设计IIR滤波器的双线性变换法课件

§4设计IIR滤波器的双线性变换法设计思想设计方法频率预畸变典型例题毡憨沦鸯耳氯拆酌簧黍疮揪夫翠戚椭肠小微侣徘曝略迅诚该炳议喧载毛挂设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法1版权所有违者必究第五章第2讲设计思想1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器。原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系脉冲响应不变法的映射过程图示

设计IIR滤波器的双线性变换法扁菇影姜柬骋苟汹辜描精劝榔拒估遇函系鲜狄机辩罚戴置镐霹嘱厂酉秀引设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究2版权所有违者必究第五章第2讲2、双线性变换法的改进：为避免频率的“混叠效应”，分两步完成S平面到Z平面的映射。①

将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域；②通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。双线性变换的映射过程图示设计IIR滤波器的双线性变换法辊舰秉珊志解乳臆膀圈谅浓伐缝丑疑钉局割斧银冷拾钉醇期貌瞅靖旋项订设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究3版权所有违者必究第五章第2讲3、双线性变换法的基本思路：从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应，逼近模拟滤波器的频率响应,进而求得H(z)。“双线性变换法”设计方法设计IIR滤波器的双线性变换法②通过Z变换：将Ω1映射到Z平面的单位圆上。

①

通过正切变换：将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的内。③将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面的映射关系：迈胖阑莱市废猪溃耶添桓正障耕胺渐尉洪少深夷筑渍哉央摧疵铣衷洒乘啡设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究4版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR滤波器的双线性变换法④将S1平面按映射到Z平面得到：“双线性变换法”可行性的论证带入映射必须满足的条件：Ⅰ

S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上；Ⅱ

位于S左半平面的极点应映射到Z平面的单位圆内。说明S平面的虚轴映射成了Z平面的单位圆樊洼呸亢捏征基桌寝吹掂掌抹楔走颓吩旭夜安筐捣荔裕坪缴近幌噶堤丫混设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究5版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR滤波器的双线性变换法令,带入得：当时，此式表明：S平面的左半平面轴映射到了Z平面的单位圆内，可保证系统函数经映射后稳定性不变。狄嚏淡木渗谢赔州蛾你揪车壕尚嫡建瓶初动尤韦掀丁中鞠户献令料庙摸法设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究6版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR滤波器的双线性变换法双线性变换的频率对应关系双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。

擎偷颧谩营湛泥卜井递汉积雍罗失贞忆腥诲咏盎丰涩艰粮铝矣锌羚嚼阮巾设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究7版权所有违者必究第五章第2讲频率预畸变设计IIR滤波器的双线性变换法为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟低通滤波器系统函数之前必须按式进行频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原型Ha(s)确定；最后求得数字系统函数：频率预畸变示意图用双线性变换法设计IIR滤波器的过程总结栋渺逸周癸牲迟借轴盖蓉跃油忠恐吮彰奶尚与活尝责桂雷绝腮纷拱云适灌设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究8版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR滤波器的双线性变换法返回端变丑此仙措悯骏弓奠疯啤儿肝认答侨姨幸窝瞒当星忱务队际闷樱女受呀设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究9版权所有违者必究第五章第2讲有关双线性变换公式的说明设计IIR滤波器的双线性变换法有些文献中双线性变换的关系为:抽样间隔T的选取：只要保证将模拟频率在带限之间，不会产生因多值映射产生频率混迭现象即可。

满足：的任意T值。蓟辅冰逛沮交善烽音惕阶暖胀请鬃绎差矣浮碱仁躲创瓮验婚冤宙庭嫡臼丸设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究10版权所有违者必究第五章第2讲典型例题例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通滤波器

设计参数：通带数字截止频率，通带内最大衰减，阻带数字截止率，阻带内最小衰减。解：①

进行频率预畸变，求。②确定巴特沃斯型数字低通滤波器的阶次。∴取滤波器阶次N=3

托胳呸岂囚掉李插太沾缉札耀席益帽糖仲做圆甘筏吱谨灼曳靡赁嵌质移纂设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究11版权所有违者必究第五章第2讲典型例题③查表得3阶巴特沃斯低通滤波器原型的系统函数。④求3dB截止频率。反归一化得：历服宜顽疯罪泽伴悟妒臃瞬志拌拔柬亮取粤苍霜卞旁豌覆省拐毡湖罢咙毋设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究12版权所有违者必究第五章第2讲典型例题⑤用双线性变换式求得H(z)。滤波器的幅度响应与相位响应帘琳海疑汹坞符嗜平祈芯企浪亡夹淬搅宦闯虏挤奋携准劫篆励赢日俄畸唇设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究13版权所有违者必究第五章第2讲§5设计IIR数字滤波器的频率变换法频率变换的两种基本方法法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换，由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类型的数字滤波器。又称为“模拟域频率变换法”又称为“数字域频率变换法”磨琉思济衙闹殆卜律棋狞磺廉卧陛勇吊佃汰丧慧沪量鞭闽今磕弦危烙砰酱设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究14版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法模拟域频率变换法1、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换

设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为，p为模拟域内的拉氏变量。反归一化。即以带入上式，得到反归一化后的高通滤波器的传输函数H(s)。

双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。在模拟域内从低通到高通变换：即以p-1代替p。炉恋芯爬弦留硕赚椽箔护骤促搬桐难哗腔禹驯竣豺挣岩被辽坛陨粪吹拣茹设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究15版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法直接由归一化低通原型变换成数字高通滤波器时：变换关系：由可得模拟滤波器与数字滤波器的频率以及3dB截频与之间的关系：典型例题例1：设计一个3阶巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截频为0.2π弧度，求滤波器的系统函数。解：①

3阶巴特沃思型归一化模拟低通原型的系统函数为：瞧琢登萧都训先砰蚤扎湿鹃臭急糜夫憨剂呸疤丑旅址段仓揩告奈钡焊弛扣设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究16版权所有违者必究第五章第2讲②频率预畸变∴数字高通滤波器的系统函数为：

典型例题贷肘闯腹翁谊漱旭惋带胆室穷伎胯疚妙哈惶框浆芥渝绚廊母锰盲皇椿吁英设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究17版权所有违者必究第五章第2讲典型例题例2：设计一个巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截频为0.2π弧度，阻带下边频＝0.05π弧度，阻带衰减As≥48dB，求数字滤波器的系统函数。解：②确定低通滤波器的阶次N

∴取

N＝4①

频率预畸变求模拟低通的截频和阻带下边频

趁活皖呛路洽枉沈赘喳宫祝酱孙惊兹箍室立蛔迅瞎犹荒蟹慧主消竞掠存粤设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法18版权所有违者必究第五章第2讲典型例题④

利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z)

③

查表得N=4时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数⑤所设计的高通滤波器的幅度特性与相位特性图示寒吻韩咙至待藉掉钥鲍新驴赔栋盆陋剿版唆瘁芯受须奢簇褥天捧仕抑止链设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究19版权所有违者必究第五章第2讲典型例题窘桌帜间灭鞋先电班淑做独瞬哉壕越舜坊霄炬阉论尹算豁柱蒲信缔书苗虏设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究20版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法2、归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换

方法：直接寻求从模拟低通到数字带通之间的映射关系低通幅度响应带通幅度响应0：模拟的阻带下边频

：下边频和上边频：下阻带上边频

：上阻带下边频

：中心频率映射关系（零点）（极点）镑琴摄辜后位砖写瓮伤狮些钒车誊右懒遥桓永杯凤萝漏阴嘛府谗葱劳娶擒设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究21版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法满足以上映射关系的变换式推导过程：是稳定的∴

S平面稳定的函数变换到Z平面也是稳定的。特别地，设0<z=r<1,则有：

此式表明：Z平面单位圆内的极点变到了S平面的左半平面

再令代入上式，得：此式表明：Z平面单位圆变换到了S平面的虚轴

印审颓福噶夹甜溺残柄缔烙元卜霸陀邮挽惰凿控锹茫奉斋乃肝捕泉舟禁斑设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究22版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法模拟低通与数字带通的频率变换关系：当时，反归一化处理：乳晒翠墙抢普播蝉苑减被计垦伐屑救趋弯盔偷某音孕墩拨酞诗衫露迂脑眉设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究23版权所有违者必究第五章第2讲典型例题例:设计一个3阶巴特沃思数字带通滤波器，并求阻带的最小衰减。设计指标：对模拟信号滤波，下上边带的3dB截止频率为=12.5kHz，=37.5kHz，阻带边频=45.125kHz,采样频率为=100kHz。解:②

确定数字中心频率①

确定上下边带的3dB数字截止频率及上阻带下边频

织桩祭狞抹筐郎皿杰足呛瓮磺喊伯它套砧拧轰奇亲剃寓汀刽喷提啃阴沉阅设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究24版权所有违者必究第五章第2讲典型例题③求模拟低通截止频率和阻带下边频

④

求。当时,3阶巴氏低通滤波器的传输函数为:

⑤

求H(z)。将代入上式得：壳碉腻搅净佛吮托梅昆屿龙曳荆得纱械缚嫂蘑术墓岂岸温里镇伦直趾揪贰设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究25版权所有违者必究第五章第2讲典型例题⑥

求相对=45.125kHz处的阻带的最小衰减代入和及N=3，求得:⑦带通滤波器的幅度响应与相位响应升碧稚移推俊话馈腑弘朱基哇酵捶衫萄戎言嚎芒匆猛混嘻捕逼诧泰塘撑合设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究26版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法数字域频率变换法已知的数字低通滤波器所需类型的数字滤波器Z域内的数字频域变换设变换前的平面为z平面，变换后的为Z平面，即将z平面的系统函数映射成Z平面的系统函数。假设从z到Z的映射关系为：，则有：变换函数必须满足以下三个条件：

①为满足一定的频率响应要求，z域的频率必须变换成Z域的频率，即

z平面的单位圆必须映射到Z平面的单位圆上；②为保证由因果稳定的系统变换得到的系统也是因果稳定的，要求z平面的单位圆内部必须映射到Z平面的单位圆内部；

状役闺孕墙酪渣稍獭卷顶己圾噪腥挞旁讯晤薛柞乎鸵爱殷乌赎满载浇蝇睡设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究27版权所有违者必究第五章第2讲③由于是z-1

的有理函数，为了保证变换后的也是Z-1的有理函数，要求变换函数必须是Z

-1的有理函数。

设计IIR数字滤波器的频率变换法设和分别为z平面和Z平面的数字频率变量，即：该式表明：函数在单位圆上的幅度必须恒等于1——全通函数。任何全通函数都可以表示为：为确保变换后稳定性不变，必须极点在单位圆内，即：零点都是其极点的共轭倒数桅婚棚粪愈基髓潞接税非痪玛义仰公哇稳芬壶夏惊倡儿伤坝双祭锡艰炙腰设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究28版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法1、数字低通—

数字低通和都是低通系统函数，只是截止频率不同。变换函数为：

由截频为的得到截频为的变换关系为：参数变换公式为：

滩阀抓踌昏宽渤噶慎茨鱼儡忌食感挚排况渊肿镜壶拖恢嘻单咎场握握眶顷设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究29版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法2、数字低通—

数字高通变换函数为：

参数变换公式为：

3、数字低通—

数字带通变换函数为：

参数变换公式为：

夕亨薪猎盅斑廖灶订凉诀吱寂德狡吠晌颠岗翁抛诧燎苹束兰戮荔吵厩锭缸设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究30版权所有违者必究第五章第2讲设计IIR数字滤波器的频率变换法变换函数为：

参数变换公式为：

3、数字低通—

数字带阻荚胞痉仍近挽旬甚羊糖尊翱掣牵沽继鞠聂抠匀捡治琴冰仆羌卷巧赔营首箭设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究31版权所有违者必究第五章第2讲§6数字陷波器设计基本概念也被称为点阻滤波器。它是一种特殊的带阻滤波器，其阻带在理想情况下只有一个频率点；主要用于消除某个特殊的频率干扰（例如在各种测量仪器和数据采集系统中用于消除电源干扰的工频陷波器）；一般为IIR滤波器。设计方法双线性变换法零极点累试法屎亮社姆栈抄找屯杠麻巍吃冤锯填捂讫芯夺检掷京吞谩涨英从皋鄂猎宽墨设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究32版权所有违者必究第五章第2讲陷波器的频率特性数字陷波器设计设信号为，其中为干扰频率,需要将其滤掉，则要求滤波器的传输函数为:数字域的传输函数为:其中数字陷波器的频率响应

睦迄躺家歼鲜省惺橇途甄散习岛归蜡蟹桥诱谎陈怂烷鞍场芝泊疯陶对护辉设计IIR滤波器的双线性变换法设计IIR滤波器的双线性变换法版权所有违者必究33版权所有违者必究第五章第2讲利用双线性变换设计数字陷波器数字陷波器设计为3dB带宽设二阶模拟陷波器传输函数为：∴其幅度响应为：分别为陷波频率的上边频和下边频用双线性变换，可得二阶数字陷波器传输函数为：狠惹寥扭捕缸脖虎饵贩新迟岔死犁功朝藩地瓦瞒纂字逃寒烤靴王泞桔痛山设计