中考数学高频压轴题突破-二次函数与面积

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．2．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为P．（1）如图1，连接AP，分别求出抛物线与直线AP的解析式；（2）如图1，点D（2，3）在抛物线上，在第一象限内，直线AP上是否存在点E，使DE⊥EO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC与抛物线的对称轴交于点F，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使△GPF与△GBF的面积相等？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N，若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D、F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．6．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.7．如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物线与轴交于点,与轴交于另一点.(1)求的值及该抛物线的解析式;(2)如图2.若点为线段上的一动点(不与重合).分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△和等腰直角△,连接,试确定△面积最大时点的坐标.(3)如图3.连接、,在线段上是否存在点,使得以为顶点的三角形与△相似,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1，x2＞1，x1+x2＞2，试判断y1与y2的大小，并说明理由；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴交于点D，记平移后的抛物线顶点为点P①若△ODP是等腰直角三角形，求点P的坐标；②在①的条件下，直线x=m（0＜m＜3）分别交线段BP、BC于点E、F，且△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，直接写出m的值．10．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．11．已知，二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为1和2，与轴的交点是．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点是轴上的一点，是否存在，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点作轴，与二次函数的图象相交于点，点是该二次函数图象上的动点，过点作轴，交线段于点，试探究当点运动到何处时，与的面积之和最大，求点的坐标及最大面积．12．如图，已知抛物线y=x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．13．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）（1）求该二次函数的解析式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？14．抛物线与轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与轴交于点C(0，3).（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0<t<3）.①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，△PDE的面积最大，并求出这个最大值；②当t=2时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D（1）求此抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．综合与探究如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+2x+3，抛物线W与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A、C两点．（1）求点A、B、C、D的坐标．（2）将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′．①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？（3）若将抛物线W也向下平移m单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部（不包括△AOC的边界），请直接写出m的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数（）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（-2，0）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）在x轴上有一点D（-4，0），将二次函数图象沿DA方向平移，使图象再次经过点B．①求平移后图象顶点E的坐标；②求图象A，B两点间的部分扫过的面积．18．已知，如图，抛物线与轴交点坐标为，，（1）若已知顶点坐标为或点，选择适当方式求抛物线的解析式．（2）若直线为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段的长度，并求的面积．（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交轴于点，与线段、抛物线的交点分别为点、，用含的代数式表示的长度，并求出当为何值时，的面积最大？答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解析】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，∴二次函数的表达式是y=x2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得直线BC的解析是为y=-x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+S=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，BM=|m-3|，当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，②m2-3m=-（m-3），解得m=-当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．2．（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，P(3,),△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【解析】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN•AG+PN•BM=PN•（AG+BM）=PN•OB=×（﹣t2+3t）×6=﹣t2+9t=﹣（t﹣3）2+，∴当t=3时，P(3,),△PAB的面积有最大值；（3）△PDE为等腰直角三角形，则PE=PD，点P（m，-m2+2m+6），函数的对称轴为：x=2，则点E的横坐标为：4-m，则PE=|2m-4|，即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）故点P的坐标为：（4，6）或（5-，3-5）．【点评】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.3．（1）OC=；（2）y=x﹣，抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，坐标为（，﹣）．【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．【解析】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，当x=﹣时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，直线AP的解析式为y=2x+2；（2）E（，+2）或（﹣，﹣+2）；（3）点Q的坐标为（2，3），（，﹣）．【解析】分析：(1)把A(-1,0)、两点代入y=-x²+bx+c即可求出抛物线的解析式,求出点P的坐标,将点A、P两点坐标代入即可求出直线解析式;(2)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q,根据直线BC的解析式为y=-x+3,过点P与BC平行的直线为y=-x+5,得Q的坐标为(2,3),根据PM的解析式为:,直线BC的解析式为y=-x+3,得M的坐标为(1,2),设PM与x轴交于点E,求出过点E与BC平行的直线为y=-x+1,根据,得点Q的坐标为.解析：（1）由得，则抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴P（1，4），设直线AP的解析式为y=kx+b，点A、P两点坐标代入得解得：．则直线AP的解析式为y=2x+2；

（2）如图1，假设AP上有一点E，使得DE⊥EO，作EM⊥OB，DN⊥EM，则△EMO∽△DNE，∴，设E（x，y），D（2，3），则OM=x，EM=y，EN=y﹣3，DN=2﹣x，∴又∵y=2x+2，解得：x=，∴y=+2，∴E（，+2）或（﹣，﹣+2）；（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴过点P与BC平行的直线为y=﹣x+5由得Q的坐标为（2，3），∵PF的解析式为x=1，直线BC的解析式为y=﹣x+3，∴F的坐标为（1，2），设PM与x轴交于点E，∵PF=EF=2，∴过点E与BC平行的直线为y=﹣x+1，由

得或（不合题意，舍去），∴点Q的坐标为（，﹣），∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣）．点评：本题考查了二次函数综合,用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形相似、直线与抛物线的交点,关键是作出辅助线,求出符合条件的所有点的坐标.5．（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=BG•xN﹣BG•xM=1得出xN﹣xM=1，联立直线和抛物线解析式求得x=，根据xN﹣xM=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【解析】（1）由题意知，解得：，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为xM，N点的横坐标为xN，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG=2，∵S△BMN=1，即S△BNG﹣S△BMG=BG•（xN﹣1）-BG•（xM-1）=1，∴xN﹣xM=1，由得：x2+（k﹣2）x﹣k+3=0，解得：x==，则xN=、xM=，由xN﹣xM=1得=1，∴k=±3，∵k＜0，∴k=﹣3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），（a）当△PCD∽△FOP时，，∴，∴t2﹣（1+m）t+2=0①；(b)当△PCD∽△POF时，，∴，∴t=（m+1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m）2﹣8=0，解得：m=2﹣1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t1=t2=，方程②有一个实数根t=，∴m=2﹣1，此时点P的坐标为（0，）和（0，）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）+2=0，解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当m=2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN的面积求得点N与点M的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．6．（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.【解析】分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．解析:（1）已知抛物线经过,,∴，解得，∴所求抛物线的解析式为.（2）∵,，∴，，可得旋转后点的坐标为.当时，由得，可知抛物线过点.∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位长度后过点.∴平移后的抛物线解析式为：.（3）∵点在上，可设点坐标为，将配方得，∴其对称轴为.由题得Ｂ１（0,1）．①当时，如图①，∵，∴，∴，此时，∴点的坐标为.②当时，如图②，同理可得，∴，此时，∴点的坐标为.综上，点的坐标为或.点评：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．7．（1）；（2）当，即时，最大，此时,所以；（3）存在点坐标为或.【解析】分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；

（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．解析：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）．

∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴，解得：，则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；

（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，设AP=m，则有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM•PN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；

（3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论：①当△ABD∽△DAQ时，=，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，解得：x=，此时Q（，﹣）；

②当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，解得：x=2，此时Q（2，﹣3）．

综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．点评：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．8．（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，，.【解析】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表示△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；

（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可．解析：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），∴，解得：，所以二次函数的解析式为：y=；（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），∴DF=﹣（）=，∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH

=×DF×AG+×DF×EH

=×4×DF

=2×（）

=，∴当m=时，△ADE的面积取得最大值为．

（3）y=的对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；

当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；

当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．

综上所述：P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．点评：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．9．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）y1＜y2；（3）m的值为1或3﹣2．【解析】分析：（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式判断出点M、N的大概位置，再根据点M、N的横坐标的范围判断函数值的大小即可；（3）①作PH⊥x轴于H，根据等腰三角形的性质得到PH=OH=OD，把问题分为：当点D在x轴的正半轴上，当点D在x轴的负半轴上，设出P点的坐标求解即可；②当点D在x轴的正半轴上，延长HP交BC于Q，根据待定系数法求出直线BP的解析式和直线BC的解析式；然后根据△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，求出m的值；当点D在x轴的负半轴上，延长HP交BC于Q，同理求出直线BP的解析式，同上求出m的值.解析：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3；（2）y1＜y2；理由如下：∵x1＜1，x2＞1，∴M、N在对称轴的两侧，∵x1+x2＞2，∴x2﹣1＞1﹣x1，∴点N到直线x=1的距离比M点到直线x=1的距离远，∴y1＜y2；（3）①作PH⊥x轴于H，∵△OPD为等腰直角三角形，∴PH=OH=OD，当点D在x轴的正半轴上，如图1，设P（m，﹣m），则D（2m，0），设抛物线的解析式为y=x（x﹣2m），把P（m，﹣m）代入得m（m﹣2m）=﹣m，解得m1=0（舍去），m2=1，即P（1，﹣1）；当点D在x轴的负半轴上，如图2，设P（m，m），则D（2m，0），设抛物线的解析式为y=x（x﹣2m），把P（m，m）代入得m（m﹣2m）=m，解得m1=0（舍去），m2=﹣1，即P（﹣1，﹣1）；综上所述，P点坐标为（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）；②当点D在x轴的正半轴上，如图1，延长HP交BC于Q，设直线BP的解析式为y=px+q，把B（3，0），P（1，﹣1）代入得，解得，∴直线BP的解析式为y=x﹣，易得直线BC的解析式为y=x﹣3；则Q（1，﹣2），E（m，m﹣），F（m，m﹣3），S△PBC=×1×3=，∵△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，∴S△BEF=1，∴（﹣m+）（3﹣m）=1，解得m1=5（舍去），m2=1；当点D在x轴的负半轴上，如图2，延长HP交BC于Q，同理可得直线BP的解析式为y=x﹣，则Q（﹣1，﹣4），E（m，m﹣），F（m，m﹣3），S△PBC=×3×3=，∵△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，∴S△BEF=3，∴（﹣m+）（3﹣m）=3，解得m1=3+2（舍去），m2=3﹣2，综上所述，m的值为1或3﹣2．点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，三角形面积的求法等知识；需要注意的是点在x轴的正负半轴的位置不同时的结果也不同，要讨论求解，不要漏解．10．（1）y=x2﹣x﹣2；（2）见解析；（3）△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．【解析】分析：求出点的坐标，用待定系数法求二次函数解析式即可.分别求出的长度，用勾股定理逆定理判定即可.在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得最大面积．解析：(1)∵直线交x轴、y轴于B.C两点，∴B(4,0),C(0,−2)，∵过B.C两点，∴，解得，∴(2)证明：如图1，连接AC，∵与x负半轴交于A点，∴A(−1,0)，在Rt△AOC中，∵AO=1，OC=2，∴在Rt△BOC中，∵BO=4，OC=2，∴∵AB=AO+BO=1+4=5，∴∴△ABC为直角三角形.(3)△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为，理由如下：①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,如图2,此时△AGF∽△ACB∽△FEB.设∵，∴，∴∴即当时,S最大,为②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点,如图3,此时△CDE∽△CAB∽△GAD，设GD=x，∵，∴，∴∴∵，∴，∴，∴即x=1时,S最大,为综上所述,△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为点评：属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等，综合性比较强，对学生综合能力要求较高.11．(1)；(2)或；(3)最大面积为，．【分析】（1）由已知利用待定系数法进行求解即可得解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点的坐标；（3）先求出直线的解析式，进而求出与的面积之和的函数关系式，即可求出最大值．【解析】（1）解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为1和2，∴，，∴，∴，∴二次函数的表达式；（2）∵二次函数的表达式，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即：点只能在点上方的轴上，∴∴设，，∵，∴，，∵以为顶点的三角形与相似，∴①，∴=1，∴，∴，∴，∴；②，∴，∴，∴，∴；（3）如图，∵轴，∴令，∴，∴（舍）或，∴，∵，∴直线的解析式为，设，∵点是线段上的点，∴，，∴，∴时，与的面积之和最大，最大面积为，此时，．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法，极值的确定，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是表示出．12．（1）y=﹣x﹣8；（2）F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）；（3）存在，Q点坐标为（0，0）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣4）.【分析】（1）利用待定系数法求出B、C两点坐标即可解决问题；（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），构建二次函数，利用二次函数的性质求出点F坐标，因为点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，求出直线AF的解析式即可解决问题；（3）如图2中，分三种情形讨论：①当FQ1=FB时，Q1（0，0）．②当BF=BQ时，易知Q2（0，﹣），Q3（0，）．③当Q4B=Q4F时，设Q（0，m），构建方程即可解决问题；【解析】解：（1）对于抛物线y=x2+3x﹣8，令y=0，得到：x2+3x﹣8=0，解得：x=﹣8或2∴B（﹣8，0），A（2，0），令x=0，得到：y=﹣8∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有解得：∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC=S△FNB+S△FNC=•FN×8=4FN=4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]=﹣2m2﹣16m=﹣2（m+4）2+32∴当m=﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12）∵抛物线的对称轴x=﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y=ax+b，则有：，解得：，∴直线AF的解析式为y=2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10）∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，0），∴BF==．分三种情况讨论：①当FQ1=FB时，Q1（0，0）．②当BF=BQ时，易知Q2（0，﹣），Q3（0，）．③当Q4B=Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2=42+（m+12）2，解得m=﹣4∴Q4（0，﹣4）∴Q点坐标为（0，0）或（0，）或（0，﹣）或（0，﹣4）．点评：本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．13．（1）；（2）；（3），有5个．【分析】（1）设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；（2）设E（t，t2-2t-3），讨论：当0<t<1时，如图1，EF=2（1-t），EH=-（t2-2t-3），利用正方形的性质得2（1-t）=-（t2-2t-3）；当1<t<3时，如图2，利用正方形的性质得2（t-1）=-（t2-2t-3），当t>3时，2（t-1）=t2-2t-3，然后分别解方程得到满足条件的t的值，再计算出对应的正方形的边长；（3）设P（x，x2-2x-3），讨论：当-1<x<0时，由于S△ABC=6，则0<S△APC<6，当0<x<3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，求出直线AC的解析式为y=x-3，则M（x，x-3），利用三角形面积公式得S△APC=•3•（-x2+3x），利用二次函数的性质得0<S△APC<，所以0<S△APC<6，于是得到△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5．【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，把C(0,−3)代入得−3a=−3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3；(2)抛物线的对称轴为直线x=1，设E(t,t2−2t−3)，当0<t<1时,如图1,EF=2(1−t),EH=−(t2−2t−3)，∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH,即2(1−t)=−(t2−2t−3)，整理得t2−4t−1=0,解得t1=2+(舍去),t2=2−(舍去)；当1<t<3时,如图2,EF=2(t−1),EH=−(t2−2t−3)，∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH,即2(t−1)=−(t2−2t−3)，整理得t2−5=0,解得t1=,t2=−(舍去)，此时正方形EFGH的边长为2−2；当t>3时,EF=2(t−1),EH=t2−2t−3,∵矩形EFGH为正方形，∴EF=EH,即2(t−1)=t2−2t−3，整理得t2−4t−1=0,解得t1=2+,t2=2−(舍去)，此时正方形EFGH的边长为2+2，综上所述,正方形EFGH的边长为2−2或2+2；(3)设P(x,x2−2x−3)，当−1<x<0时，∵S△ABC=×4×3=6，∴0<S△APC<6，当0<x<3时,作PM∥y轴交AC于点M，如图3，易得直线AC的解析式为y=x−3,则M(x,x−3)，∴PM=x−3−(x2−2x−3)=−x2+3x，∴S△APC=×3(−x2+3x)=−x2+x=−(x−)2+，当x=时,S△APC的面积的最大值为,即0<S△APC<，综上所述,0<S△APC<6，∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个.【点评】本题考查了二次函数的综合题.熟练掌握正方形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会解一元二次方程；会运用分类讨论的思想解决数学问题.14．（1）抛物线的解析式为：；（2）①；②存在点F，使为直角三角形；F的坐标为（5，12）或（5，2）【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；（2）①依题意知：点E的坐标为E（0，t），易得直线BC的解析式为yBC=-x+3，易得点D的坐标为（，），从而可得=（），利用二次函数的性质即可得面积的最大值；②存在点F，使为直角三角形，分情况进行讨论即可得.试题解析：（1）抛物线与轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与轴交于点C(0，3)，则有，解得：，所以抛物线的解析式为：；（2）①依题意知：点E的坐标为E（0，t），又由点，C（0，3）易知：直线BC的解析式为yBC=-x+3，∵过点E的直线与轴平行交直线BC于点D，∴点D的纵坐标为t，∴当-x+3=t时，，∴点D的坐标为（，），∵，∴，∴，∴S△PDE=（），，∴的面积有最大值，∴当时，满足，∴的面积的最大值为；②存在点F，使为直角三角形；理由如下：当时，则有：P（4，0），；又易知抛物线的对称轴为：直线，∵点F在直线上，∴当为直角三角形时，直角顶点不可能在F处；则应分两种情况：设F的坐标为（5，m）,∵，，∴，，，当直角顶点在E处时，，此时可求出，当直角顶点在P处时，，此时可求出，∴F的坐标为（5，12）或（5，2）.【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法、同底等高的三角形面积相等、直角三角形的判定与性质等，熟练掌握解题方法以及熟知相关的性质是解题的关键.15．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；（3）点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．【解析】试题分析：（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；（2）设M的坐标为（x，y），由△ACM与△ABC的面积相等可得到|y|=3，将y=3或y=-3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标；（3）先利用配方法求得点D的坐标，当∠DNA=90°时，DN⊥OA，可得到点N的坐标，从而得到AN=2，然后再求得AD的长；当∠N′DA=90°时，依据sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的长，从而可得到N′的解析式．试题解析：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，∴B（0，3）．将y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3，A（3，0）．将点A和点B的坐标代入得：，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）设M的坐标为（x，y）．∵△ACM与△ABC的面积相等，∴AC•|y|=AC•OB．∴|y|=OB=3．当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，∴M（2，3）、（0、3）．当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣．∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．①当∠DNA=90°时，如图所示：∵∠DNA=90°时，∴DN⊥OA．又∵D（1，4）∴N（1，0）．∴AN=2．∵DN=4，AN=2，∴AD=2．②当∠N′DA=90°时，则DN′A=∠NDA．∴，即，解得：AN′=10．∵A（3，0），∴N′（﹣7，0）．综上所述点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．1