中考数学复习精创专题-高频考点突破- -反比例函数与三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——反比例函数与三角形1．x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b（a＜b），则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x＋3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x＋3是1≤x≤2上的闭函数．(1)请说明是1≤x≤30上的闭函数；(2)已知二次函数y＝x2＋4x＋k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；(3)在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．2．已知上有点P，以P为圆心，长为半径画图，分别交x轴，y轴于A，B两点．（1）三角形的面积是否为定值？若为，求出；若不为，说明理由．（2）与交于M，N两点，且，求的面积．（3）若定点到P的最小距离为，求所有满足条件的a的值．3．如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线上的一动点，轴与，交线段于，轴于，交线段于．（1）求、两点的坐标（用，的式子表示）；（2）当时，求的面积．（3）当运动且线段、均与线段有交点时，探究：、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点C（0，2），且与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，作BD⊥x轴于点D，OD=2．（1）求直线AB的函数解析式；（2）设点P是轴上的点，若△PBC的面积等于6，直接写出点P的坐标；（3）设M点是y轴上的点，且△MBC为等腰三角形，求M点的坐标．5．已知，在平面直角坐标系中，点，是平行四边形OABC的两个顶点，反比例函数的图象经过点B．（1）求出反比例函数的表达式；（2）将沿着x轴翻折，点C落在点D处，判断点D是否在反比例函数的图象上，并说明理由；（3）在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．(1)求过点D的反比例函数的解析式；(2)求△DBE的面积；(3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于、两点，直线分别交轴、轴于、两点，为轴上一点．已知，点坐标为．（1）将线段沿轴平移得线段（如图1），在移动过程中，是否存在某个位置使的值最大？若存在，求出的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）将直线沿射线平移，平移过程中交的图象于点（不与重合），交轴于点（如图２）．在平移过程中，是否存在某个位置使为以为腰的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，直线和反比例函数的图象都经过点，点在反比例函数的图象上，连接．（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）直线经过点吗？请说明理由；（3）当直线与反比例数图象的交点在两点之间.且将分成的两个三角形面积之比为时，请直接写出的值．9．如图1，等腰中，点分别在腰上，连结，若，则称为该等腰三角形的逆等线．（1）如图1，是等腰的逆等线，若，求逆等线的长；（2）如图2，若直角的直角顶点恰好为等腰直角底边上的中点，且点分别在上，求证：为等腰的逆等线；（3）如图3，等腰的顶点与原点重合，底边在轴上，反比例函数的图象交于点，若恰为的逆等线，过点分别作轴于点轴于点，已知，求的长．10．如图，已知反比例函数的图象经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为．求：点的坐标；反比例函数的解析式；的面积．11．已知反比例函数y＝(m为常数)的图像在第一、三象限．(1)求m的取值范围．(2)如图，若该反比例函数的图像经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．①求出该反比例函数的表达式；②设P是该反比例函数图像上的一点，若OD＝OP，则点P的坐标为________________；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有________个．12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B在x轴上，四边形OACB为平行四边形，且∠AOB=60°，反比例函数（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F.（1）若OA=10，求反比例函数的解析式；（2）若F为BC的中点，且S△AOF＝24，求OA长及点C坐标；（3）在（2）的条件下，过点F作EF∥OB交OA于点E（如图2），若点P是直线EF上一个动点，连结，PA，PO，问是否存在点P，使得以P，A，O三点构成的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明了理由．13．对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P的坐标为(a＋，ka＋b)（k为常数，k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1＋，2×1＋4)，即P′(3，6).(1)①点P(－1，－2)的“2属派生点”P′的坐标为_______________②若点P的“k属派生点”为P′(3，3)，请写出一个符合条件的点P的坐标_____________(2)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为____________(3)如图，点Q的坐标为(0，)，点A在函数（x＜0）的图象上，且点A是点B的“属派生点”．当线段BQ最短时，求B点坐标.14．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图,已知:直线与双曲线交于A．B两点，且点A的横坐标为4,若双曲线上一点C的纵坐标为8，连接AC．(1)填空:k的值为_______;点B的坐标为___________;点C的坐标为___________.(2)直接写出关于的不等式的解集.(3)求三角形AOC的面积(4)若在x轴上有点M，y轴上有点N，且点M.N.A．C四点恰好构成平行四边形，直接写出点M.N的坐标.17．如图，直线y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；（3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式．18．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在反比例函数的图象上，作轴于点．(1)的面积为______；(2)若点的横坐标为4，点在轴的正半轴，且是等腰三角形，求点的坐标；(3)动点从原点出发，沿轴的正方向运动，以为直角边，在的右侧作等腰，；若在点运动过程中，斜边始终在轴上，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)见解析(2)k＝1，t＝﹣3(3)【分析】（1）根据，可判断随的增大而减小，由题意可得出反比例函数是上的闭函数；（2）根据二次函数的性质和题意可求出k和t的值；（3）由抛物线解析式得到点的坐标，再由两点间距离公式表示出三边的长度，由勾股定理的逆定理得出方程，解方程即可得到答案．（1）∵∴当时，随的增大而减小∴当时，当时，∴∴反比例函数是上的闭函数；（2）∵对称轴为，∴二次函数在上随的增大而减小∵二次函数是上的闭函数∴当时，；当时，解得

∵∴，应舍去∴；（3）由（2）知，抛物线解析式为：由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得A（﹣2，﹣3），C（0，1）设B（﹣3，a），由两点间距离公式，得，，①当∠ABC＝90°时，由勾股定理得，即解得；②当∠ACB＝90°时，由勾股定理得，即解得不满足条件，应舍去；③同理，当∠BAC＝90°时也不满足条件．综上所述，△ABC的腰长为．故答案为：．【点评】本题属于函数的综合题目，涉及新定义题型，主要考查了反比例函数的性质、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是准确理解闭函数的定义及分类讨论．2．（1）为，8；（2）10π；（3）-1或【分析】（1）连接AB，可得AB为圆P直径，设A（2a，0），B（0，2b），可得P（a，b），由三角形面积公式可得结论；（2）根据y=-2x+4求出GO=4，QO=2，根据勾股定理求出，由垂径定理得OP⊥GQ，根据等积关系计算出OE，EF，EH，从而得出点E坐标（），进一步求出直线OP的解析式，设P()代入求得x的值，从而求出OP，根据圆的面积公式求解即可；（3）设，求出，令，则，把化简为，然后分两种情况讨论求解即可．【解析】解：如图，连接AB，∵∴AB为圆P直径，即AB的中点为点P,设A（2a，0），B（0，2b），∴，即∵点P在上∴∴即的面积为定值8；（2）设直线y=-2x+4与x轴交于点Q，与y轴交于点G，与OP交于点E，过点E作EF⊥y轴，EH⊥x轴，垂足分别为F，H，如图，∵M，N在圆P上，且OM=ON∴OP⊥MN对于y=-2x+4，令x=0，则y=4；令y=0，则x=2∴OG=4，OQ=2由勾股定理得，又∴又，同理可得，，∴设直线OP的解析式为y=kx，则∴∴直线OP的解析式为设P（x，），则有解得，或（舍去）∴∴∴的面积为：（3）设，∵∴=令，则，∴①当时，时PQ最小，则有：解得，，或（舍去）②当，时PQ最小，则有：解得，（舍去）或综上，a的值为：-1或．【点评】本题主要考查了坐标与图形，圆的性质，垂径定理，用待定系数法求一次函数解析，反比例函数，勾股定理以及不等式的性质等知识，得到以及灵活运用分类讨论思想解题是关键．3．（1）点E的坐标为（1b，b），点F的坐标为（a，1a）；（2）△OEF的面积为；（3）BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形，理由见解析．【分析】（1）易得点E的纵坐标为b，点F的横坐标为a，代入直线的解析式y=-x+1，即可用a，b的式子表示出E、F两点的坐标．（2）当时，可求出线段OM、ON、FM、EN、PE、PF的长，然后用割补法就可求出△EOF的面积．（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，由P（a，b）为双曲线（x＞0）上的一动点可得2ab=1．①运用勾股定理将BE2、EF2、FA2用a、b的代数式表示，即可证到BE2+FA2=EF2，从而解决问题；【解析】解：（1）如图1，∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，∴xF=xM=xP=a．∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，∴yE=yN=yP=b．∵点E、F在直线AB上，∴yE=xE+1=b．yF=xF+1=a+1．∴xE=1b，yF=1a．∴点E的坐标为（1b，b），点F的坐标为（a，1a）．（2）当时，∵P（a，b）在双曲线（x＞0）上，∴．∴点P的坐标为（，），点E的坐标为（，），点F的坐标为（，）．∴ON=，NE=，OM=，FM=．∵直线y=x+1与x，y轴分别交于A、B两点，∴当x=0时，y=1，则点B的坐标为（0，1）；当y=0时，x=1，则点A的坐标为（1，0）．∴OA=OB=1．∵PN⊥OB，PM⊥OA，OA⊥OB，∴∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°．∴四边形OMPN是矩形．∴PM=ON=，NP=OM=．∴BN=1，PE=，PF=．∴S△OEF=S矩形OMPN-S△ONE-S△OMF-S△PEF=OM•ONON•NEOM•FMPE•PF===．∴△OEF的面积为．（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．证明：如图1，∵PM⊥x轴，FM=1-a，AM=1-a，∴FA2=FM2+MA2=（1-a）2+（1-a）2=2（1-a）2．同理可得：BE2=2（1-b）2，EF2=[a-（1-b）]2+[b-（1-a）]2=2（a+b-1）2．∵P（a，b）在双曲线y=（x＞0）上，∴2ab=1，a＞0，b＞0．∴EF2=2（a2+b2+1+2ab-2a-2b）=2（a2+b2+1+1-2a-2b）=2[（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]=2（1-a）2+2（1-b）2=FA2+BE2．∴BE、EF、FA这三条线段总能组成一个直角三角形．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理、完全平方公式等知识，综合性比较强．解题的关键熟练掌握所学的知识，掌握数形结合的思想进行计算．4．（1）；（2）P（0，8）或P（0，﹣4）；（3）M的坐标是（0，6）或（0，）或（0，）或M（0，4）．【分析】（1）由轴，，即可求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；（2）由点是轴上的点，若的面积等于6，可求得的长，继而求得点的坐标．；（3）分类讨论：以为底和以为腰两种情况来解答．【解析】解：（1）轴，，点的横坐标为2，将代入，得，，设直线的函数解析式为，将点、代入得，，直线的函数解析式为；（2）点是轴上的点，若的面积等于6，，即，，，或．（3），，．①当时，点是线段垂直平分线上的点，此时；②当时，，或．③当时，．综上所述，满足条件的点的坐标是或或或．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式以及反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的判定等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．5．（1）；（2）在，理由见解析；（3）存在，，，，【分析】（1）证明，则，故点，故，即可求解；（2）翻折后点的坐标为：，则，即可求解；（3）分、、三种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为：、，四边形为平行四边形，则，，，，故点，故，则反比例函数表达式为：；（2）翻折后点的坐标为：，，在反比例函数的图象上；（3）如图示：当时，点，；当时，点；当时，设点，则，解得：；综上，点的坐标为：，或或．【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．6．（1）（2）3（3）P点的坐标是（4，0）或（，0）．【分析】（1）由四边形OABC是矩形，得到BC=OA，AB=OC，根据tan∠COD=，设OC=3x，CD=4x，求出OD=5x=5，OC=3，CD=4，得到D（4，3），代入反比例函数的解析式即可．（2）根据D点的坐标求出点B，E的坐标即可求出结论；（3）分类讨论：当∠OPD=90°时，过D作PD⊥x轴于P，点P即为所求，当∠ODP=90°时，根据射影定理即可求得结果．【解析】（1）∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA，AB=OC，∵tan∠COD=，∴设OC=3x，CD=4x，∴OD=5x=5，∴x=1，∴OC=3，CD=4，∴D（4，3），设过点D的反比例函数的解析式为：y=，∴k=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）∵点D是BC的中点，∴B（8，3），∴BC=8，AB=3，∵E点在过点D的反比例函数图象上，∴E（8，），∴S△DBE=BD•BE==3；（3）存在，∵△OPD为直角三角形，∴当∠OPD=90°时，PD⊥x轴于P，∴OP=4，∴P（4，0），当∠ODP=90°时，如图，过D作DH⊥x轴于H，∴OD2=OH•OP，∴OP=．∴P（，O），∴存在点P使△OPD为直角三角形，∴P（4，O），（，O）．7．（1）|BO′﹣AE′|的最大值为，此时点O′的坐标（﹣，0）；（2）存在，点M的坐标为（，）或（8，）【分析】（1）把A向左平移5个单位得A1（﹣2，4），作B关于x轴的对称点B1，则有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝B1O′﹣A1O′|≤A1B1，想办法求出A1B1，直线A1B1的解析式即可解决问题．（2）设M（m，），则N（m﹣，0），NE2＝（5﹣m+）2，ME2＝（5﹣m）2+（）2，MN2＝（）2+（）2，分MN＝EM，MN＝NE两种情形，分别构建方程即可解决问题．【解析】解：（1）如图1中，∵A（3，4），∴OA＝＝5，∵OA＝OC＝OE，∴OA＝OC＝OE＝5，∴C（﹣5，0），E（5，0），把A、C两点坐标代入y＝ax+b得到，解得，∴直线的解析式为，把A（3，4）代入y＝中，得到k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，把A向左平移5个单位得A1（﹣2，4），作B关于x轴的对称点B1，则有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝B1O′﹣A1O′|≤A1B1，∵直线AC：，双曲线：y＝∴，∴，直线A1B1：，令y＝0，可得，∴O′（﹣，0）．∴|BO′﹣AE′|的最大值为，此时点O′的坐标（﹣，0）．（2）设M（m，），则N（m﹣，0），NE2＝（5﹣m+）2，ME2＝（5﹣m）2+（）2，MN2＝（）2+（）2若MN＝ME，则有，（5﹣m）2+（）2＝（）2+（）2，解得m＝或（舍弃），∴M（，），若MN＝NE，则有（5﹣m+）2＝（）2+（）2，解得m＝8或3（舍弃），∴M（8，），综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（8，）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．8．（1）；（2）直线经过点，理由见解析；（3）的值为或．【分析】（1）依据直线l1：y=-2x+b和反比例数的图象都经过点P（2，1），可得b=5，m=2，进而得出直线l1和反比例函数的表达式；（2）先根据反比例函数解析式求得点Q的坐标为，依据当时，y=-2×+5=4，可得直线l1经过点Q；（3）根据OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2；②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，再过M，Q分别作x轴，y轴的垂线，设点M的坐标为(a，b)，根据平行线分线段成比例列方程求解得出点M的坐标，从而求出k的值．【解析】解：（1）∵直线和反比例函数的图象都经过点，．∴直线l1的解析式为y=-2x+5，反比例函数大家解析式为；（2）直线经过点，理由如下.点在反比例函数的图象上，．点的坐标为．当时，．直线经过点；（3）的值为或．理由如下：OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2，如图，过点M作ME⊥x轴交PC于点E，MF⊥y轴于点F；过点Q作QA⊥x轴交PC于点A，作QB⊥y轴于点B，交FM于点G，设点M的坐标为(a，b)，图①∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（，4），∴AE=a-，PE=2-a，∵ME∥BC,QM:PM=1:2，∴AE:PE=1:2，∴2-a=2(a-)，解得a=1，同理根据FM∥AP，根据QG:AG=QM:PM=1:2，可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=3．所以点M的坐标为（1，3），代入y=kx可得k=3；②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，如图②，图②同理可得点M的坐标为（，2），代入y=kx可得k=.故k的值为3或．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数解析式．解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，同时需要注意分类讨论思想的应用．9．（1）；（2）见解析；（3）．【分析】（1）由是等腰的逆等线，得CF=AE=2，根据勾股定理，即可得到答案；（2）连接AD，根据等腰直角三角形的性质，得AD=DC=BD，∠EAD=∠FCD=45°，AD⊥BC，从而得∠ADE=∠CDF，进而证：∆ADE≅∆CDF（ASA），即可得到结论；（3）设OF=x，则DF=，作AG⊥OB于点G，CH⊥AG于点H，易证△ACH≅△DBF(AAS)，得EG=CH=BF，AH=DF，进而得EG=x−4，由△ACH~△COE，得，列出关于x的方程，即可求解．【解析】（1）∵是等腰的逆等线，∴CF=AE=2，∵，∴AF=5-2=3，∵，∴；（2）连接AD，∵点为等腰直角底边上的中点，∴AD=DC=BD，∠EAD=∠FCD=45°，AD⊥BC，∵∠EDF=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∴∆ADE≅∆CDF（ASA），∴AE=CF，∴为等腰的逆等线；（3）设OF=x，则DF=，作AG⊥OB于点G，CH⊥AG于点H，∵CD为的逆等线，∴AC=BD，∵是等腰三角形，∴∠ACH=∠AOB=∠DBF，∠AHC=∠AGO=∠DFB=90°，在△ACH和△DBF中∵，∴△ACH≅△DBF(AAS)，∴EG=CH=BF，AH=DF，又∵AO=AB，且AG⊥OB，∴OG=BG，∴GF=BG−BF=OG−EG=OE，∴EG=x−2−2=x−4，∵△ACH~△COE，∴，即：，化简得：x2−4x−4=0，解得：x1=，x2=(舍去)，∴OF=．【点评】本题主要考查全等三角形，相似三角形和反比例函数的综合，添加辅助线，构造全等三角形与相似三角形，是解题的关键．10．点的坐标为，；；．【分析】(1)已知点A和点O的坐标，D为OA的中点可以求出点D的坐标；(2)因D在反比函数的图像上，D点坐标已知故可求；(3)S△AOC=S△AOB-S△BOC，由点A的坐标为（-6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．【解析】∵点是斜边的中点，点的坐标为，∴；把代入，得到，故该反比例函数解析式为：；∵，且，∴．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．11．（1）m＜；（1）①反比例函数的表达式为y＝.②(3，2)或(－2，－3)或(－3，－2)【解析】解：(1)由题意知1－2m＞0，解得m＜.(2)①在▱ABOD中，AD∥BO，AD＝BO.因为A(0，3)，B(－2，0)，所以点D的坐标是(2，3)，所以＝3，因此1－2m＝6，所以反比例函数的表达式为y＝.②∵反比例y＝的图象关于原点中心对称，∴当点P与点D关于原点对称,则OD=OP,此时P点坐标为(−2,−3)，∵反比例函数y＝的图象关于直线y=x对称，∴点P与点D(2,3)关于直线y=x对称时满足OP=OD，此时P点坐标为(3,2)，点(3,2)关于原点的对称点也满足OP=OD，此时P点坐标为(−3,−2)，综上所述,P点的坐标为(−2,−3),(3,2),(−3,−2)；由于以D.O、P为顶点的三角形是等腰三角形,则以D点为圆心,DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1,P2,则点P1,P2满足条件;以O点为圆心,OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3,P4,则点P3,P4也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点。【点评】本题考核知识点：反比例函数综合题目.解题关键点：熟记反比例函数性质，数形结合思想的运用.12．（1）反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）C（）；（3）P

1（），P

2（），P

3（），P

4（）【解析】分析：（1）先过点A作AH⊥OB，根据∠AOB=60°，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据∠AOB=60°，得出AHAH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=24，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=12，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=12，即可求出点C的坐标；（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．解析：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵∠AOB=60°，OA=10，∴AH=，OH=5，∴A点坐标为（5，），根据题意得：，可得：k=，∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，∵∠AOB=60°，∴AH=a，OH=，∴S

△AOH=，∵S

△AOF=，∴S

平行四边形AOBC=，∵F为BC的中点，∴S

△OBF=，∵BF=a，∠FBM=∠AOB，∴FM=，BM=a，∴S

△BMF=BM*FM=，∴S

△FOM=S

△OBF+S

△BMF=，∵点A，F都在y=的图象上，∴S

△AOH=k，∴，∴a=，∴OA=8，∴AH=，OH=，∵S

平行四边形AOBC=OB*AH=，∴OB=，∴C（）；（3）存在三种情况：这样的P点有四个当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P

1（），P

2（），当∠PAO=90°时，P

3（），当∠POA=90°时，P

4（）点评：考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．13．（1）①；②（1，2）（答案不唯一）；（2）；（3）.【解析】解：(1)①当a=−1，b=−2，k=2时，a+=−1+=−2,ka+b=2×(−1)−2=−4.∴点P(−1,−2)的“2属派生点”P′的坐标为(−2,−4).故答案为(−2,−4).②由题可得：∴ka+b=3k=3.∴k=1.∴a+b=3.∴b=3−a.当a=1时,b=2,此时点P的坐标为(1,2).故答案为(1,2)（答案不唯一）.说明：只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可．(2)∵点P在x轴的正半轴上，∴b=0，a>0.∴点P的坐标为(a,0),点P′的坐标为(a,ka).∴PP′⊥OP.∵△OPP′为等腰直角三角形，∴OP=PP′.∴a=±ka.∵a>0，∴k=±1.故答案为±1.（3）设点B的坐标为(m,n)，∵点A是点B的“属派生点”，∴点A的坐标为(m+,m+n)，∵点A在函数(x<0)的图象上，∴(m+)(m+n)=且m+<0.整理得：(m+)2=4.∵m+<0，∴m+=−2.∴n=m+∴点B的坐标为(m,m+).过点B作BH⊥OQ,垂足为H,如图所示．∵点Q的坐标为(0,)，∴,,∵4>0，∴当m=时,BQ2最小，即BQ最小．此时∴当线段BQ最短时,B点坐标为．14．（1）反比例函数解析式为（x＞0）；（2）以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离，理由见解析；（3）存在，BF：AF=1：4．【分析】（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式．（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断．（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．【解析】解：设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，∴S△OCF=xy=，即xy=2．∴k=2．∴反比例函数解析式为（x＞0）．解：该圆与y轴相离，理由如下：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，设OH=m，则，∴EH=m，OE=2m．∴E坐标为（m，m），∵E在反比例图象上，∴．∴m1=，m2=-（舍去）．∴OE=2，EA=4﹣2，EG=OH=．∵4﹣2＜，∴EA＜EG．∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离．（3）存在．假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．∵△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°．∴BC=FB•cos∠FBC=x，FC=FB•sin∠FBC=x，∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x．∵AE⊥FE，∴AE=AF•cosA=2﹣x．∴OE=OA﹣AE=x+2．∴OH=OE•cos∠AOB=x+1，EH=OE•sin∠AOB=x+．∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x）．∵E、F都在反比例函数的图象上，∴（x+1）（x+）=（4﹣x）•x．解得：x1=4，x2=．当BF=4时，AF=0，BF：AF不存在，舍去．当BF=时，AF=，BF：AF=1：4．【点评】本题是一道综合性很强的压轴题，考查了反比例函数的图象和性质，圆的相关性质，解直角三角形的应用等，解题的关键是要数形结合，熟练掌握相关性质并灵活运用．15．（1）y=2x；B（1，2）（2）①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；（3）不存在，见解析【解析】试题解析：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，∴y=2x，又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），∴B（1，2），（2）∵k=2，∴≥kx即为≥kx①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t，）（t＜0），∵A（﹣1，﹣2）∴OA=∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，t2=4，t=﹣2，C（﹣2，﹣1），而此时|AC|=，|AC|≠|AO|，∴不存在符合条件的点C．考点：1、反比例函数；2、一次函数的交点问题；3、不等式；4、等边三角形16．（1）k=8

，B(-4，-2)，C(1，8)；（2）

；（3）15；（4）M(3,0)、N(0,6)或M(-3,0)、N(0,-6)【解析】分析：（1）由直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为4，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值，把C的纵坐标代入反比例函数，即可得到C的坐标；根据对称性，可求得点B的坐标．

（2）结合图象，即可求得关于x的不等式的解集；

（3）首先过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE=S梯形AEDC，又由双曲线上有一点C的纵坐标为8，可求得点C的坐标，继而求得答案；

（4）由当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案．解析：（1）∵直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为4，∴点A的纵坐标为：y=×4=2，∴点A（4，2），∴2=，∴k=8，∴；把y=8代入，解得：x=1，∴C（1，8）．

∵直线与双曲线交于A、B两点，∴B（﹣4，﹣2）；

（2）由图象可知：关于x的不等式的解集为：﹣4≤x＜0或x≥4；

（3）过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E．

∵双曲线上有一点C的纵坐标为8