横坐标为：3,纵坐标为：2M.

则PA的长度为：yj(5-3)2+(0-273)2=4-

故选D.

考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质.

6.5

【分析】

设直线A8的倾斜家为锐角9,由|Afl=4|BQ,可解出cos。的值，进而得出sin。的值，然后利用抛物线的焦点弦长

4

公式|A.=计算出线段AB的长，再利用|C£)|=|A阴sin9可计算出答案.

sirrO

【详解】

74x?34

设直线A8的倾斜角为仇并设。为锐角，由于|AQ=4|M，则有=-，解得cosd==，则河冶=三,

1-cost)1+cost)55

।I4_4_25

由抛物线的焦点弦长公式可得।产初二不=W，因此，|8|=|人耶加。=^x*=5.

故答案为5.

【点睛】

本题考查抛物线的性质，解决本题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中等题.

7.2

【详解】

由抛物线C:丁=4x的焦点为(LO),

经过抛物线C的焦点且垂直与X的直线和抛物线C交于A,B两点,

则4(1,2),8(1,-2)n3+诙=(2,0),

所以|。印+而|=2.

【分析】

把点代入抛物线，求出抛物线的方程，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，即可求得答案.

【详解】

(\\

:抛物线y2=or过点A—,1,

(4)

AI2=«x-,解得。=4,抛物线的方程为y?=4x,

4

抛物线的准线方程为x=-l,焦点为F(LO),

由抛物线的定义可得=工+1=9,

44

故答案为二.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.与焦

点、准线有关的问题一般情况下都与抛物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离

的转化：(1)将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准

线的距离，使问题得到解决.

9.(1)—+^=i;(2)证明见解析.

43

【解析】

(1)由题中条件，根据椭圆的简单性质，列出方程组，求出后,b1,即可得出椭圆方程；

(2)由题意可得，直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为：y=kx+m(kxO),联立直线与椭圆方程，根

L4I

据判别式等于零，得到＞=3+4炉，分别求出G、E两点的横坐标，根据轴，求出T点坐标，求出鬲和

GA

―,即可证明结论成立.

Go

【详解】

a=2

(1)由题意可得，\e=-=\,解得〃=4,〃=3,

a2

所以椭圆C的方程为三+片=1；

43

(2)由题设知直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为：y=kx+m(&*()).

y=kx+m

由L2消去y,整理得（3+4公卜2+Skmx+（W-12）=0.

——+-=\

143

依题意，有4=64代加76（3+4%2）（M-3）=0,解得＞=3+4A

Ykm_4%

设G（%,0）,E（珞,%）,则

K3+4Z?m

因为ET_Lx轴，所以丁’?,。)

|-4%+2/叶|/H-2/:|

所以

|2/?I+4Z:||m+2%]

-2+-

,|GA|k-2H

又因为西=

.m

2+—

k

TAGA

所以而=GB

【点睛】

思路点睛：

求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方

程，结合韦达定理与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解.

10.（I）—+^1=1,离心率巫.（II）直线A8与直线OP平行.见解析

822

【解析】

（I）将点（2,1）代入到椭圆方程，解得〃的值，根据c=5/^了，得到。的值，从而求出离心率；（II）直线

PA:y-l=k（x-2）,l=T（x—2）,点A（%,yJ,8（毛,豆），将直线与椭圆联立,得到占和》2,从而得到

AB的斜率，得到得到直线AB与直线OP平行.

【详解】

解：（I）由椭圆C:「+£=l过点P（2,l）,

a22

41

可得靛+5=1，解得。2=8.

所以=a2—b2=8—2=6»

所以椭圆C的方程为工+£=1,离心率6=第=也.

822V22

（II）直线与直线。尸平行.

证明如下：由题意，设直线PA：y-l=av-2）,PB:y-l=-仪x-2）,

设点八（石,乂），8（々,必），

"22

由j--8---F--2---1得

y=kx-2k-\-\

（442+1b2+8%（1-2%）%+16公-16左-4=0,

84(21)8k2一弘-2

所以2+玉=所以％=

4新+14*+1

8-+8k-2

同理吃

4公+1

16A

所以%=

4r+1

由乂=3-2k+1,y2=-kx2+2攵+1,

有y-=3+x2)-^k=-

^TK十1

,y一以1

因为A在第四象限，所以ZHO,且A不在直线OP上，所以心8=之一上=

x,-x22

又k。产g故砥"=%「，所以直线A3与直线0尸平行.

【点睛】

本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系，属于中档题.

11.(I)工+丁=1(II)!(III)详见解析

23

【分析】

(I)利用椭圆的离心率以及已知条件求解〃，b,即可得到椭圆C的方程；(II)联立直线与椭圆方程，利用韦

达定理，以及弦长公式，得到直线距离然后求解A^AB的面积；(HI)当务=7时，必=±日求出直线’的斜率；

设直线的斜率为/=直线的方程为y=r(x+l),与椭圆联立，利用韦达定理，转化求解证明

即可.

【详解】

C_y/2

~a~^la=6

解：(I)由已知有＜c=\解得h=l

a2-b2^c2.c=l.

所以椭圆C的方程为、+丁=1.

y=Z(x+2)

(ID由，x2]消去y,整理得(1+2A2)x2+Sk2x+(8Z2-2)=0.

--2

一+y~=

2

由已知I,△=(8)12)2-4(1+2A2)(8)12-2)>0,解得-1V%<立

22

-8公4

3

设A(xl,yl),B(x2,y2),则，

8二2

=-------r=0.

「1+2公

____________________

222

\AB\=\J\+k|xj-x2\=yj\+k•J(X1+x2)-4JC]X2=—^~

直线/的方程为x-2y+2=0,Fl(-1,0)到直线/的距离4=。.

所以△F1AB的面积为拽xj==]

223-y/53

(Ill)当x2=-l时，y=±—.

922

此时直线/的斜率为±巫，由(II)知不符合题意，所以x2齐1.

2

设直线BF\的斜率为w-1).

则直线BF1的方程为尸f(x+1).

y=G+i)

由1x2消去y,整理得(l+2f2)x2+4f2x+(222)=0.

—+y2=1

2

设E(x3,y3),则有w+w=----—=,~•

1+2〃112(一.(々+1)'+20光

x2+1

由工+父=1得y；=1一反，代入上式整理得X,+*2=竽—，

22+J

——4-

解得“丁；.

2X24-3

一3x>-4-2x/2-3(西+九2)-4

因为再=葛育一芭=一不5一，

一A*?—，

将百+々=-----7，工|*2=-------T代入，整理得％3-Xl=0,

1-1+2k212l+2k2

所以x3=xl.所以直线AE与x轴垂直.

【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，计算量较大，有一定

难度.

12.(1)—+/=1；(2)1.

2

【详解】

试题分析：(1)由右焦点F(l,0)与短轴两个端点的连线互相垂直，根据等腰直角三角形及椭圆的几何性质可得

c=b=l,从而可得〃=/，进而可得椭圆C的标准方程；(2))设Q(%,%),P(m,2),则£+y；=i,先求出当

2m

〃?=0时△。尸。的面积，当加工0时，直线OP的方程为丫=—X.即2x-/ny=0,直线QF的方程为y=-k(x-l)根

tn2

据点到直线距离公式以及两点间的距离公式可得S=/+f=!|x0-l|+p-^L利用基本不等式可得△。尸。面

积S的最小值.

b=\,

试题解析：（1）由题意，得（c=L解得a=&.

a2=b2+c2,

所以椭圆C的方程为5+丁=1.

⑵设。优,%），川加,2）,则苧+y；=l.

①当，"=0时，点尸（0,2）,Q点坐标为「灰,0）或（血,0卜

S=—Xy/2x2=y/2.

2

2

②当加工0时，直线OP的方程为〉二一工.即2%-%=0,

in

直线。尸的方程为y=-£（x-1）.

点Q（%,%）到直线OP的距离为

“"2"-阳--------

历此即衣+（-崂?・

所以，S=g-|OP|・d=gx2%—6为卜民一三儿.

又为=一万（毛—1）,

111।1

所以S==jX%o_lf+-------|^o-1d|+|------77

与一121卜0-1〃

>1（>/2<毛〈逝且/w1）,

当且仅当卜。-1|=言

即斗=0时等号成立,

综上，当％=o时，s取得最小值1.

13.（1）（-注,0）U（0,卫）（2）见证明

22

【分析】

（1）先设直线/：»=%（x+2）（Z?0）,联立直线与椭圆方程，根据判别式大于0,即可求出斜率的范围;

（2）先设”（3方）,"（h丫2）,先验证々=T时，结合（1）的结果，可知不满足题意；再设直线N£的斜率为

£=告［（电*-1）,得直线N耳的方程为y=«x+l）,联立直线y=«x+l）与椭圆方程，设尸（*3，/），结合韦达定理

以及题中条件，即可得出结论成立.

【详解】

(1)设直线/：y=Mx+2)(A?0).

y=k(x+2)

由消去y,整理得(1+2&2)/+8/工+8〃2-2=0.

—+y=1

2J

则A=(8/)2-4(1+2/)(8/-2)=-16/+8>0,

解得上＜女＜巫且心0,

22

故直线/的斜率的取值范围为,O)U(O,^).

(2)设MU,,yJN(X2，%)，当当=-1时，％=±也

22

此时直线，的斜率为±*，由⑴知不符合题意，所以『一

设直线NFl的斜率为t=/•与*-•),则直线NF、的方程为y=f(x+1),

y=/(x+l)

由消去y,整理得(1+2产)x?+4A+2/-2=0.

——+V=1

27

一4/J/

设尸(覆,%)，则七+々=

1+2/1+2(」2_)2*2+1)2+2靖

x2+1

由小一得如甘，代入上式整理得七+“客

—-4

解得“G

一一4——3(X]+)—4

则=五百一片

2X2+3

攵28&2-2

由(1)知玉+%2=-----7玷二0,代入上式，整理得*3-西=0,

12\+2k-

所以覆=为，即点M与点尸的横坐标相同.

【点睛】

本题主要考查椭圆中直线斜率问题、以及椭圆中存在点满足某条件的问题，熟记椭圆的简单性质、以及直线与椭圆

位置关系即可，属于常考题型.

14.(1)证明见解析(2)土变

4

【解析】

(1)设出直线/的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M的横坐标即可证出;

（2）根据线段A8的垂直平分线求出点C,。的坐标，即可求出△ODC的面积，再表示出aCMF的面积，由△OOC

与ACMF的面积相等列式，即可解出直线/的斜率%.

【详解】

（1）由题意，得尸（6,0）,直线/：y=k（x-5（&H0）

设4（西,芦），B（x2,y2）,

y=k(x-4),

联立x22,消去九得(4k2+l)x2-+(12F-4)=0,

—+r=u

4

显然A>0,X]+%=8中,

1-4产+1

则点M的横坐标知=受产=今萼

因为%=鹄＞°'

所以点M在y轴的右侧.

（2）由（1）得点”的纵坐标）,=«（/-G）=二在

4匕+1

即，（黑-岛・

所以线段"的垂直平分线方程为：，+昌=-3-霜）•

令x=。，得以。.黑）：令得c（鹄，。］

U,-,、,c工如。1,36上,,36二，27k2-\k\

所以△的面积%“=5-I而有1I诉yl=2(4/+1产

小心,石皿＜_1,/z3斥也上3（公+1）.|川

△。^的面积见„/.=5"石-赤11|-诉？1=幺必2+1产

因为△ODC与△CMF的面积相等,

27plM=3(1+1).|。解得』也.

期以2(4二+1)2-2(4公+1>

4

所以当△。。（7与4CMF的面积相等时，直线/的斜率k=+—.

4

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数

学运算能力，属于中档题.

15.（1）上+＞2=1.e=3.（1【）答案见解析.

42

【详解】

试题分析：⑴由题意得4,6进而得椭圆方程，由6=二求离心率即可；

a

（II）设P&47）,。优,％）,若PAQB是平行四边形，则⑸+方=①，坐标表示后得%=2T,%=f—3,带入

椭圆求解即可.

试题解析：

（I）由题意得，。=2,b=\.

所以椭圆C的方程为工+y2=i.

4

设椭圆C的半焦距为则0=朽石=石，

所以椭圆C的离心率e=£=3.

a2

（II）由已知，设尸（r,4—r）,。优,%）.

若PAQ8是平行四边形，则夙+而=用，

所以（2—f,t—4）+（―/,/-3）=（%—r,%—4+r）,

整理得跖=2-“o=r-3.

将上式代入年+4%2=4,得（2-/）2+4（r-3）2=4,

整理得5户-28,+36=0,

解得/喈1Q，或才=2.

此时或尸⑵2）.经检验，符合四边形始。8是平行四边形，

所以存在或「（2,2）满足题意.

16.⑴三+y2=l,J；⑵存在p（史,2）,或p（2,2）.

4-255

【详解】

试题分析：（1）由椭圆C：5+/=l（a>6>0）过A（2,0）,B（0,l）两点可得，。=2,b=\,从而

c=^/7彳=6，进而可得椭圆C的方程及离心率；（2）设P（f,4T）,Q（x。,%）,若必QB是平行四边形，则

IQ

PA+PB=PQ,可得%=2-r,%=t-3.将上式代入x02+4y°2=4,可解得.=<，或f=2,从而可得出点P的坐

标.

试题解析：（1）由题意得，。=2,6=1,所以椭圆C的方程为三+丁=1.

4

设椭圆C的半焦距为c,则°=77彳=73，

所以椭圆C的离心率6=£=3.

a2

（2）由己知，设P（f,4-f）,。（%为）.

若PAQ8是平行四边形，则两+而=迎，

所以（2T,r-4）+（-f,f-3）=（不一/,%-4+f）,

整理得x0=2-t,y0=t-3.将上式代入年+4城=4,

得（2T）2+4（-3）2=4,整理得5/-28f+36=0,解得，=?,或1=2.

此时，（三1）'或P（2,2）―经检验，符合四边形丛。8是平行四边形，

所以存在或P（2,2）满足题意.

【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的存在性问题以及椭圆的离心率，属于难题.

（3）存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论

不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，

按常规方法很难时，采取另外的途径.

17.（1）—+y2=\（2）k=^-,k=±—

422

【详解】

试题分析：（I）由椭圆C：W+4=1过点A（2,o）,可得4=2,再由离心率为且结合〃2=〃+°2,可求得

ab"2

b=l,从而可得椭圆C的方程；（II）设直线丛的方程为y=%（x-2）,贝”（3,女），1pAi=由

'^4y2_4得（4/+1卜2+8+8=0,由韦达定理、弦长公式结合|E4|=|MN|,可得16/-56公+33=0,解方

程即可求得的值.

试题解析：（I）由题意得a=2,e=£=立，所以c=G.

a2

因为a2=b2+c2f

所以b=l,

所以椭圆C的方程为上+>2=1.

4

（II）若四边形PAWN是平行四边形，

则PA//MN,且|酬=|脑\小

所以直线以的方程为y=z（x-2）,

所以P（3,k）,|酬=而11.

y=kx+4?>,

由得（4公+i）f+8>/5爪+8=0,

x2+4y2=4,

由△>0,得二>；.

口8®_8

且X+X,----z--，-TT^7.

*-4k2+14公+1

所以|MN|=’（公+1）[（X]+■），-4X[X?].

64公一32

（4/+1）21

因为|M=|MN],所以

整理得16&4-56%2+33=0,

解得k=±——,或k=±——.

22

经检验均符合△>()，但左=-3时不满足P4WN是平行四边形，舍去.

2

所以％=，或％=±.

22

18.⑴椭圆方程为(+/=1;(2)见解析.

【详解】

(I)由题意得：£=走，cr=b2+c2,

a2

又点4。,等)在椭圆C上，.•.下+方^=1,解得。=2,b=l,c=6,

二椭圆C的方程为匕+V=1.

(II)存在符合条件的圆，且此圆的方程为V+y2=5.

证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为/+丫2=，(r>0).

当直线/的斜率存在时，设/的方程为》=履+，".

y=kx+m

由方程组{/,W(4A:2+l)x2+Skmx+4w2-4=0.

—+y=1

4'

；直线/与椭圆C有且仅有一个公共点，

AA,=(8切-4(4。+1)(4/M2-4)=0,即苏=4k2+l.

V=kx+m,re

922得(攵~+l)X+2攵3+"厂一产=0，

{x+y=r

则△2=（2加）2-4（/+1）（•一/）＞0.

设6（不丹）,P2（x2,y2）,则占+七=郎，不匕=2!?

K+l8i2+l

设直线。不。々的斜率分别为却火”

耳必_（丐+）上'再巧+触与+巧）

r.A悠=mXk+mH+m'

不巧玉~不巧

m~.-2kmo

-+kin•—-----Fm2_2i2

二+1,夕+1——=m~~s-,将加=4k2+1代入上式,

m—rm-r

k2+i

(4-r2)^2+l

得秘2=

4A:2+(l-r2)

要使得女42为定值，则土4—L/=—1即/=5,代入与验证知符合题意.

41-r

二当圆的方程为/+丁=5时，圆与/的交点吊入满足匕心为定值-二

当直线/的斜率不存在时，由题意知/的方程为x=±2.

此时，圆/+丁=5与/的交点4,e也满足火色=一；.

综上，当圆的方程为V+丁=5时，

圆与/的交点小£满足直线。吊。6的斜率之积为定值

4

3

19.（I）（2）四边形AMC不可能为梯形，理由详见解析.

4

【详解】

试题分析：（I）（1）直线48过点人（1,1）,且斜率为匕所以直线方程可设为y-l=Hx-I），若焦点（0，!）在

直线A3的下方，则满足不等式y-l＜Hx—D，代入求人的范围；（II）设直线A8,4。的方程为

j-l=i（x-D.y-l=-7（x-l）,分别与抛物线y=V联立，因为直线和抛物线的一个交点坐标（口）已知，故可

k

利用韦达定理求出切点8,C的横坐标，则可求在氏C点处的切线斜率，若四边形A8QC是否为梯形，则有得

ABHCD或ACHBD,根据斜率相等列方程，所得方程无解，故四边形ABAC不是梯形.

试题解析：（I）解：抛物线y=x2的焦点为（0，!）.由题意，得直线AB的方程为9-1=/工-1），

令x=0,得丁=1-左，即直线A8与y轴相交于点（0/-幻.因为抛物线W的焦点在直线A8的下方，

]33

所以1一攵＞:，解得因为女＞0,所以0＜女＜二.

444

（H）解：结论：四边形ABDC不可能为梯形.理由如下：

假设四边形A8DC为梯形.由题意，设8（占,片），C（x”x；）,。5，必）,

联立方程｛2，消去