第4章计量值假设检验与估计课件

第四章计量值的假设检验与估计本章将讨论产品重量、尺寸、加工温度、工作时间等服从正态分布的计量值数据，在改变作业等条件下，总体分布的平均值及方差是否发生变化。介绍检验两个总体分布是否存在差异、估计其差异大小的方法。也因方差或平均值的信息是否精确而有所不同，根据具体问题选用分布、分布、分布或正态分布。6/6/20231质量管理统计第一节方差的假设检验与估计质量管理就是要生产出质量波动小的产品。反映波动大小的方差和平均值是决定概率分布的两个重要参数。方差的假设检验和估计往往容易被忽略，其实它与平均值的假设检验和估计具有同样的重要性。本节介绍总体方差的假设检验与估计，以及两个总体方差之差的假设检验方法。6/6/20232质量管理统计总体方差的假设检验与估计从总体方差2的正态分布中随机抽取大小为n的样本，其测量值的平方和为S，则S/2服从自由度v=(n-1)的分布。据此可以进行总体方差的假设检验与估计。6/6/20233质量管理统计分布从标准正态分布N(0,1)中随机抽取大小为n的样本，其测定值为x1，x2，···xn，则，服从自由度为v=n的分布。4-16/6/20234质量管理统计分布从正态分布N(,2)中抽取的样本，其测量值xi的标准变换为：服从自由度为v=n的分布。如用n个样本的平均值替代总体均值，则：服从自由度为v=（n-1）的分布。4-34-26/6/20235质量管理统计分布不同自由度的分布的形状如图4-1所示。由于不取负值，分布呈右尾长的形状，其平均值为v、标准差为。6/6/20236质量管理统计

分布除了用于总体方差的估计和假设检验外，在本书第五章计数值的假设检验中，用于判断分布异同的拟合度假设检验等。分布6/6/20237质量管理统计表4-1是分布表的一部分。例如，当自由度为v=5时，P=0.05所在的列为v=5所在行交点的数字为11.07。分布6/6/20238质量管理统计总体方差的假设检验工厂生产某种产品的回收量一直比较稳定，平均82.0kg，标准差4.0kg。最近改变了部分生产方法，从已生产的产品中随机抽取10批产品，数据为82，89，81，90，84，83，88，80，85，90（单位：kg），新旧方法回收量的波动有差异吗？6/6/20239质量管理统计总体方差的假设检验在这个问题中，原生产过程长期稳定，回收量能够反映其总体的情况。用分布检验改变生产方法后，其回收量是否可以看作是总体方差为的总体的样本。假设检验的步骤如下。6/6/202310质量管理统计总体方差的假设检验⑴建立假设，确定显著性水平⑵根据新生产方法的回收量数据计算平方和S。⑶用公式4-3计算，则：6/6/202311质量管理统计总体方差的假设检验⑷查分布表，求自由度v=(n-1)=9、双侧概率为5%的分布临界值（图4-3）每侧0.025。得：6/6/202312质量管理统计总体方差的假设检验⑸进行假设检验。因此，不能拒绝原假设，不能说新旧两种生产方法回收量的波动有差异，即得出结论是不能说发生了变化。6/6/202313质量管理统计总体方差的估计利用上面随机抽取的10批产品回收量的数据来估计方差。方差的点估计量为：所以点估计值为：6/6/202314质量管理统计总体方差的估计估计置信度(1-)的方差置信区间的方法如下：利用从方差为2的总体中抽取的样本计算S/

2。设小于的概率为/2，大于的概率为/2，如图4-4所示：即为(1-)置信度下，总体方差的置信区间。6/6/202315质量管理统计总体方差的估计因此，置信度为95%时，新生产方法回收量的总体方差的估计值是：即方差的置信区间为6.81~48.0kg2。即6/6/202316质量管理统计两组数据方差之差的假设检验分别计算从具有相同方差的正态分布中抽取的两组样本的方差，并求其方差比F0。因为此值服从F分布，所以可以利用F分布检验两组数据的方差是否有差异。6/6/202317质量管理统计F分布从具有相同方差的正态总体中抽取数量为n1、n2的两组样本，分别计算方差V1（或s12）及V2（或s22），求其方差比：F值服从自由度V1=(n1-1)、V2=(n2-1)的F分布。F分布的形状随分子分母的自由度而变化，与卡方分布类似，不取负数值，如图4-5所示，右尾长。6/6/202318质量管理统计F分布F分布除了用于总体方差之差的假设检验，还可用于方差分析等多组平均值之差的假设检验。表4-3是F分布表的一部分。6/6/202319质量管理统计F分布

F分布的性质

6/6/202320质量管理统计两组数据方差之差的假设检验例1：从两处煤矿各抽样数次,分析其含灰率(%)，假定各煤矿含灰率,都服从正态分布,依次取容量为5,4的两独立样本，测得样本方差s12=7.505，s22=2.593,问两处煤矿的含灰率的方差是否有显著差异（

=0.05)6/6/202321质量管理统计两组数据方差之差的假设检验解：依题意提出假设H0:

12

=22

H1:

12

22

利用公式求出F2.894而

=0.05,查F分布表得F/2(4,3)=F0.025(4,3)=15.10可见0.10<2.894<15.10,所以接受原假设H0:

12

=22因而认为两处煤矿的含灰率的方差无显著差异F1-/2(4,3)=F0.975(4,3)=1/F0.025(3,4)=1/9.980.106/6/202322质量管理统计两组数据方差之差的假设检验例2：有甲乙两台车床生产同一型号的滚珠，且这两台车床生产的滚珠的直径服从正态分布,现从这两台车床生产的产品中分别8个和9个滚珠，测得直径(单位：mm),并求得样本方差s12=0.096,s22=0.026,问甲车床生产的滚珠的直径的方差是否不超过乙车床?（

=0.05）6/6/202323质量管理统计两组数据方差之差的假设检验解：依题意提出假设H0:

12

22

H1:

12

22

利用公式求出F3.96而

=0.05,查F分布表得F(7,8)=F0.05(7,8)=3.50可见F3.96

>3.50=F0.05(7,8),所以拒绝原假设H0:

12

22，接受H1:

12

22，因而认为甲车床生产的滚珠的直径的方差大于乙车床6/6/202324质量管理统计第二节平均值的假设检验与估计第三章阐述了假设检验、区间估计的思路。本节讲述总体均值及两组数据平均值之差的假设检验与估计。前者是以样本的平均值为基础的，检验抽取样本总体均值与某个总体均值是否有差异，并估计其总体均值。后者以两组样本的平均值为基础，检验样本所属总体的平均值是否存在差异，并估计其差异。6/6/202325质量管理统计总体均值的假设检验与估计总体均值假设检验是当改变作业方法或部分设备时，用变更后的n个数据的平均值，检验变更前后总体均值是否不同。总体均值估计是运用变更后的n个样本的值估计变更后的总体均值。在进行总体均值的假设检验和估计时，一种是在总体方差已知的条件下检验、估计；另一种是在总体方差未知利用n个样本的方差估计值检验、估计。两种情况下，所采用的检验、估计的公式有所不同。前者用第三章讲述的正态分布进行检验和估计，后者必须用t分布进行假设检验和估计。6/6/202326质量管理统计t分布6/6/202327质量管理统计例：

1.397t分布的临界值（分位点）6/6/202328质量管理统计t分布

问题：若

X~N(,2)，Y/2~2(n)，且X与Y相互独立，则证明：且与Y相互独立，则6/6/202329质量管理统计t分布证明：X~N(

,2/n)

(n-1)S2/

2~2(n–1),相互独立正态总体下有下面2个等式成立：

6/6/202330质量管理统计t分布表4-5是t分布表的一部分。6/6/202331质量管理统计总体方差已知时总体均值的假设检验与估计

2已知（U检验法）设总体X~N(,2),2=02已知，是待检参数,检验显著性水平为,样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。6/6/202332质量管理统计0临界值临界值a/2

a/2

拒绝H0拒绝H01-置信水平总体方差已知时总体均值的假设检验与估计

由于样本均值是总体的优良估计量，是待检参数,检验水平为，(X1,X2,…,Xn)来自总体X。当H0为真时，的取值应在0

的附近，而所以对

6/6/202333质量管理统计即当H0为真时，U的取值应在0的附近，这时，若一次抽样所得样本值使得U的值太大或太小，就应该拒绝H0检验水平为时，对双侧检验，拒绝域6/6/202334质量管理统计原假设的提出形式检验水平为时，拒绝域O-UOUO/2U/2/2-U/2考虑2已知时均值的三种形式的假设(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<0其中

0是某个给定的数6/6/202335质量管理统计求得U=1.08例1：某厂一车间生产一零件，其直径据经验服从N(,5.2)，为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为n=100的样本，样本均值x=26.56，要求在显著性水平=0.05下检验双边假设H0：

=

26H1：

≠

26

解：方差

2=5.2已知，利用公式而由=0.05，查标准正态分布表得U/2=U0.025=1.96可见|U|=1.08<1.96=U/2=U0.025O/2U/2/2-U/2所以不能拒绝原假设H0：

=

26因而认为生产是正常的6/6/202336质量管理统计求得U=1.08例2：某厂一车间生产一零件，其直径据经验服从N(,5.2)，为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为n=100的样本，样本均值x=26.56，要求在显著性水平=0.05下检验右边假设H0：

=

26H1：

>

26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由=0.05，查标准正态分布表得U=U0.05=1.64可见U=1.08<1.64=U=U0.05OU所以不能拒绝原假设H0：

=

26因而认为生产是正常的6/6/202337质量管理统计求得U=1.08例3：某厂一车间生产一零件，其直径据经验服从N(,5.2)，为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为n=100的样本，样本均值x=26.56，要求在显著性水平=0.05下检验左边假设H0：

=

26H1：

<26解：方差

2=5.2已知，利用公式而由=0.05，查标准正态分布表得U=U0.05=1.64可见-U=-U0.05=-1.64<

1.08=U所以不能拒绝原假设H0：

=

26因而认为生产是正常的O-U6/6/202338质量管理统计区间估计采用的方法枢轴变量法：(1)找与有关的统计量T(一般T是的点估计)

(2)找一个函数I=I(T,),

I

的分布F与无关(I(T,)为枢轴变量)(3)对给定的1-，找到F的上分位点和6/6/202339质量管理统计方差已知时总体均值的估计

2已知

设总体X~N(,2)，样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。所以

的置信系数为1-的置信区间：

枢轴变量为O/2U/2/2-U/26/6/202340质量管理统计例：从大批灯泡中随机地抽取5个,测得寿命为(单位:小时)：1650,1700,1680,1820,1800，假定灯泡寿命X~N(,9)，求这批灯泡平均寿命的区间估计（=0.05）。

解：方差

2=9已知，利用公式：

由=0.05，查标准正态分布表得u0.025=1.96。因n=5，=3，x=1730，所以，得的区间估计为

[1727.37,1732.63]。P(1727.371732.63)=0.95注6/6/202341质量管理统计总体方差未知时总体均值的假设检验与估计2未知（T检验法）设总体X~N(,2),2=02未知，是待检参数,检验水平为,样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X。6/6/202342质量管理统计0临界值临界值a/2

a/2

拒绝H0拒绝H01-置信水平

由于样本均值是总体的优良估计量，是待检参数,检验水平为，(X1,X2,…,Xn)来自总体X。当H0为真时，的取值应在0

的附近，而在2未知时，用s替代，则总体方差未知时总体均值的假设检验与估计6/6/202343质量管理统计即当H0为真时，T的取值应在0的附近，这时，若一次抽样所得样本值使得T的值太大或太小，就应该拒绝H0检验水平为时，对双侧检验，拒绝域6/6/202344质量管理统计原假设的提出形式检验水平为时，拒绝域O-tOtO/2t/2/2-t/2(1)H0：

=

0

H1：

0(2)H0：

=

0H1：

0(3)H0：

=

0H1：

<0其中

0是某个给定的数考虑2未知时均值的三种形式的假设6/6/202345质量管理统计例1：检验某种型号玻璃纸的横向延伸率(%),测得100个数据如表所示假设总体服从正态分布，现在要检验假设在显著性水平

=0.05下检验双边假设H0：

=65H1：

≠65延伸率32.537.539.541.543.545.547.549.5频数781199121714延伸率51.553.555.557.559.561.563.5频数5320201而由=0.05，查t分布表得t/2(99)=t0.025(99)

=1.98求得T=34.27可见|T|=34.27>1.98=t/2=t0.025所以拒绝原假设H0：

=

65因而认为这种型号的玻璃纸没有达到横向延伸率的指标解：方差

2未知，利用公式由样本算出O/2t/2/2-t/26/6/202346质量管理统计方差未知时总体均值的估计2未知：所以

的置信系数为1-的置信区间：

枢轴变量为6/6/202347质量管理统计例

：从大批灯泡中随机地抽取5个,测得寿命为(单位:小时)：1650,1700,1680,1820,1800，假定灯泡寿命X~N(,

2)，求这批灯泡平均寿命的区间估计（=0.05）。

由n

=5，查t

分布表得t0.025(4)=2.776。

x=1730，s=75.50。所以，得的区间估计为

[1636.27,1823.73]。解：方差

2未知，利用公式：

6/6/202348质量管理统计两组数据平均值之差的假设检验与估计考虑三种形式的假设(1)H0:

1=

2

H1:

1

2(2)H0:

1=

2H1:

1

2(3)H0:

1=

2H1:

1

<2若令

=

1-2，则变为(1*)H0*:

=

0

H1*:

0(2*)H0*:

=

0

H1*:

0(3*)H0*:

=

0

H1*:

<0平均值之差的假设检验：6/6/202349质量管理统计1、12,22都已知样本(X1,X2,…,Xn1)

来自总体X~N(1,12),

(Y1,Y2,…,Y

n2)来自总体Y~N(2,22)，并假定X与Y

相互独立令

=

1-2

，当H0:

=

0

成立时，有即由于6/6/202350质量管理统计即当H0:

=0为真时,U的取值在0附近，从而检验水平为时，拒绝域W分别由下式得到6/6/202351质量管理统计2、12=22=2,但2未知即当H0:

=

0

成立时,T的取值在0附近，从而检验水平为时拒绝域W分别见下式O-tOtO/2t/2/2-t/26/6/202352质量管理统计解：依题意提出假设H0:

1=

2

H1:

1

2

例1：卷烟一厂向化验室送去A,B两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从A,B中各随机抽取重量相同的5例进行化验，测得尼古丁的含量(单位:毫克)，并由此得到:拒经验知,A的尼古丁含量服从N(1,5),B的尼古丁含量服从N(2,8).

问两种烟草的尼古丁平均含量

1、2

是否有差异（

=0.05）由于

12,22都已知，故利用公式求出U=－1.612而

=0.05，查标准正态分布表得U/2=U0.025=1.96可见|U|=1.612<1.96

=U

0.025=

U

/2

,所以接受原假设H0:

1=

2，因而认为两种烟草的尼古丁平均含量无差异。6/6/202353质量管理统计解：依题意提出假设H0:

1=

2

H1:

1

2

例2：为比较A,B两种型号灯泡的寿命差异，随机抽取A型灯泡5只，测得，方差S12=965.2，随机抽取B型灯泡5只，测得，方差S22=1076.2，设总体都是正态的，）利用公式求出T=－0.267而

=0.05，查t分布表得t/2(8)=t0.025(8)=2.306可见|T|=0.267<2.306

=t0.025=t/2

,所以接受原假设H0:

1=

2因而认为A,B两种型号灯泡的平均寿命无差异。O/2t/2/2-t/2并且知它们的方差相等.问平均寿命

1、2是否有差异（

=0.056/6/202354质量管理统计两组数据平均值之差的假设检验与估计平均值之差的区间估计：1、均值差

1-2的区间估计

12,,,22都已知

令枢轴变量为设样本(X1,X2,…,Xn1)

来自正态总体X~N(1,12),

(Y1,Y2,…,Yn2)来自正态总体Y~N(2,22)，并假定X与Y

相互独立分别是两样本的均值和方差,1-是给定的置信系数6/6/202355质量管理统计所以1-2的置信系数为1-的置信区间：

O/2U/2/2-U/26/6/202356质量管理统计解：由=0.1，查标准正态分布表得U/2=U0.05=1.645因n1=10，n2=12,12=25,22

=36，所以，例1：设自总体X~N(1,25)得到一容量为10的样本，其样本均值，自总体Y~N(1,36)得到一容量为12的样本，其样本均值,并且两样本相互独立,求

1-2的置信区间（

=0.1）。

得1-2的置信区间为[-8.06,-0.34]。6/6/202357质量管理统计12

=22=2,但2未知

令枢轴变量为所以

1-2的置信系数为1-

的置信区间：

6/