2019年数学高考试题及答案

2019年数学高考试题（及答案）一、选择题.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表:X1.99345.16.12V1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）A.y=2x-2c.y=log2xA.y=2x-2c.y=log2x2.〃加高M的部分图象大致是‘）A.对任意x£R,都有x2<0 B.不存在x£R,都有x2<0C.存在xO£R，使得x（）2?0 D.存在xo£R,使得x（）2V。一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（）正（1）做密恻（左）视图A.B.正（1）做密恻（左）视图A.B.6.设随机变量J的分布列如图，则当〃在（0」）内增大时，（）4012P1-P212£2c.D.5『=()c.D.5『=()A.3+1 B.-3-1C.-3+1D.3-1A.。传）减小 B.0（,增大C.0（4）先减小后增大 D.0（4）先增大后减小7.在等比数列也｝中，%=4,则%•4=（）A.4 B.16 C.8 D.32.命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（）A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角C.假设三角形的三个内角中没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角.在aABC中，夕是5c边中点，角A、B、C的对边分别是4团。，若cAC+aPA+bPB=6>则△ABC的形状为()A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.且不等式6x+cV0的解集为(a,抗,且不等式6x+cV0的解集为(a,抗,则这个B.D.2B.a>b=>a2>b2D.a2>b2=>a>bA.1c.W11.下列说法正确的是（ ）A.a>b=>ac2>be2C.a>b=>a3>b3.在同一直角坐标系中，函数y=!，y=logjx+；卜。>0且。¥1）的图象可能是

()()二、填空题log2x,x>0若“〃）＞/（—。），则实数。的取值范闱是.若“〃）＞/（—。），则实数。的取值范闱是.I是虚数单位，若更数（l-2i）（a+i）是纯虚数，则实数。的值为..如图，正方体48co—Adan的棱长为1,线段与A上有两个动点E,尸，且EF=®,现有如下四个结论：2®AC±BE,②E尸//平面A6C。：③三楂锥人一庇尸的体积为定值；④异面直线A28厂所成的角为定值，其中正确结论的序号是.16.函数）=108〃&-1）+1（。＞0且。。1）的图象恒过定点人，若点A在一次函数1 2y=rwc+n的图象上,其中见〃＞0,则一+—的最小值为mn17.若函数17.若函数= + +2以在I，+8）上存在单调增区间，则实数。的取值范围是..已知样本数据粗，X2,…，如的均值3=5,则样本数据2尢1+1,2X2+1,2冕〃+1的均值为..在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面枳比为1：4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体枳比为上.已知四棱锥S-ABCO的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球。的球面上，则球O的表面枳等于.三、解答题.已知/(x)=lnx+a(l-x).⑴讨论f(x)的单调性;⑵当/(x)有最大值，且最大值大于2。一2时，求”的取值范围..“微信运动”是手机相。推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”.他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人，男20人)在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：4、0〜2000步，(说明：“0〜2000”表示大于或等于0,小于2000,以下同理)，B、2000〜5000步，C、5000〜8000步，D、8000〜10000步，E、10000〜12000步，且A、B、C三种类别的人数比例为1:4:3,将统计结果绘制如图所示的柱形图：男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图.(I)若以大学生"抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000〜8000的人数；(II)若在大学生"该天抽取的步数在8000〜10000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访•，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率..如图，在几何体ABC—AdG中，平面A4CQ底面abc,四边形AACQ是正方形，BQiBC,Q是45的中点，AC=BC=2BG，ZACB=—（I）求证：。4//平面A/CQ（ID求二面角的余弦值..已知菱形A5CO的顶点A,C在椭圆炉+3）尸=4上，对角线5。所在直线的斜率为1.（1）当直线50过点（。，1）时，求直线AC的方程.（2）当Z46C=60。时，求菱形ABCD面积的最大值.25.已知数列｛。“｝的前n项和Sn=n'一5n（n£N,）.（1）求数列｛%｝的通项公式；（2）求数列｛&■｝的前n项和Tn.2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题D解析：D【解析】【分析】根据X，）'的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.【详解】根据实验数据可以得出，工近似增加一个单位时，）'的增量近似为2.5,3.5,4.5,6,比较接近y=5（x--1）,故选d.【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.A解析：A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除D：根据函数解析式可知定义域为卜卜0±1｝,所以y轴右侧虚线部分为x=l,利用特殊值x=0.01和x=1.001代入即可排除错误选项.【详解】X-.v -.vX由函数解析式f（X）=支，易知/（T）=2 =一〃］）A+.v—Z X+X\—Z所以函数/（%）=、，।'为奇函数,排除D选项r+\x\-2根据解析式分母不为o可知，定义域为｛x|xW±1｝，所以y轴右侧虚线部分为X=1,当x=o.oi时，代入“X）可得〃x）＜0,排除c选项当x=L001时，代入/（X）可得/（力＞0,排除B选项所以选A【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题.D解析：D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x£R,都有命MT的否定为.存在xoWR,使得x/vo.故选D.C解析：C【解析】【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形.【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧，由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C选项.故选C.点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.考点：三视图.B解析：B【解析】【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共规更数，化简即得最后结果.【详解】由题意得，复数(1T)(：2+D=上=(T+3i)u=_3t.故应选Bi -i-ii【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住『=一1.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共扰复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.D解析：D【解析】【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【详解】,/£'(^)=Ox-J—Zi+lx-l+2x-^-=/?+.1,〜八1一〃c 1 , 1 1、Pc 1、 ， 1•••O^)=--(0-p--)-+-(l-p--)-+-(2-p--)-=-p-+p+-,・・・。(4)先增后减，因此选D.【点睛】ES=%,g= —E©)2Pj=XVA-炉«=i «=i «=iB解析：B【解析】等比数列的性质可知外•。6=片=16,故选B.B解析：B【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B..C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得bBP=aPA-cAC=bPC; fl—c 、/.PC=一匕4+-工。；bb一)―>:「。二?工+月。；根据共面向量基本定理得:•••△A8C为等边三角形。故答案为：等边三角形。B解析:B【解析】由题意得。+3+4+5+6=5从a+b=6,解得。=2,〃=4,所以样本方差工=1[(2—4)2+(3—4万+(4—4万+(5—4)?+(6—4月=2,5所以标准差为.故答案为B..C解析：C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例.【详解】选项4当c=0时，由不能推出故错误；选项6,当a=-l,b=-2时，显然有a>6,但/V说故错误；选项。，当a>6时，必有才>况故正确；选项D,当a=-2,b=-1时，显然有才>抗但却有a<b,故错误.故选：C.【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题.D解析：D【解析】【分析】本题通过讨论。的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0<。<1时，函数y=过定点(0,1)且单调递减，则函数y二;过定点(0,1)且单调递增，函数y=log“卜+；)过定点§,0)且单调递减，D选项符合；当。>1时，函数了=相过定点(0,1)且单调递增，则函数)，二二过定点(0,1)且单调递减，函数a(1A 1y=logax+-过定点(一,0)且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.\ 2y 2【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误：二是不能通过讨论。的不同取值范围，认识函数的单调性.二、填空题13.【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为解析：(-L0)u(L+8)【解析】【分析】【详解】由题意/(〃)>/(一。)二><a>0log.由题意/(〃)>/(一。)二><a>0log.a>log】a或<a<0log1(-n)>log2(-fl)=>,4>01或a>—a<01 或一1<4<0,则实数。的取值范围是(一1、0)。(1,+8),故答案为—>—aa.【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算解析：-2【解析】试题分析：由复数的运算可知Q—2z)g+?)=a+2+Q—2力，(l-2i)(a+i)是纯虚数，则其实部必为零，即〃+2=0,所以〃:—2.考点：好数的运算..【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对解析：①@③【解析】【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值.【详解】对于①，由4。_18。,4。_184，可得4?_1_面。25乩，故可得出47_1_5后，此命题正确；对于②，由正方体4BCO—A与£•的两个底面平行，£尸在平面A4GR内，故EF与平面A5CD无公共点，故有“7/平面此命题正确；对于③，所为定值，3到所距离为定值，所以三角形巫尸的面积是定值，又因为A点到面。R6d距离是定值，故可得三棱锥A—6石厂的体积为定值，此命题正确：对于④，由图知，当尸与4重合时，此时上与上底面中心为。重合，则两异面直线所成的角是NA/。，当上与D1重合时，此时点尸与。重合，则两异面直线所成的角是NO5G，此二角不相等，故异面直线AE,8尸所成的角不为定值，此命题错误.综上知①②③正确，故答案为①©③【点睛】本题通过劝多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体枳公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.,8【解析】•・,函数(且)的图象恒过定点A・,・当时.,•乂点A在一次函数的图象上其中.••乂・・・・・・(当且仅当时取)故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题⑴使用基本不等式求最值其失误解析：8【解析】•・•函数)=Iog”(x—D+l(aX),且4W1)的图象恒过定点A,・•・当x=2时，y=i,.\A(2,1),又点A在一次函数＞=〃zt+〃的图象上，其中inn>0,+〃=又，>0,/•>0,〃>0,A-+-=(—+-)-(2a?7+h)=4+—+—>8,(当且仅当mnmn mn〃=2〃7=:时取"=”),故答案为8.2点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：(--5+00)【解析】【分析】【详解】试题分析：f'(x)=-x2+x+2a=-*一2)+g+2a.当■|,+8)时，/(x)的最大值为(2\ 2 2 1 (1 Ar-=2«+-,令2。+入＞0,解得。＞一一，所以a的取值范围是一人，+8.⑶ 9 9 9 I9 )考点：利用导数判断函数的单调性.11【解析】因为样本数据xlx2,-xn的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1--2xn+l的均值为2x+l=2X5+1=11所以答案应填:11考点：均值的性质解析：11【解析】因为样本数据孙，也，…，如的均值£=5,所以样本数据2%1+1,2X2+1,…，2右+1的均值为241=2x5+1=11,所以答案应填：1"考点：均值的性质.1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1:8解析：1：8【解析】Lsh,SJ[] ] ]考查类比的方法,=T——=-k--A=-x-=-,所以体积比为1：8.考查类比的方法,匕入五邑H4283--

20.【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析：—【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SA5的外心分别作相应面的垂线交于O,即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SA8_L平面A6c。，连接AC,BD交于E,过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于0,即为球心，连接A0即为半径，2令（为△1必台外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cosNS84=§,■/cdx耶・_ 3 _9 ._9 AD_•sinNSBA=9••'4 -/cda 7^'••4--广，又OF一~z—-1，3 sniZSBAJ〉2。） 2可得H?=片+。尸，计算得,心更+1=

计算得,心更+1=

2010120所以S=4;rR°=5故答案为吧乃.5【点睛】

本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心,属于较难题.三、解答题1\121.(1)/(x)在0,21.(1)/(x)在（2）（0,1）.【解析】试题分析：（I）由/'（工）=』一4,可分。＜0，。＞0两种情况来讨论：（II）由（I）试题分析：（I）工0时/（工）在（0,+8）无最大值,当〃＞0时/（工）最大值为/［）=一1114+。一1.因此\a）f；）＞2〃-2。lna+4_1＜0.令g（a）=ln4+a-l,则g（〃）在（0,+8）是增函数，当0＜〃＜1时,g（G＜0,当时g（〃）＞0,因此a的取值范围是0,1.试题解析：（I）/（X）的定义域为（0，+8）,;（力='_即若4«0,则r（x）＞oj（x）在（0,+8）X是单调递增：若。＞0,则当k单调递增，在（J,+8）单调递减.（H）由（I）知当4Vo时/（X）在（0,+8）无最大值，当〃＞0时/（X）在x=L取得最a=-1114+。一=-1114+。一1.因此大值，最大值为/-=111af工）＞2〃-20Ina+o—l＜0.令g（a）=ln4+a-L则g（〃）在（0,+8）是增函数,g1=0,于是，当0＜4＜1时,g（4）＜0,当时g（4）＞0,因此a的取值范围是0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.3（I）见解析（n）二.【解析】【分析】（I）所抽取的40人中，该天行走2000〜8000步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000〜8000步的人数.（H）该天抽取的步数在8000〜10000的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率.【详解】（I）由题意，所抽取的40人中，该天行走2000〜8000步的人数：男12人，女14人，所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000〜8000步的人数约为400x型=260人；40（H）该天抽取的步数在8000〜10000的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.15x2=0.3,所以男生的人数为为20x0.3=6人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人.再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，基本事件总数〃=C；=15种，至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，C23・•・其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：P= =【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.（1）详见解析；（2）勺31【解析】【分析】（1）连接AG，交于M点，连接M。，则四边形AACG是正方形，点"是AG的中点，推导出四边形4GM0是平行四边形，从而由此能证明4QII平面A.ACC,.（2）以c为原点，cb,cq分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角4-C的平面角的余弦值.【详解】证明：（1）如图所示，连接AG，AC交于加点，连接M。.因为四边形AACQ是正方形，所以点用是AG的中点，又已知点。是48的中点，所以M2II8C,且=又因为与C\〃6C,且BC=2Bg,所以MQIldG，且加。二8'］，所以四边形与是平行四边形，故4QIIGM,因耳。＜z平面A/CG，GMu平面AACQ,

故4故4。||平面44。。一（2）如图所示，以。为原点，C5,cq分别为y轴和Z轴建立空间直角坐标系,不妨设AC=BC=251cl=2,则A（3-LO）,A（＞/3-1,2）,5（0,2,0）,耳（0」,2）,所以44=（出,一2,0）,^5=（0,1,-2）.设平面ABB1的法向量为m=（x,y,z）,用44=o而=0氏臂。,用44=o而=0氏臂。,取i则i27M平面CBB,的一个法向量：=（1,0,0）,所以cos（加3）=/??•/? 4 4>/§7in•ny/3i3131,故二面角A「BB「C的平面角的余弦值为里I.线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.（1）x+y+2=0（2）45/3【解析】【分析】【详解】I）由题意得直线50的方程为＞=x+l.因为四边形ABC。为菱形，所以4C_L5O.于是可设直线Ac的方程为y=一1+〃.।不+3y2=4, 、由（