2018-2019学年北京八年级（下）期中数学试题

2018.2019学年北京四中八年级（下）期中数学试卷

一.选择题（本题共30分,每小题3分）

1.（3分）以下列长度的三条线段为边,能组成直角三角形的是（）

A.6,7,8B.2,3,4C.3,4,6D.6,8,10

2.（3分）下列各式中,是最简二次根式的是（）

A,B-V12仁々+y2

3.（3分）下列各式中,运算正确的是（)

A.V12=2V3B.373-73=3C.2他:2如

4.（3分）如图,公路AC,BC互相垂直,公路的中点M与点。被湖隔开,若测得A3

的长为2.4切?,则M,。两点间的距离为（）

A.0.6kmB.1.2kmC.1.5kmD.2Akm

5.（3分）平行四边形ABC。中,若/B=2NA,则/C的度数为（）

B.60°C.30°D.15°

6.（3分）如图所示,在菱形ABC。中,E、ド分别是A3、AC的中点,如果Eド=2,那么

菱形ABC。的周长是（）

C.12D.16

7.（3分）如图,在矩形A8C。中,对角线AC,BD交于点E,。ド丄AC于ド点,若/A。ド

=3ZFDC,则/QEC的度数是（）

8.（3分）如图,菱形A8C。的两条对角线AC,B。相交于点。,若AC=4,8。=6,则菱

形A8C£）的周长为（）

A.16B.24C.4^/13D.81/13

9.（3分）下列命题中,正确的是（）

A.有一组邻边相等的四边形是菱形

B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

C.两组邻角相等的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

10.（3分）矩形ABC。与CEFG如图放置，点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,

322

二、填空题（本题共24分,每小题3分）

11.（3分）函数y=后1的自变量x的取值范围是.

12.（3分）如图,在数轴上点A表示的实数是

13.（3分）如图,在平面直角坐标系xOy中,若点A的坐标为（1,«）,则0A的长为

14.（3分）如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABC。的顶点。在x轴上,边BC在），

轴上,若点A的坐标为（12,13）,则点C的坐标是.

15.（3分）如图,将矩形48C。沿对角线8。所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点

记为C',BC1与A。交于点E,若4B=3,BC=4,则。E的长为.

16.（3分）《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行,

去本八尺而索尽,问索长几何?译文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索，

绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接

触）退行,在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少?设绳索长为x尺,可列方

程为.

17.（3分）如图，点P是正方形ABC。的对角线8。上一点，PE丄BC于点E,Pド丄C。于

点ド,连接E给出下列五个结论

①AP=£ド;②AP丄Eド:③△4尸。一定是等腰三角形;④NPEF=NBAP；（5）PD=2EC.其

中正确的结论是（填序号）.

18.(3分)18、阅读下面材料:

在数学课上,老师提出如下问题

已知:如图,QABC。

求作:在口ABC。中截出ー个菱形

小敏的做法如下:

（1）以点A为圆心,AO长为半径作弧,交AB于点E；

（2）以点ハ为圆心，OA长为半径作弧,交。C于点F；

（3）连接Eド所以四边形AEド。就是所求作的菱形，老师说:“小敏的做法正确.”

19.（10分）计算:

（1）伝一技（V3+l＞（V3-1）

(2)

33

20.（5分）求代数式一2a+aラ的值,其中。=1007

如图是小亮和小芳的解答过程:

（1）的解法是错误的;

（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质:；

（3）求代数式。+2{a2-6a+9的值’其中。=-2019.

21.（5分）如图,在四边形ABCZ）中,ZB=90°,A8=BC=2,AO=1,C£>=3.

（1）求/D4B的度数.

（2）求四边形ABC。的面积.

22.（5分）如图,点是△A8C内一点,连接08,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点ハ,

E,F,G依次连接,得到四边形。EFG

求证:四边形。EFG是平行四边形.

23.（5分）如图，在CABC。中，AC=8,BD=12,点E、ド在对角线B。上，点E从点8

出发以1个单位每秒的速度向点。运动，同时点ド从点。出发以相同速度向点3运动,

到端点时运动停止,运动时间为f秒.

（1）求证:四边形AECド为平行四边形.

（2）求，为何值时，四边形AECド为矩形.

24.（5分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经8站和C站，最终到达终点站。站

的格点站路线图.（8X8的格点图是由边长为1的小正方形组成）

图1图2图3图4

(1)求1路车从A站到D站所走的路程(精确到0.1)；

(2)在图2、图3和图4的网格中各画出ー种从A站到り站的路线图.(要求:①与图

!路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)

25.(6分)在DABCル中,NBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

(1)在图1中证明CE=CF；

(2)若/ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出/BOG的度数；

(3)若/A8C=120°,FG//CE,FG=CE,分别连接。3、OG(如图3),求ノ8DG的

度数.

26.(5分)在平面直角坐标系xOy中,M为直线/：x="上一点,N是直线/外一点,月.直

线MN与x轴不平行,若为某个矩形的对角线,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,

则称该矩形为直线/的“伴随矩形”.如图为直线/的“伴随矩形”的示意图.

(1)已知点A在直线ムx=2上,点B的坐标为(3,-2)

①若点A的纵坐标为0,则以为对角线的直线，的“伴随矩形”的面积是；

②若以AB为对角线的直线/的“伴随矩形”是正方形,求直线AB的表达；

(2)点P在直线ムス=机上,且点P的纵坐标为4,若在以点(2,1),(-2,1),(-

2,-1),(2,-1)为顶点的四边形上存在一点Q,使得以PQ为对角线的直线/的“伴

随矩形”为正方形,直接写出皿的取值范围.

27.（6分）已知一个三角形的三边长分别为3点,ノ苗和2J而

（1）请在右边网格中画出此三角形并使三个顶点均落在格点上;

（2）该三角形的面积是

我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用其实,有一个类似的方法叫做“分

子有理化”与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中

的根式比如:

あー、た=W7-、ロ）G/7+、n）_=1

77VW677W6

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问

题.例如:比较有ー遅和遅ー遅的大小可以先将它们分子有理化如下:

V7+V6V6W5

因为ノ^,所以"'/7-A/EV

再例如:求y=4+2-4-2的最大值.做法如下:

解:由x+220,X-2さ〇可知在2,而y=4+2ー4-2=/与

Vx+2A/x-2

当x=2时，分母，嬴+J7工有最小值2,所以），的最大值是2

解决下述两题:

（1）比较3衣ー4和2愿ーへ/诬的大小:

（2）求），=q-*+/1+乂ー4的最大值和最小值.

29.（8分）已知是△ABC的中线

（1）如图1,过点M作AB的平行线,过点C作的平行线,二者交于E点,连接

BE,求证:BE=AM；

（2）如图2,设。是线段上的一点,过点。作AB的平行线,过点C作的平行

线,二者交于E点,连接8E,求证:BE=AD.

E

图1图ユ

2018-2019学年北京四中八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本题共30分,每小题3分）

1.（3分）以下列长度的三条线段为边,能组成直角三角形的是（）

A.6,7,8B.2,3,4C.3,4,6D.6,8,10

【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【解答】解:A、.••62+72^82,.••不能构成直角三角形,故本选项错误;

B、.••22+32=42,.••不能构成直角三角形,故本选项错误;

C、:32+42^6?,.••不能构成直角三角形,故本选项错误;

ハ、♦.•62+82=102,.••能构成直角三角形,故本选项正确.

故选:D.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长〃,んc满足メ+/

=）,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

2.（3分）下列各式中,是最简二次根式的是（）

A.府B・伝C.心2+ギクD.5

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的

两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.

【解答】解:A、ノ乖=回遥，可化简;

B、T12=マ§X20=2ノ^，可化简;

ハ、、区ラ屿=叵,可化简.

V5V5X55

故选:C.

【点评】根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母;

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

被开方数是多项式时,还需将被开方数进行因式分解,然后再观察判断.

3.（3分）下列各式中,运算正确的是（）

A.Vl2=2V3B.373-73=3C.2や行=2爪D.标示=-2

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案.

【解答】解:4712=273-正确;

B、373-73=273-故此选项错误;

C、2+73-无法计算,故此选项错误:

D、QT^=2,故此选项错误.

故选:A.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算,正确掌握二次根式加减运算法则是解题

关键.

4.（3分）如图,公路AC,8c互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得ん3

的长为2.4痴，则M,C两点间的距离为（）

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=工8,代入求出即可.

2

【解答】解:：AC丄BC,

.♦.NACB=90°,

为A3的中点,

：.CM=^AB,

2

：AB=2.4痴,

:・CM=1.2如2，

故选:B.

【点评】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质,能根据直角三角形斜边上的中线性

质得出。用=丄48是解此题的关键.

2

5.（3分）平行四边形ABC。中,若/B=2NA,则/C的度数为（）

区c

A.120°B.60°C.30°D.15°

【分析】先根据平行四边形的性质得出NA+NB=180°,/A=NC,再由/B=2/A可

求出/A的度数,进而可求出/C的度数.

【解答】解:•.•四边形ABC。是平行四边形,

：.ZA+ZB=\S0°,ZA=ZC,

'：ZB=2ZA,

：.ZA+2ZA=180°,

.•.Z4=/C=60°.

故选:B.

【点评】本题考查的是平行四边形的性质,熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关

键.

6.（3分）如图所示,在菱形A8C。中,E、ド分别是A8、4c的中点,如果EF=2,那么

菱形ん8C。的周长是（）

A.4B.8C.12D.16

【分析】根据中位线定理求边长,再求ABC。的周长.

【解答】解:由题意可知,Eド是れABC的中位线,

有EF=エBC.

2

：.BC=2EF=2X2=4,

那么ABCD的周长是4X4=16.

故选：D.

【点评】本题考查了三角形中位线的性质，菱形四边相等的性质.

7.（3分）如图,在矩形ん8C。中,对角线AC,BD交于点、E,Dド丄4c于ド点，若ZA。尸

=3NFDC,则ZDEC的度数是（)

AD

宀

B------------------------C

A.30°B.45°C.50°D.55°

【分析】根据/AOC=90°,求出NC。ド和ノ4。凡根据矩形性质求出ED=EC,推出

ZBDC=ZDCE,求出/BDC,即可求出答案.

【解答】解:设ノA。ド=3x°,NFDC=x：

•••四边形A8C£＞是矩形,

AZADC=90°,

***x+3x=90,

x=22.5°,

即ノドハ。=£=22.5°,

VDF1AC,

AZDFC=90°,

：.ZDCE=90°-22.5°=67.5°,

••・四边形ABCQ是矩形,

：.AC=2EC,BD=2ED,AC=BD,

:・ED=EC,

:・/BDC=NDCE=675。,

：./BDF=NBDC-NCDF=675°-22.5°=45°,

AZDEC=90°-45°=45°

故选:B.

【点评】本题考查了矩形性质,三角形的内角和定理的应用,关键是求出N5。。和/C。ド

的度数,注意:矩形的对角线互相平分且相等.

8.（3分）如图,菱形A8C。的两条对角线AC,8。相交于点。,若AC=4,BD=6,则菱

形ABC。的周长为（)

A.16B.24C.4^/13D.8A/13

【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质,可以求得3。=。0,AO=OC,在Rt4

A。。中,根据勾股定理可以求得A8的长,即可求得菱形ABCQ的周长.

【解答】解:..•四边形ABCハ是菱形,

：.BO=OD=1AC=2,AO=OC=^BD=3,AC±BD,

22

♦,♦48=五〇2+8〇2=ほ，

•••菱形的周长为4JX.

故选:C.

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，

本题中根据勾股定理计算んB的长是解题的关键.

9.（3分）下列命题中,正确的是（）

A.有一组邻边相等的四边形是菱形

B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

C,两组邻角相等的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

【分析】分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析

即可.

【解答】解:A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形,故本选项错误:

8、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,故本选项错误;

C、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误;

ハ、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查的是命题与定理,熟知菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理

是解答此题的关键.

10.（3分）矩形ABC。与CEFG如图放置，点8,C,E共线,点。,D,G共线,连接AF,

取AF的中点”,连接G”.若BC=EF=2,CD=CE=\,则G，=()

【分析】延长G"交A。于点P,先证△4円/畛△尸G"得AP=G尸=1,GH=PH='PG,

2

再利用勾股定理求得PG=J5,从而得出答案.

【解答】解:如图,延长G”交A。于点P,

V四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,

AZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=\,

J.AD//GF,

；.NGFH=/aH,

又,..”是Aド的中点,

：.AH=FH,

在△APH和△ドGH中,

2PAH=NGFH

•,<AH=FH>

NAHP=NFHG

A^APH^/XFGH(ASA),

：.AP=GF=l,GH=PH=上PG,

2

：.PD=AD-AP=\,

；CG=2、CZ)=1,

：.DG=\,

则GH=,G=*X{PD2+DG2=7,

故选:c.

【点评】本题主要考查矩形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形

的性质、勾股定理等知识点.

二、填空题（本题共24分,每小题3分）

H.（3分）函数ド=イエ1的自变量x的取值范围是」

【分析】根据被开方数大于等于〇列式计算即可得解.

【解答】解:根据题意得,X-120,

解得x》l.

故答案为X，1.

【点评】本题考查函数自变量的取值范围,知识点为:二次根式的被开方数是非负数.

12.（3分）如图,在数轴上点A表示的实数是-A.

//…、ヽ

/I1>

-2-10123

【分析】根据勾股定理,可得圆的半径,根据圆的性质,可得答案.

/夕

，Iと丨11,

【解答】解:如图ーC

由勾股定理,得

°8=V3c2+BC2=V12+22=巡，

由圆的性质,得

OA—OB—y/S'

.•・点A表示的实数是ー遅,

故答案为：-Vs-

【点评】本题考查了实数与数轴,利用勾股定理得出。8的长是解题关键.

13.（3分）如图,在平面直角坐标系xOy中,若点A的坐标为（1,如）,则0A的长为2.

【分析】根据勾股定理计算即可.

【解答】解:由点的坐标、勾股定理得,。4={]2+（龜）2=2,

故答案为:2.

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长

为c,那么a2+b2=c2.

14.（3分）如图，在平面直角坐标系ズOy中，菱形ABC。的顶点。在x轴上，边BC在y

轴上,若点A的坐标为（12,13）,则点C的坐标是（0,-5）.

【分析】在Rt△〇。C中,利用勾股定理求出OC即可解决问题;

【解答】解:（12,13）,

.•.〇。=12,4。=13,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.CD=AD=\3,

在Rt△〇。C中，〇。=在b2一0ロ2=5，

：.C（0,-5）.

故答案为：（0,~5）

【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题,属于中考常考题型.

15.（3分）如图，将矩形ABC。沿对角线8。所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点

记为C',BC,与A。交于点E,若A8=3,BC=4,则。E的长为空.

D

【分析】先根据等角对等边,得出。E=BE,再设。E=8E=x,在直角三角形ABE中,

根据勾股定理列出关于x的方程,求得ス的值即可.

【解答】解:由折叠得,ZCBD=ZEBD,

由A。〃BC得，ZCBD=ZEDB,

：.ZEBD=ZEDB,

:.DE=BE,

设ハE=BE=x,贝リんE=4-x,

在直角三角形ABE中，AE2+AB2=BE2t即（4-x）2+32=x2,

解得x=空,

8

.•.ハE的长为臣.

8

故答案为:25

8

【点评】本题以折叠问题为背景,主要考查了轴对称的性质以及勾股定理.折叠是ー种

对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的对应边和对应角相等.解题时,我们常设所

求的线段长为X,然后用含X的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运

用勾股定理列出方程求解.

16.（3分）《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,

去本八尺而索尽，问索长几何?译文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索，

绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接

触）退行,在距木根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少?设绳索长为x尺,可列方

程为（x-3）-2+64=，

【分析】设绳索长为x尺,根据勾股定理列出方程解答即可.

【解答】解:设绳索长为x尺,可列方程为（x-3）2+64=/,

故答案为:（X-3）2+64=/

【点评】本题考查了勾股定理的应用,找准等量关系,正确列出ー元二次方程是解题的

关键.

17.（3分）如图,点尸是正方形ABC。的对角线8。上一点，PE丄BC于点、E,Pド丄CZJ于

点凡连接E给出下列五个结论

（T）AP=EF；②AP丄EF；③一定是等腰三角形;④NPEF=/BAP；⑤PD=2EC.其

中正确的结论是①⑵（填序号）.

【分析】过P作PGLAB于点G,证明ふAGP之△「Z>£'后即可得出AP=EF,①正确/

PFE=NBAP,④错误；证出②正确,在此基础上，证出③错误,根据正方形的对角线

平分对角的性质,在中,DP2=DF2+PF2=EC2+£C2=2EC2,求得「。=&EC,

⑤错误；即可得出结论.

【解答】解:延长ド尸交于点M延长4P交所于点”.

•.•四边形ん8co是正方形.

：.NABP=NCBD

又"：NPLAB,PELBC,

.,.四边形BNPE是正方形,NANP=NEPF,

:.NP=EP,

：.AN=PF

'NP=EP

在△ANP与△FPE中,，ZANP=ZEPF，

AN=PF

:.MANPmMFPE（SAS）,

：.AP=EF,NPFE=NBAP（故①正确,④错误）；

△APN与△FPM中,ZAPN=ZFPM,ZNAP=ZPFM

:.NPMF=NANP=90°

J.APA,EF,(故②正确)；

•.•点P是正方形的对角线8。上任意一点,ZADP=45Q,

...当ノみハ=45°或67.5°或90°时,ZVIP。是等腰三角形,

除此之外,△AP。不是等腰三角形，故③错误.

■:GF//BC,

：.NDPF=NDBC,

又;NOP尸=/OBC=45°,

:.NPDF=NDPF=45°,

:.PF=EC,

：,在Rt/XDPF中,DP2=Df^+PF1=EC2+EC2=2EC2,

：.PD=4^EC,⑤错误.

.♦・其中正确结论的序号是①②.

故答案为:①②.

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识;

熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解题的关键.

18.(3分)18、阅读下面材料:

在数学课上,老师提出如下问题

已知:如图，^ABCD

求作:在。ABCル中截出ー个菱形

小敏的做法如下:

(1)以点A为圆心,A。长为半径作弧，交AB于点E；

(2)以点。为圆心，。ん长为半径作弧,交。C于点尸;

(3)连接Eド所以四边形AEド。就是所求作的菱形，老师说:“小敏的做法正确.”

请回答小敏的作图依据;邻边相等的平行四边形为菱形.

DD

ABAFB

【分析】由作法得AE=DF=AD,再判断四边形AEFD为平行四边形,然后利用AD=

AE可判断四边形AEFD为菱形.

【解答】解:由作法得尸=ん。,

:四边形ABCD为平行四边形,

J.AE//CD,

'：AE//DF,AE=DF,

：・四边形AEFD为平行四边形，

而AD=AE,

...四边形AE/叫为菱形.

故答案为邻边相等的平行四边形为菱形.

【点评】本题考查了作图ー复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.决此类题目的关键是熟悉基本几何图形

的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了平

行四边形的性质和菱形的判定.

三、解答题（共8小题,满分46分）

19.（10分）计算:

⑴V18-（V3+1）（遍-1）

（2）71^义近返.

33

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【解答】解:（1）原式=3ぶー2我+3-1=圾+2

（2）原式=2«X&巨x£=8&

3V3

【点评】本题考查二次根式的运算法则,解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则,

本题属于基础题型.

20.（5分）求代数式q+yレ+的值,其中a=1007

如图是小亮和小芳的解答过程:

（1）小亮的解法是错误的:

（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质:产=|“|=[a'テ〇,；

一いJ（aく0）一

（3）求代数式“+2gくふ的值,其中“=-2019.

【分析】（1）由“=1007知1-aVO,据此可得｛（1a）2=11-4l=a-1，从而做出判断;

（2）根据二次根式的性质日=|q|=[a:彦:;可得答案;

（3）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得.

【解答】解;（1）*=1007,

Al-a<0,

则イ（1-a）2=ロ"尸〃ーL

所以小亮的解法是错误的,

故答案为:小亮;

(a〉0)

（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质せ=|〃|=イ"

(a<0)

故答案为;

(3)当。=-2019时,a-3<〇,

则原式=a+24（a-3产

=a+2|a-3|

=a~2(a-3)

—a-2〃+6

=-a+6

=2019+6

=2025.

【点评】本题主要考查二次根式的化简求值,解题的关键是掌握二次根式的性质.

21.(5分)如图,在四边形ABC。中,ZB=90°，AB=BC=2,AD=\,CD=3.

(1)求ノD48的度数.

(2)求四边形的面积.

【分析】(1)由于/8=90°,48=8C=2,利用勾股定理可求AC,并可求/8AC=45°,

而CD=3,DA=\,易得AC2+D42=C£>2,可证△4C。是直角三角形,于是有/C4D=

90°,从而易求/BAり;

(2)连接AC,则可以计算ふABC的面积,根据AB、BC可以计算AC的长,根据AC,

AD,C0可以判定△ACハ为直角三角形,根据A£>,C。可以计算△AC。的面积，四边形

ABCD的面积为AABC和△AOC面积之和.

【解答】解:(1)连接AC,B

VZB=90°,AB=BC=2,

，AC=2ぶ,Z8AC=45°,

'：AD=\,CD=3,

AD2+AC2=12+(2V2)2=9,。が=9,

:.AD2+AC2=CD2,

...△AOC是直角三角形,

：.ZDAC=90°,

AZDAB^ZDAC+ZBAC=\35a.

D

在中,

（2）RtZ\A8CSAABC=1-BC-AB=yX2X2=2'

在Rt△40C中，$△効c+曲・AC=/X1X2ぶやほ

§四边形ABCD="ABC+$△©：=2"Iぶ.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理.解题的关键是

连接4C,并证明△ACZ）是直角三角形.

22.（5分）如图,点是△ABC内一点,连接08,0C,并将48,OB,0C,4c的中点り,

E,F,G依次连接，得到四边形。EFG

求证:四边形。EFG是平行四边形.

【分析】由三角形中位线定理得出。G〃8C,DG=lfiC,EF//BC,EF=LBC,则。G

22

=EF,DG//EF,即可得出结论.

【解答】证明:Y。,E,F,G分别是AB,OB,0C,AC的中点，

.•.。6是△ABC的中位线,Eド是△0BC的中位线,

J.DG//BC,DG=LC,EF//BC,EF=^BC,

22

：.DG=EF,DG//EF,

四边形DEFG是平行四边形.

【点评】此题考查平行四边形的判定以及三角形中位线定理,熟练掌握平行四边形的判

定和三角形中位线定理是解题的关键.

23.（5分）如图，在。ABC。中,AC=8,8。=12,点E、ド在对角线2。上,点E从点3

出发以1个单位每秒的速度向点。运动,同时点ド从点。出发以相同速度向点B运动,

到端点时运动停止,运动时间为1秒.

(1)求证:四边形AECF为平行四边形.

(2)求f为何值时,四边形AECF为矩形.

B----------------------

【分析】(1)根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证得四边形AECド为平行四边

形;

(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证得OE=OF=OA=L4c=4cm.然

后由平行四边形DEBF的对角线的性质来求AE^CF的值.

【解答】证明:在。ABCD中，

"：OA=OC,OB=OD,

从点B出发以1个单位每秒的速度向点。运动，同时点ド从点。岀发以相同速度向

点3运动,ACE=AF,

：.BE=DF,

：.OE=OF,

.•・四边形AECド为平行四边形;

(2)当・=2或l=10时以点A,C,E,ド为顶点的四边形为矩形;

理由:由矩形的性质知OE=Oド、OA=OC,要使/E4F是直角,只需OE=O尸=。4=丄4c

=4o〃.

则/1=N2,Z3=Z4,

VZI+Z2+Z3+Z4=180°,

.*.2Z2+2Z3=180°,

・・・Z2+Z3=90°

即ZEA尸=90°.

此时3E=OF=工QBD-EF)=丄(12-8)=2cm或5E=£>ド=12-2=10cm

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质.关键是根据对角线互相平分的四边形是

平行四边形.平行四边形的对角线互相平分进行解答.

24.（5分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站D站

（1）求1路车从A站到。站所走的路程（精确到0.1）；

（2）在图2、图3和图4的网格中各画出ー种从A站到。站的路线图.（要求:①与图

1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复）

【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、C。三条线段的长,再相加求得所走的路程的近

似值；

（2）根据要求:①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画

路线图不重复,进行作图即可.

【解答】解:（1）根据图1可得:ABハ庐^=2胡,BC=722+12=V5,CD=3

站至りB站的路程=AB+BC+CD=2盛れ而+3=3+3ぜル9.7；

（2）从A站到。站的路线图如下:

【点评】本题主要考查了作图,解决问题的关键是掌握勾股定理以及图形的基本变换.在

作图时要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作

图的方法作图.

25.(6分)在〇ABC。中,NBA。的平分线交直线BC于点E,交直线。C于点F.

(1)在图1中证明CE=CF；

(2)若/A8C=90°,G是Eド的中点(如图2),直接写出/BOG的度数;

(3)若/A8C=120°，FG//CE,FG=CE,分别连接。8、OG(如图3),求/BQG的

度数.

【分析】(1)根据Aド平分/BA。,可得ノ8んド=/。ス尸,利用四边形4BC。是平行四边

形,求证/CEF=/F即可.

(2)根据/4BC=90°,G是E戸的中点可直接求得.

(3)分别连接G8、GC,求证四边形4"F。是菱形,证明△8£；6纟ZX。じ6可得结论.

【解答】(1)证明:如图1,

；Aド平分/BA。,

，NBAF=ZDAF,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,AB//CD,

:.NDAF=/CEF,NBAF=NF,

:.NCEF=NF.

：.CE=CF.

(2)解:连接GC、BG,

•.,四边形ABC。为平行四边形，ZABC=90°,

.•・西边形A8C。为矩形，

；んド平分/54。，

：.ZDAF=ZBAF=45°,

VZDCB=90°,DF//AB,

：.ZDFA=45°,Z£CF=90°

...△ECF为等腰直角三角形,

；G为Eド中点,

：.EG=CG=FG,CGA.EF,

:△ABE为等腰直角三角形，AB=DC,

：.BE=DC,

,：ZCEF^ZGCF^45°,

：.ZBEG=ZDCG=\35a

在ふBEG与△OCG中,

'EG=CG

ZBEG=ZDCG-

BE=DC

:.△BEG"lXDCG,

：.BG=DG,

VCG±£F,

：.ZDGC+ZDGA^90°,

又マNDGC=/BG4,

：.ZBGA+ZDGA=90a,

...△QG8为等腰直角三角形，

:.NBDG=45°.

（3）解:延长AB、FG交于H,连接HD.

'：AD//GF,AB//DF,

••・四边形AHFD为平行四边形

VZABC=120）＞,A£平分/

AZDAF=30a,ZADC=U0°,ZDFA^30°

△0んド为等腰三角形

：.AD=DF,

：.CE=CF,

..・平行四边形AHFハ为菱形

/XADH,△。，ド为全等的等边三角形

：.DH=DF,ZBHD=ZGFD=60°

'：FG=CE,CE=CF,CF=BH,

:.BH=GF

在△BH。与△GED中,

'DH=DF

'•,<ZBHD=ZGFD>

BH=GF

：.ABHD^/\GFD,

:.NBDH=NGDF

：.NBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDG=60°

【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法,全等三角形的判定与性质,等边三角形

的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,

同时要根据条件合理、灵活地选择方法.同学们在解决此类问题时,可以通过以下的步

骤进行思考和分析:（1）通过测量或特殊情况的提示进行猜想:（2）根据猜想的结果进

行联想（如60度角可以联想到等边三角形，45度角可以联想到等腰直角三角形等）；（3）

在联想的基础上根据已知条件利用几何变换（如旋转、平移、轴对称等）构造全等解决

问题.

26.（5分）在平面直角坐标系ズOy中，M为直线ムx=n上一点,N是直线，外一点,且直

线MN与x轴不平行,若为某个矩形的对角线,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,

则称该矩形为直线/的“伴随矩形”.如图为直线，的“伴随矩形”的示意图.

(I)已知点A在直线/：x=2上,点8的坐标为(3,-2)

①若点A的纵坐标为0,则以A8为对角线的直线/的“伴随矩形”的面积是:

②若以AB为对角线的直线，的“伴随矩形”是正方形,求直线AB的表达;

(2)点尸在直线ムx=m±.,且点P的纵坐标为4,若在以点(2,1),(-2,1),(-

2,-1),(2,-1)为顶点的四边形上存在一点Q,使得以PQ为对角线的直线，的“伴

随矩形”为正方形,直接写出“的取值范围.

②根据题意,当以AB为对角线的直线/的“伴随矩形”为正方形时,点ん的坐标为(2,

-1)或(2,-3),利用待定系数法即可解决问题；

(2)如图3中,求出经过特殊位置时当9坐标即可解决问题;当Qi坐标为(-2,-1)

时，可得P1(-7,4)；当Q2坐标为(2,1)时，可得P2(-14)；当。3坐标为(2,

-1)时，可得尸3(7,4),当Q4坐标为(-2,1)时，可得P4(1,4):再结合图象即

可解决问题；

【解答】解:(1)①如图1中,(2,0),B(3,-2).

My

M一B

图1

...以A8为对角线的直线，的“伴随矩形"AM8N的面积=1X2=2.

②如图2中,

ハ1'

"~"5

图2月,」

根据题意,当以A8为对角线的直线/的“伴随矩形”为正方形时,

点A的坐标为(2,-1)或(2,-3).

可得，直线4B的表达式为:シ=-x+1或)，=x-5.

(2)如图3中,

尸ノ尸，ハ［'P4