2021-2022学年广西桂平市高一年级下册学期期中考试数学试题含答案

2021-2022学年广西桂平市高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.已知向量a=(5,-2),6=(加,6),且a〃方,则〃?=()

12

A.-15B.15C.—D.

5

【答案】A

【分析】利用两向量平行的坐标表示，列出方程求解即可.

【详解】向量“=(5,-2)茨=(肛6),且£〃♦

;.5x6—(―2)x/n=0解得：wt=-15

故选：A.

2.若复数z=-i33+2r+2i_l，则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据复数单位的周期性，结合复数在复平面内对应点的特征进行判断即可.

【详解】因为z=-i-2i+2i-l=—l-i,

所以z在复平面内对应的点为(-L-1),它位于第三象限.

故选：C

3.记3ABe的内角AB,C的对边分别为aec,若a=2,bf,B=45,则sinA=()

A.—B.画C.在D.且

5555

【答案】B

【分析】根据正弦定理可求出结果.

【详解】由正弦定理二=二，得sinA=4in8=2x^=典.

sinAsinBb,525

故选：B

4.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm,

24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为()

C.148cm3D.298cm'

【答案】C

【分析】利用台体的体积公式直接计算即可.

【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm,6cm,

故该香料收纳罐的容积为$3x(8?+6?+8x6)=148cm'.

故选：C.

5.在平行四边形438中，AB=(2,-4),AO=(3/)，若CO的中点为E,贝lJAE=()

A.(5,-3)B.(3,-5)C.(1,-4)D.(4,-1)

【答案】D

【分析】根据平面向量的加法和数乘运算可求出结果.

【详解】AE=AD+DE=AD+-AB=(3,1)+(1,-2)=(4,-1).

2

故选：D

6.已知某圆柱的内切球半径为:，则该圆柱的侧面积为()

A.—B.49KC.也巴D.1477r

22

【答案】B

7

【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为圆柱的高为7,从而可求出其侧面积.

7

【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为圆柱的高为7,

7

所以该圆柱的侧面积为2"段7=49兀.

故选：B.

71

7.记J1BC的内角A8C的对边分别为a,6,c,a=2,c=3,8=§,则AC边上的高为()

A历RV2103⑨n3A/21

147147

【答案】D

【分析】根据余弦定理求出力，再根据面积公式列式可求出结果.

【详解】由62=/+c2-2a8OsB=4+9-2x2x3x：=7,得b=R.

设AC边上的高为〃,

因为S“玩.=工acsin8=Lb/?,所以,acsinB2、3x-或3\/21,

HOLOO/2------=----广J-=--------

b币1

即AC边上的高为士旦.

7

故选：D

ULIIUuuuIUUI|IIOjr

8.在..ABC中，AD=2DC'E为叨的中点，若M="“|=3,A，则AE.CE=（）

53

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】A

【分析】由平面向量的运算法则分解，转化后由数量积的运算律求解

【详解】因为AE=1A8+:AD=1AB+!AC,

2223

CE=-CB+-CD=-（AB-AC]--AC=-AB--ACf

222、,623

所以AECE」信-！AC-2AC：LX16+，X4X3X!-2X9=3.

4694629

故选：A

二、多选题

9.已知复数z满足z+Z=-4,zO=5,贝Ijz可能为（）

A.-2-iB.2+iC.-2+iD.-2-2i

【答案】AC

a+bi+a-bi=-4

【分析】设2=。+济（a,beR）,由

a2+hi=5可求出结果.

【详解】设z=a+Ai（。力eR）,

[a+hi+a-bi=-4

则"二5

所以z=—2—i或z=-2+i.

故选：AC

10.已知平面内三点A（o,l）,B（-2,5）,c（l,4）,则（）

A.8c=（-3,1）B.ACIBC

C.\AC+BC\=245D.AB与BC的夹角为与

【答案】BCD

【分析】由题意可求得向量的坐标，由此判断A;计算AC8C，判断人根据向量坐标，求出卜。+8。,

判断C;利用向量的夹角公式求得A3与BC的夹角，判断D.

UlUUUU1

【详解】由题意得向量A8=（—2,4）,AC=（1,3）,8C=（3,-1）,故A错误；

因为AC-8C=lx3+3x（-l）=0,所以ACLBC，B正确.

因为AC+8C=（4,2）,所以WC+8C|=2石，C正确.

/^\ABBC-10V2

因为8sMADBD力阿园=瓯厮=一了，

因为（A8,BC）e[0,R,所以AB与8c的夹角为,，D正确.，

故选：BCD

11.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下面说法正确的是（）

A.若A=60。，a=20,8=30,则A48C无解

B.若A=150。，4=3,b=4,贝IJAABC有一解

C.若A=45。，a=近,b=6,则AABC有两解

D.若A=60°,a=12,b=8,则AABC有两解

【答案】AC

【分析】利用正弦定理逐一判断即可得出答案.

【详解】解：因为sin8=^sinA=>1,所以△ABC无解，A正确；

a4

I1

A=150。，因为sin8=—sin4=->小所以皮>30。，AABC无解，B错误；

a32

且

因为sinB=—sinA=2所以A=60。或120。，4ABC有两解，C正确；

a

石

一

因为sinB=—sinA=3a>b,所以B为锐角，4ABC有一解，D错误.

故选：AC.

12.若正四面体外接球的表面积为等，则（）

A.该正四面体的体积逑

4

B.该正四面体的表面积为90

C.该正四面体内切球的半径为四

4

D.该正四面体的外接球上一动点仞到内切球上一动点N距离的最小值为亚

2

【答案】ACD

【分析】对于选项A：利用公式S=4]求出半径，将正四面体放到正方体中考虑，即可快速求

出答案；

对于选项B：利用体积差法，总体积减去四个规则小三棱锥的体积即可得解；

对于选项C：根据内切球和外接球球心重合，求出正四面体的高减去外接球的半径，即为内切球的

半径；

对于选项D：外接球半径减去内切球的半径即可得解.

设正四面体的外接球半径为R,贝¥丁齐=罢

得人呼.

把正四面体A-CFG补形为正方体ABCD-EFHG,

则R=@AB=辿，

24

得48=逑，A尸=3.

2

丫"=5"-4匕_.=（半＞4'3*¥）=¥，A正确.

该正四面体的表面积为4s力2=4xgx3x3x4=9石，B错误.

设正四面体的高为力，则%==得〃=6,因为正四面体的外接球球心

八vrv3t^nrvj]24

与内切球球心重合，所以内切球半径厂="-粤=半，c正确.

该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距离的最小值为亚-逅=迈，D正确.

442

故选：ACD.

三、填空题

13.如图，在长方体ABCD-E尸G”中，M,N分别是EH和FG的中点，则在三条直线A。，CD,

BF中，与直线MN是异面直线的共有条.

【答案】2

【分析】由MN//CD,判断出MN与C£>;由异面直线的判定定理判断出直线A£）,BF均与MN异面.

【详解】因为脑\〃CO,MN与C。共面；

由异面直线的判定定理可得：直线AD,B尸均与MN异面.

故答案为：2

14.甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲

渔船往北偏东30。方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了8处，乙渔

船接到消息后，立刻从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要

小时.（参考数据：取&5=3.6）

【答案】2.4

【分析】根据余弦定理进行求解即可.

【详解】由题可知A8=40,AC=30,^BAC=60°

由余弦定理，得BC?=48?+AC、2A9AC-0$60。=1300,得BC=10房,

乙渔船到达甲渔船所在位置需要的时间为应叵=冬叵=2.4小时.

153

故答案为：2.4

15.已知正方形A8C3的边长为2,正方形A8C3的内切圆上有一动点E,平面内有一动点P,则

（PA-PE）（PB+EP）的最小值为.

【答案】-1

【分析】将（PA-PE）.（P8+EP）化为E4.EB，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算可求出结

果.

【详解】因为（PA-PE）（PB+EP）=EAEB,

以正方形ABC。的中心为原点，与正方形的边垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标

系，则A（T,1）,8（1,1）,

因为圆。为单位圆，所以设E（cosa,sina）,其中二£[0,2兀）,

则EA=(一1一cosa』一sina),EB=(1-cosa,1-sina),

所以E4-EB=(-l-cosa,l-sina)-(l-cosa,l-sina)

=-(1+cosa)(l-cosa)4-(1-sina)2

=-(l-cos2a)+l-2sina+sin2a

=l-2sincr,

因为一1WsinaMl,所以当sin。=I时，l-2sina取得最小值T.

所以(PA-PE)•(PB+EP)的最小值为T.

故答案为：T.

四、双空题

16.已知复数Z满足出=l+i,则2=,|z|=.

Z

【答案】1+^i叵

222

【分析】根据等式求出复数z,得到的复数z化简后得到结果，再直接利用模长公式求解即可.

2+3i2+3i(23i)(l-i)5,1

【详解】=1+i/.z=+=:

z1+i(l+i)(>i)22

故答案为:,亭.

五、解答题

17.已知复数z=m2(\+i)+(3i-4)m+2i-5(/neR).

(1)若z为纯虚数，求"?的值；

⑵若复数三的实部与虚部之和为14,求加的值.

1

【答案】⑴5

(2)1

【分析】(1)先将复数z进整理，得出其实部和虚部，由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案.

⑵先化简复数三，得出实部与虚部，从而求出答案.

1

【详解】(1)z=毋。+i)+(3i-4)m+2i—5=("z2-4/n—5)+？+3加+2)i

—4A77-5=0

，cr八，解得机=5(m=-1舍去)

阳~+3瓶+2Ho

(2)：=-zi=-[(，”2-4，"-5)+("P+3，”+2)i}i=(，“2+3m+2)-(nr-4，w-5)i

2

所以(机2+3TO+2)-(W-4W-5)=14,解得相=1

18.一个四棱锥木块如图所示，点。在AP8C内，过点。将木块锯开，使截面平行于直线PC和AB,

请作出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由.

【答案】答案见解析

【分析】过点。作EF〃/5C,分别交PB,BC于点E,F,过点E作E4〃AB,交附于点H,过点F

作尸G〃AB,交A。于点G,连接G4,然后由线面平行的判定可证得AB〃平面EFG",PC〃平面

EFGH.

【详解】解：如图，过点。作EF〃PC,分别交PB,BC于点E,F,

过点E作EH〃A8,交出于点H,过点F作FG〃AB,交AZ)于点G,

连接G”....截面为四边形E/7GF.

理由如下：

EH//AB,FG//AB,/.EH//FG,

:.E,F,G,"四点共面.

,：AB//EH,EHu平面EFGH,即0平面瓦6”，

."8〃平面EFGH.

'：PC//EF,EFu平面EFG”，PCU平面EFGH,

〃平面EFGH.

19.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=>bcosA.

(1)求B的大小；

(2)若b=3&,a+c=9,求的面积.

【答案】⑴B=]

⑵里

4

【分析】（1）根据余弦定理角化边得到〃2+。2—〃=四，再根据余弦定理可求出结果;

（2）由/?=36,。+。=9^kR.a2+c2-b2=枇、求出。。=9,再根据三角形的面积公式可求出结果.

【详解】（1）由c=W+儿。SA及余弦定理得c=@+b.户+。2-。2,化简得/+02—6=四,

222bc

所以cosB=---------=—,

2ac2

ir

又0<8<兀，所以8=§

(2)由(1)知，a2+c2-h2=ac,

所以（a+c）2-3ac=54,所以81-3。。=54,所以ac=9,

所以ABC的面积.为」acsin8=！乂9乂^^=%叵.

2224

20.已知。，。为两个夹角为锐角的向量，“=（-1,2）,忖=20,月.a在。上的投影向量的模为乎.

⑴若（2"-与乂履-与，求％的值;

（2）若04=a—2〃力，OB=—a+mb，0c=（m—1）。+（〃？-1）匕，AfB,C三点共线,且点5在线段AC

上，求加的值.

【答案】（1）%=;

⑵-亚

3

【分析】（1）根据投影向量的模的公式，结合平面向量垂直的性质、平面向量数量积的运算性质进

行求解即可；

（2）根据平面向量减法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.

a-bV2_/o

【详解】（1）由题意得讨=彳，得a-b=2应乂半=2.

因为（2a-b）_L（而一人）,所以（2。一匕）（如一匕）=232+匕2-（%+2）。“7=10%+8—2（女+2）=8k+4=0

得%=彳；

（2）由题意得AB=0B-0A=-a+mb-d+2mb=-2d+3mb，

BC=OC—OB=^n—\）a+^m—\）b+a—mb=ma-h

因为A,B,。三点共线，且点3在线段AC上，所以AB=28C（；l>0）

r__2

BP-2a+3mh=A（ma-h]f得（，

'）=—2,

解得2=±^/6，

又2>0,所以丸=灰.

故”=工=一四.

23

21.如图，在某景区依湖畔而建的半径为500米的一条圆弧形小路上，为吸引游客，景区在这条弧

形小路上取两点A,B,准备分别以A,B两处为入口，在河岸内侧建造两条玻璃栈道AP,BP,并

在两条栈道的终点P处建造一个观景台，已知弧AB所对的圆心角为安

(D若二为等腰直角三角形，且48为斜边，求的面积；

(2)假设玻璃栈道的宽度固定，修建玻璃栈道的造价按照长度来计算，且造价为1200元/米，试问当

NAP8=三TT时，修建两条玻璃栈道最多共需要多少万元？

【答案】(1)62500平方米.

(2)120万元.

【分析】(1)根据圆心角和半径求出弦长AB,根据等腰直角三角形求出直角边，再根据面积公式求

出面积.

(2)设=0e(O,y),利用正弦定理求出P8、PA,在求出P4+P8的最大值，然后乘以

0.12即可得解.

【详解】(1)因为弧A8所对的圆心角为圆的半径为500,所以AB=500米,

又，4?P为等腰直角三角形，且A8为斜边，所以PA=P8=^A8=25O0米，

2

所以」的面积为:PA2=1x2502x2=62500平方米.

(2)设=0e(O,y),

ABPBnnAB-sin0500sin(910008.八

PB=--------=---；=——=-------sin8

由正弦定理得Fsin。，得zn.K3

sin-sin—拒

332

ABPAAB-sin(--0)

10005/3.271万、

由正弦定理得一.,2兀小，得展-----三——---sin(---6),

sin―sin(--0)V333

33—

所以PA+%=S,“+sin(g-e)卜里［“+等cose+}ine

坦迪石sin(e+工)=1000Sin(。+5),

366

、rc-2兀ll…兀八兀5兀

因为。所以w＜。+工＜L，

36