专题516分式（全章复习与巩固）（知识讲解）-七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题5.16分式（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.2.分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.特别说明：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式➽➼分式的意义✭✭分式的基本性质1．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（

）的取值－22分式的值无意义012A． B． C． D．的值不存在【答案】A【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可．解：∵x为﹣2时方程无意义，∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，故分式为：，当x=2时，分式的值为0，故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，故分式为：，当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，故，故C正确，当时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，故选：A．【点拨】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．举一反三：【变式1】若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．【答案】C【分析】分式总有意义，则分母永远不等于0，即的最小值大于0，据此解题即可．解：∵分式总有意义，∴的最小值，解得．故选C．【点拨】本题主要考查分式有意义的条件及二次函数的最值问题，能够熟练利用条件列不等式是解题关键．【变式2】若分式的值为0，则a满足的条件是（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可．解：∵分式的值为0，由①得：由②得：且∴故选B【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．2．不改变分式的值，下列各式变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可一一判定．解：A.，故该选项错误，不符合题意；B.，故该选项正确，符合题意；C.，故该选项错误，不符合题意；D.，故该选项错误，不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．举一反三：【变式1】下列各式从左边到右边的变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质作答．解：A、，此选项变形错误；B、，此选项变形正确；C、，此选项变形错误；D、，此选项变形错误；故选B．【点拨】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．【变式2】如果把分式中的和都扩大倍，则分式的值（）A．扩大倍 B．扩大倍 C．不变 D．缩小倍【答案】B【分析】根据分式的基本性质即可求出答案；解：故选：B．【点拨】本题考查了分式的基本性质；解题的关键是熟练运用分式的基本性质进行化简比较．类型二、分式➽➼相关概念➽➼最简分式✭✭约分✭✭最简公分母✭✭通分3．分式与的最简公分母是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简公分母的概念，求解即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．解：分式与的最简公分母，故选：A【点拨】此题考查了最简公分母的概念，解题的关键是熟练掌握最简公分母的概念．举一反三：【变式】分式和的最简公分母是（）A．2xy B． C． D．【答案】C【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．解：分式和的最简公分母是．故选：C．【点拨】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．4．下列分式中，属于最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可．解：A.，是最简分式，符合题意；B.，不是最简分式，不合题意；C.，不是最简分式，不合题意；D.，不是最简分式，不合题意，故选：A．【点拨】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．举一反三：【变式】下列分式中是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果．解：A选项，故不是最简分式；B选项不能再化简，故是最简分式；C选项，故不是最简分式；D选项，故不是最简分式．故选：B．【点拨】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式．类型三、解分式方程➽➼根的情况➽➼增根✭✭无解5．（1）通分：和；（2）约分：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；（2）原式变形后，约分即可得到结果．解：（1），；（2）．【点拨】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．举一反三：【变式】（1）约分：；（2）通分：与【答案】（1）；（2）与【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．解：（1）；（2）与最简公分母为：，则：，．【点拨】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．6．若分式方程有增根，则a的值为________．【答案】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程算出a的值即可．解：方程两边同时乘以得，，∵方程有增根，∴，解得．∴，解得．故答案为：．【点拨】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．举一反三：【变式】如果关于x的方程有增根，那么m的值为________．【答案】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，最后代入整式方程求出k的值即可．解：分式方程去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程得：．故答案为：．【点拨】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．类型四、解分式方程➽➼根的情况➽➼正（负）数解✭✭非负（正）数解7．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为______．【答案】16【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案．解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式组无解，∴，∴，分式方程去分母，得，∴，∵分式方程的解为非负整数，∴且，∴且，∵a为整数，为非负整数，∴，1，7，10，∴整数a的和为．故答案为：16．【点拨】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键．举一反三：【变式】若关于的方程无解，则的值为______．【答案】0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x=0或x=1或3+a=0，将解代入整式方程求出a即可．解：去分母，得3x+a（x-1）=0，∴（3+a）x-a=0，∵原分式方程无解，∴x=0或x=1或3+a=0，当x=0时，a=0；当x=1时，3+0=0，无解；∴a=0，当3+a=0时，解得a=-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．8．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____．【答案】且【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m的取值范围．解：去分母得，m+3＝2x﹣1，∴x＝，∵方程的解是非负数，∴m+4≥0即m≥﹣4，又因为2x﹣1≠0，∴x≠，∴≠，∴m≠-3，则m的取值范围是m≥﹣4且m≠-3．故答案为：m≥﹣4且m≠-3．【点拨】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．举一反三：【变式】关于的方程有正数解，则取值范围是______．【答案】且【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据这个方程有正数解和建立不等式，由此即可得．解：，方程两边同乘以，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得，关于的方程有正数解，，且，解得：且，故答案为：且．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键，需注意的是，分式方程有正数解隐含方程不能有增根．类型五、分式➽➼化简✭✭求值9．关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的整数的值为____________．【答案】-3【分析】求得分式方程的解，利用方程的解的特征确定整数a的值．解：分式方程的解为：，∵分式方程有可能产生增根1，又∵关于x的分式方程的解为正整数，且≠1，∴满足条件的所有整数a的值为：-3，∴a的值为：-3，故答案为：-3．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，方程的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题的关键．举一反三：【变式】对于关于x的分式方程①若k＝1，则方程的解为________；②若方程有增根且无解，则k的值为________；③若方程的解为负数，请你写出符合条件的且互为相反数的两个k的值________．【答案】

k＝2

|k|>5即可，如【分析】①若k＝1，得到分式方程为，解分式方程即可求解；②根据方程有增根且无解，可得x=±1，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答；③根据题意可得，利用方程的解为负数求出k的取值范围，再求出互为相反的两个k值．解：①若k＝1，得到分式方程为，去分母得，解得．故答案为：；②将去分母得，解得．∵方程有增根且无解，∴，解得，当x=1时，，解得：，当x=-1时，无解，∴k的值为2．故答案为：；③∵方程的解为负数，∴x＜0且x≠±1，∴且，解得或，∴符合条件的且互为相反数的两个k的值可以是±6．故答案为：或，如±6．【点拨】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解法，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．10．计算：；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．解：（1）=====（2）====【点拨】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．举一反三：【变式】计算：；（2）．（3）．（4）．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（3）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算；（4）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算．解：（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【点拨】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．类型五、解分式方程➽➼运算✭✭化简✭✭求值11．先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．【答案】，时，【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算．解：原式，且，且，且，且取时，原式【点拨】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．举一反三：【变式】先化简，从不等式组的整数解中，选取一个你最喜欢的的值代入求值．【答案】，时，【分析】根据分式的乘除法法则和约分法则把原式化简，根据解一元一次不等式组的步骤解出不等式组，从解集中选取使分式有意义的值代入计算即可．解：，由，，解得：；由，，解得：，故不等式组的解集为：，当时，原式．【点拨】本题考查的是分式的化简求值和一元一次不等式组的解法，掌握分式的乘除法法则和约分法则是解题的关键．12．解分式方程．；（2）【答案】(1) (2)无解【分析】（1）分式方程两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：（1）解得，经检验，是原方程的解，所以，原方程的解为：（2）经检验，是增根，原方程无解．【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确找出分式方程的最简公分母是解答本题的