2021-2022学年陕西省米脂县高二年级下册学期第一次月考数学（理）试题含答案

2021-2022学年陕西省米脂县高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

【答案】A

【分析】利用逐一验证的方法进行求解.

【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到

低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意：若丙预测正确，则甲必预测

错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故

选A.

【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力.题目有一定难度，注重了基础知识、

逻辑推理能力的考查.

2.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起

则按照以上规律：84=后,

得“=82-1=63.

故选：C.

3.在技术工程中，常用到双曲正弦函数shx=红土和双曲余弦函数ch%=hq,其实双曲正弦

22

函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦和余弦函数相似，比如关于正、余弦函数有

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足ch(x+y)=chxchy-shAshy.请

你类比关系式，下列得出关于双曲正弦、双曲余弦函数的关系中不正确的是()

A.sh（x+>>）=shxchy+chrshyB.sh2x=2shLXchir

C.ch2x=2sh2x-lD・ch2x-sh2x=l

【答案】C

【分析】根据定义逐项验证即可.

【详解】因为shx=%屋，chr=《"二，

22

e**F-er-e-vYev+e-per+e-xUev-e

所以sh（x+y）=-------------,shxchy+chxshy=

所以shxchy+chxshy=-e"-e->+*--**+-*>'

44

所以shxchy+chrshy=------------,故$11（》+刃=511«加+（±%811），，A正确;

Jlx-2x

e-e2shrdu•:卜/\B正确;

sh2x=-------------

2

ch2x=2sh2x+1,C错误;

故选：C.

4.用数学归纳法证明等式F+2%+（〃_1），〃2+（〃-1）2+L+22+/=心刊，当〃=4+1时,

等式左端应在〃=%的基础上加上（）

A.（A:+1）2+2A:2B.（Jt+1）2+A:2C.（Jl+1）2D.-（Jt+1）[2（A:+1）2+1]

【答案】B

【解析】写出〃=%和"=%+1时的两式，然后比较可得.

【详解】〃人时等式为E+22L+(心炉+公+任f，L+22+『」昨1),

〃=%+1时等式为『+22L+^2+(A:+l)2+^2+L+2之+j=伏+D[2(；+1)-+1],

当〃=Z+1时，等式左端应在n=k的基础上加上(k+1)2+k2,

故选：B.

【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键、难点就在于用的假设结论证明"=%+1的

的结论，因此观察出〃=%+1与〃=&之间式子的关系至关重要.

5.利用反证法证明“若公+3=0,则x=y=O”时，应假设为()

A.x#0且y=()B.xxy且x,y都不为0

C.8/丫且x,y不都为0D.xwO或"0

【答案】D

【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设xh0或y#0.

【详解】利用反证法证明，应先假设结论不成立，本题应假设XHO或》片0

故选：D

6.利用分析法证明是从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的()

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.必要条件或充要条件

【答案】B

【分析】利用分析法证明的原理即可得到正确选项.

【详解】利用分析法证明是从求证的结论出发，

一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，

直到最后一个充分条件成立即可证明原式正确.

故选：B

7.函数/*)=丁-3/+1的单调减区间为

A.(2,+oo)B.(-<»,2)C.(-oo,0)D.(0,2)

【答案】D

【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.

【详解】/(x)=x3-3x2+1/'(X)=3x2-6x=3x(x-2)<0=>0<x<2,所以函数的单调减区间为

(0,2),故本题选D.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.

8.已知函数y="(x)的图象如图所示(其中/*)是函数/(x)的导函数)，则下面四个图象中,

y=/(x)的图象大致是()

4

'x

y-**/

\-1ZT\

\xC/°।X

A.'B.'

.M

/O\X

D.

【答案】C

【分析】先利用函数>'=xf(x)的图象求得函数f(x)的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数丫:4'。)的图象，可得

当x<T时，W)<0.则/'a)>0,则，(x)单调递增；

当一1cxe0时,xf(x)>0,则r(x)<0,则，(x)单调递减；

当0<x<l时，xf(x)<0,则八x)<0,则Ox)单调递减;

当x>l时，xf\x)>0,则f'(x)>0,则/*)单调递增；

则/0)单调递增区间为(ro,-l),(l,y)；单调递减区间为(-1,1)

故仅选项C符合要求.

故选：C

9.函数y=lnx-x在xe(0,e］上的最大值为()

A.eB.1C.-eD.-1

【答案】D

【分析】先求导函数令导函数y'=0,得x=l.讨论在x«0,1)与x«l,e]内的单调性，

进而求得最大值.

【详解】对函数求导，得了=」-1

X

=--1=0,得x=l

x

当x«(M)时，函数单调递增，当工£(1,可时、y<o,函数单调递减

所以在x=l处取得极大值，也是最大值，为y=lnl-l=-l

故选：D

10.设直线X=，与函数/(x)=x2,g(x)=lnx的图像分别交于点M,N,则当IMNI达到最小时/的值为

A.1B.JC.在D.正

222

【答案】D

【详解】由题|MN|=/一Inx,(x>0)不妨令/?(x)=-inx,则h\x)=2x-J令h'(x)=0解得》=4，

因xe(0,日)时，h\x)<0,当xe(曰,+oo)时，h\x)>0,所以当“乎时，|MN|达到最小.即

2

11.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+l有极大值和极小值，则a的取值范围为()

A.[-3,6]

B.(-3,6)

C.(—co,—3JU[6,+oo)

D.(—00,—3)U(6,+oo)

【答案】D

【分析】先求出导数f(X),由f(x)有极大值、极小值可知f(x)=0有两个不等实根.

【详解】函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,所以，(x)=3x?+2ax+(a+6),

因为函数有极大值和极小值，所以方程f(x)=0有两个不相等的实数根，

即3x?+2ax+(a+6)=0有两个不相等的实数根，

/.△>0,二(2a)2-4x3x(a+6)>0,解得：2<-3或@>6.

故选D.

【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转

化为方程P(x)=0有两个不相等的实数根是解题的关键.

12.设函数尸(x)是奇函数f(x)CxeR)的导函数，/(-1)=0,当x>0时，犷(x)-/(x)<0,则

使得/(x)>0成立的x的取值范围是

A.(^o,-D(0,1)B.(-1,0)?(1,?)

C.(YO,-1)K-1.0)D.(0,1)0(1,-KO)

【答案】A

【详解】构造新函数g(力=/9,g0)=矿,(X),当x>0时夕(x)<0.

所以在(0,+8)上g(x)=§单减,又/⑴=0,即g⑴=0.

所以g(x)=#>0可得0<x<l,此时/(x)>0,

又为奇函数，所以“耳>0在(7,0)5。，田)上的解集为：(—,一1)5°，1)-

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如/(X),想到构造

g(x)=19.一般：⑴条件含有/(x)+r(x),就构造g(x)=e"(x),(2)若〃x)—/'(X),就构

造g(x)=〃a，(3)2/(x)+r(x),就构造g(x)=e2,〃x),(4)2/(力一广(x)就构造g(x)=少,

ee

等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13.设函数“X)可导且“X)在七处的导数值为1,则lim〃x°+2-)-〃Xo)=__________

^->03Ax

【答案】I

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.

【详解】依题意，r(玉))=1,

所以啊以告

3Ar

故答案为：I2

14.己知曲线y=5&,则与直线y=-2x-4垂直的曲线的切线方程为

【答案】x-2y+25=0

【分析】求导数，利用切线与直线垂直，求出切点坐标，即可求解

【详解】设切点为(〃?,“)，

因为y=5«,所以＞'=m，

因为曲线的切线与直线y=-2x-4垂直，

所以oJ^＞（-2）=T，

解得〃z=25,

又点（孙〃）在曲线y=54上，贝ij〃=5册=25,

所以切点坐标为（25,25）,

所以曲线y=5«的与直线y=-2x-4垂直的切线方程为：

y-25=i（x-25）,

即x-2y+25=0

故答案为：x-2y+25=0.

15.曲线y在点3〃）（°#0）处的切线与x轴、直线x所围成的三角形的面积为,，则

【答案】±1

【分析】求出函数的导数，求出切线方程，利用三角形的面积列出方程，求解即可.

【详解】解：.•＞=「,

/.y=3x2,

川1=3〃2，

・•・曲线在点（ad）处的切线方程为y=3〃2。_幻，

BP3a2x-y-2ay=0,令y=0,得工=彳，

••・切线与X轴，直线x=a所围成的三角形的面积为S=|xa-]ax|/|=:，解得a=±L

236

故答案为：±1.

4

16.已知点P在曲线丁二士上，。为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是一

e+1

【答案】—I

【分析1利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围.

力•—4/一4

【详解】由已知函数y=±的导数为y一一港寿一一、1°

e+1'7e+—+2

ex+—>2jex--=2,:.eA+-^-+2>4,A/el-1,0）

exVexe

即tanae[-l,0）,0<a<7r,:.—<a<7r,即答案为：手"]

4L4）

【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义.属于基础题

三、解答题

17.求下列函数的导数.

小G-i、&+i

(i)y=-7=—+-/=—

A/X+1\lx-l

【答案】⑴"品

⑵y'=e-2"i(X-1)5(8-2X)

【分析】（1）利用导数运算规则即可求得该式的导数;

（2）利用复合函数的导数及导数运算规则即可求得该式的导数.

Vx-iG+i(&T+(&+"2x+2

【详解】（1）

'\[x+lyfx-\+x-\

(2X+2Y_(2x4-2)(X-1)-(2X4-2)(X-1/

ITTJ=(I)?

2(x-1)-(2x+2)—4

=

(2)y=[e-2j+1(x-l)6J=(e-2xt,y(x-1)6+e-2t+1[(x-l)6J

=-2e^+l(x-l)6+e-2x+l-6(x-l)5=e-2x+l(x-l)5(8-2x)

18.(1)求曲线'=5三，在点(1/)处的切线方程；

(2)求过点(2,3)的抛物线y=f的切线方程.

【答案】(1)x+y-2=0；(2)2x-y-l=0或6x-y-9=0.

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线丫=97在点（？）处的切线方程;

Z.X—1

（2）先设出切点坐标为（毛,片），再利用导数几何意义即可求得过点（2,3）的抛物线y=d的切线方

程.

,1

【详解】（1）=~7Z_7T,可知所求切线的斜率％=-1

（21）

故所求切线的方程为y-l=-（x-l）,即x+y-2=0.

（2）设切点坐标为（飞,片），y'=2x,可知所求切线的斜率&=2%

V切线过点（2,3）和点（玉片），二干|=2x。,

解得为=1或%＞=3,.•.切线的斜率为2或6

故所求切线的方程为y—3=2"-2）或y—3=6（x—2）,

即2x-y-I=0或6x-y-9=0.

19.（1）求证：石-点＞石-2；

（2）若方程*2+（4-1h+/=0和f+2奴-24=0中至少有一个方程有实数根，求实数”的取值范

围.

【答案】（1）证明见解析；（2）（Y）,-2][-1,+w）.

【分析】（1）利用分析法即可证明G-血＞百-2；

（2）先求得两个方程均有实根时实数。的取值范围，进而利用补集思想求得至少有一个方程有实数

根时实数。的取值范围.

【详解】（1）要证道-夜＞石-2,只需证6+2＞石+0,

只需证（石+2『＞（石+&『，即证26＞如，只需证也＞后,

只需证12＞10,这显然成立故原不等式得证.

（2）当方程*2+（。-1）》+〃=0和9+2奴—2。=0都没有实数根时,

（a-l）2-4a2<0

有解得一2＜。＜一1,

（2a）2-4（-2a）<0

故当方程/+（4-1"+储=0和d+2依-2“=0中至少有一个方程有实数根时,

实数”的取值范围为（—,-2][-1,+w）.

20.用数学归纳法证明：三+三++”工八=霏

1x33x5(2〃-1)(2〃+1)2(2〃+1)

【答案】见解析

【分析】利用数学归纳法，先证明当〃=1时，等式成立，假设当"=女时成立，证明当“=%+1时等

式成立即可.

【详解】解：(1)当"=1时，左边===!，右边=94=等式成立，

1x332x33

I272k2k(k+\]

(2)假设当%时，等式成立，即=+二+…+,力,八加一=，

1x33x5(2攵一1)(2攵+1)2"(32k+l)\

当〃=女+1时，

2

_L+2L+।公।(%+1)

1x33x5"■(2&-。(24+1)(2k+l)(2Z+3)

jgi)।go

2(2k+l)(2k+l)(2k+3)

_k+\(kk+\\

~2k+\(2+2k+3)

k+\(：+2)(21+l)

~2k+\2(2jt+3)

二任+1)[(4+1)+1]

2[2(Z+1)+1]'

即当〃=4+1时等式也成立.，

由(1)(2)可知：等式对任何都成立，

皿I222n2"。7+1)

故----1-----------1-H---------------------------=----------------.

1x33x5(2〃-1)(2〃+1)2(2〃+1)

21.已知函数/(%)=2/+OV?+H+3在尸一1和x=2处取得极值.

(1)求/G)的表达式和极值.

(2)若/(x)在区间[加，用+4]上是单调函数，试求用的取值范围.

【答案】(1)/(x)=2^-3/・12"3,当4-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17(2)〃区-5或

m>2

【分析】(1)由题意得T和2为导函数两个零点，根据韦达定理可求｛：'=；：,列表分析导函数符

b=-12

号变化规律，确定极值；

(2)由(1)可得函数单调区间，根据[m,m+4]为单调区间一个子集可得不等式/M+4<-1或

或加22,解不等式即可.

—=-1+2

・/、i3a=-3o

【详解】解：(1)/'(6=6/+如+%=0的两根为一1和2,,得｛八,.

',%,-o=-12

-=-1x2

6

/(x)=2x3-3x2-12x+3,/r(x)=6x2-6x-12=6(x+l)(x-2),

令/")>0,得x<-l或x>2；令r(x)<0,得—l<x<2,

所以f(x)的极大值是/(-1)=10,极小值是/(2)=-17.

(2)由(1)知，〃x)在和［2,e)上单调递增，在［-1,2］上单调递减，

,"+44-1或｛〃：："<；或/.机4一5或，"22,则”?的取值范围是(-℃,一5卜J［2,+OO).

【点睛】方法点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略：

(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)已知函数求极值.求/(X)一求方程f\x)=0的根t列表检验在f\x)=0的根的附近两侧的

符号一下结论.

⑶已知极值求参数.若函数/(x)在点(%,%)处取得极值，则/(%)=0,且在该点左、右两侧的导数

值符号相反.

22.己知函数/(x)=(a+l)lnx+ax2+1.