2021-2022学年广西钦州市高二年级下册学期3月月考数学（文）试题含答案

2021-2022学年广西钦州市高二下学期3月月考数学（文）试题

一、单选题

1.设复数2=士力（其中为i虚数单位），则复数Z的共辗复数z在复平面内对应的点位于

I2J

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】设z0=±巫，得到zj的值以3为周期出现，求得z=土亘，得到六」+@i,结

02222

合复数的几何意义，即可求解.

【详解】设手，则常=二1^^，z；=l,端=若叵=4，

可得Z。"的值以3为周期呈周期性出现，所以z==Z673*3+2==二"普,

所以彳=士叵=-_L+@i,在复平面内对应的点且）在第二象限.

22222

故选：B.

2.ABC的三个顶点所对应的复数分别为中Z「Z2，Z3，AB=4,AC=5,点O为43c所在平面内一点,

对应复数z,满足Iz-zJTz-ZjRz—Zsl，则A0.8C=（）

9

A.-3B.-C.6D.10

2

【答案】B

【分析】由复数的几何意义得。为ABC的外心，从而根据三角形外心性质及平面向量数量积的儿

何意义即可求解.

【详解】解:|z-zl|=|z-z2|=|z-z3|,

由复数的几何意义知。到A,B,C三点的距离相等，即。为ABC的外心,

c

过。作。M_LAB交AB于M点，作QN_LAC交AC于N点，

因为。为一ABC的外心，所以〃，N分别为AB与AC的中点,

A0-BC=AO[AC-AB^=A0-AC-A0-AB,

由平面向量数量积的几何意义知

AO.AC=卜0,A。cosNOAC=|AN|.|AC|=]x5=],

40.48=|A0|•网cosNCM8=|AM”A8|=2x4=8,

259

AOBC=--S=-.

22

故选：B.

【点睛】关键点点睛：由复数的几何意义得出。为.ABC的外心,根据外心的性质及平面向量数量

积的几何意义是本题解题的关键.

3.已知i是虚数单位，z(l+i)=2i,则复数z所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的运算法则求解复数z,即得.

【详解】由z(l+i)=2i,

2i2i(l-i)2(i+l)

得寸2=—1+i=7(—l+i\)z(l-\i)=—2—-=l+i,

复数z所对应的点位于在第一象限,

故选：A.

4.若复数z满足z+2+i=(3-i)(l+2i),则z的模为()

A.5B.3C.亚D.6

【答案】A

【分析】根据复数乘法和减法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.

【详解】由z+2+i=(3-4(l+2i)=z+2+i=3+6i-i+2=z=5+5i-2—i=3+4i,

所以+4。=5,

故选：A

5.复数z=A—（i为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（）

l+2i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先利用复数的除法和复数的乘方化简复数z,再利用复数的几何意义求解.

2i20212i2i(l-2i)42.

【详解】•由题知,=-----------------------=-H—1

(l+2i)(l-2i)55

则其在复平面内所对应的点为&9

所以该点位于第一象限,

故选：A.

6.若复数z满足±=l+3i(i为虚数单位)，复数z的共规复数为()

Z

A31-n31・

A.—+—iB.----------1

10101010

31.31.

C.-----------1D.-----+—i

10101010

【答案】B

【分析】根据复数相等，应用复数的除法求z,由共甄复数的概念写出z的共辆复数.

z(l-3z)31.

【详解】由已知得：z=A--------=--1--1

1+3?(1+30(1-3«)1010

31

复数z的共朝复数为6-记"

故选：B.

7.已知复数4=-l+i,Z2=2,在复平面内，复数4和z?所对应的两点之间的距离是（）

A.&B.2C.回D.4

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义以及两点间的距离公式即可求解.

【详解】z,=-1+/,在复平面内对应的点为（-1』），

Z2=2,在复平面内对应的点为（2,0）,

所以两点之间的距离为J（-l-2）2+（1-0『=M.

故选：C

8.1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式

*=cosx+isinx,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥''.根据此公式可

知，设复数z=e今，根据欧拉公式可知，士表示的复数的虚部为（）

AaRV2.0近V2.

A.-------D.------1C.------nD.-----1

2222

【答案】C

【分析】根据题设定义的欧拉公式写出Z的三角形式，由复数的几何性质写出1--的三角形式，进而

求三，即可知其虚部.

【详解】由题意知：z=e^=cos-+zsin-,而1-1=夜［8$（-巳）+人也（一马］,

4444

—^―=^^（cos—+/sin—）=,即虚部为

1-/22222

故选：C.

9.欧拉公式*=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定

义域扩大到复数集，则复数+在复平面内对应的点位于（）

大

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

iiy/2i

【分析】—=—*..万=不，然后算出即可得答案.

e4cos+{sin

44

i_i_®_"(l_i)_及.

【详解】~~It~+2~~+~l

4cos—+，sin—

e44

所以其对应的点为，在第一象限

故选：A

10.已知〃为实数，复数z=（a-2）+ai（i为虚数单位），复数z的共辗复数为2,若z2<0,则1一三=

（）

A.l-2iB.l+2iC.2+iD.2-i

【答案】B

【分析】根据复数运算首先求出Z?，再根据只有实数可以比较大小可得关于。的方程和不等式，进

而解得。的值，代入可得结果.

【详解】z=(a—2)+ai,z2=((«-2)+«i)=(a-2)--a2+2«(a—2)i,

'2a(a-2)=0

“<0,；',>解得a=2,

(a-2)2-q-<0

z=2i,.,.l-z=l-(-2i)=l+2i.

故选：B.

11.复数z满足忖=1,且使得关于x的方程d+Jx+zuO有实根，则这样的复数z的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】设2=。+仇〃,6€/?,代入方程得整理得（犬+依+4+e-法>=0,在结合方程有实数根得

,进而分b=o和go两种情况求解即可.

h-hx=0

【详解】设z=4+bi,a,b£&因为忖=1,所以/+从=i,

所以将z=a+>i,a,0£R代入方程f+Jx+zr。整理

（X?+ar+a）+（b-bx）i=0,

因为关于x的方程f+z.;c+z=0有实根，

x2+ar4-a=0

所以77八

b-bx=0

所以当6=（）时，解得a=±l,此时关于x的方程为f+x+l=0或f—x-l=0,易知方程d+x+l=0

无实数根，故舍去，所以z=-l;

当6x0时，解得x=l,“=-1，所以6=土且，所以z=」士@i,此时方程有实数根x=l,满足

2222

条件.

综上，z=-"-±-^-isKz=-1.

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故这样的复数z的个数为3个.

故选：C

【点睛】本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档

题.本题解题的关键在于设z=a+仇进而根据题意得（犬+办+“）+（〃-加）i=0,即

X2+4-tz=0

,进而求解.

b-bx=O

12.下列关于复数的命题中（其中i为虚数单位），说法正确的是（）

A.若关于x的方程（l+OV+ar+l-4i=0（aeR）有实根，则”-1

B.复数z满足（1+1”=严2。，则z在复平面对应的点位于第二象限

2

C.z,=-4«+l+（2a+3a）z,Z2=2q+（q2+a）i。为虚数单位，ae/?）,若a>-；,则马2

D.l+2i是关于x的方程f+px+g=O的一个根，其中p、q为实数，则4=5

【答案】D

【分析】直角利用复数的运算，复数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，逐项判定，即可

求解.

【详解】对于A中，设方程的实数根为f,代入方程可得（1+。*+0+1-今=0,

所以‘2+：“+」=°'解得。=±3,所以A不正确；

1-4=02

;2020[1]

对于B中，复数（l+i”：，2020,可得z=^—=-=

1+il+z22

则复数z在复平面内对应的点为（g,-g）,位于第四象限，所以B不正确；

对于C中，复数4=-4a+l+（2a2+3a）i,z2=2〃+（Q2,

当〃>-g时，可知当a2+aw（）时，因为虚数不能比较大小，所以C不正确;

对于D中，l+2i是关于x的方程f+px+qnO的一个根，

根据复数方程的性质，可得1-2i也是方程的根,

l+2i+l-2i=-p

可得,解得。=-2应=5,所以D正确.

(l+2i)(l-2i)=^

故选：D.

二、填空题

3

13.设i为虚数单位，在复平面上，复数不不对应的点位于第象限.

（2T）

【答案】一

3Q12

【分析】化简复数莅=7=云+王i'结合复数的几何意义，即可求解・

333(3+4i)912

【详解】由题意，复数=%:八=去+不"

(2-1)~3-41(3-41)(3+41)2525

可复数在复平面内对应的点z(福9,芸12)位于第一象限.

故答案为：一

14.若zeC且|z+2-2i|=l,则|z-2-2i|的最小值为.

【答案】3

【分析】根据复数模的几何意义，|z+2-2i|=l表示圆心(-2,2)且半径为1的圆，|z-2-2i|是该圆

到(2,2)的距离，应用数形结合即可确定最小值.

【详解】卜+2-2"=1表示圆心为(-2,2),半径为1的圆，而|z-2-2i|表示圆上的点至11(2,2)的距离,

最小值为圆心到点(2,2)的距离减1,即最小值为J(-2-2)2+(2-2)2-1=4-1=3,

15.已知i为虚数单位，复数z=(2+『)(l-出)为实数，则2=.

【答案】|

【分析】利用复数的乘法化简复数Z,由已知条件求出参数〃的值，即可得出复数Z.

【详解】z=(2+4)(l-ai)=(2-i)(l-5)=2-a-(2a+l)i且zeR,

2a+1=0>可得。=—二，因止匕，z=—•

22

故答案为：y.

16.若i是虚数单位，复数z满足z(l+i)=2i,则忖=.

【答案】0

【分析】根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.

2i2i+2

【详解】由题意，复数满足（l+，）z=2i,则Z=L=:'==1+"

1+z（l+z）（l-z）2

所以忖=+『=>/2.

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的

计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

三、解答题

17,在①Z2名=10（〃>0）；②复平面上表示五的点在直线x+2y=0上；③z/a-i）>0,三个条件中

任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：

已知复数Z[=l+i,Z2=a+3i（asR）,（i为虚数单位），满足______________.若2='+一,求：

Z|Z2

（1）复数Z的模；

（2）复数z?（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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【答案】选择见解析；（1）1;（2）----i.

【分析】（1）分别选择①②③，根据复数的运算法则，求得。=1,可得z?=l+3i,进而求得复数z,

得到复数的模；

（2）由（1）得到z=.-《i,结合复数的运算法则，即可求解z2.

【详解】（1）若选①：由Z2Z2=卜2「=/+9=10,又由4>0,可得a=l;

若选②：由五=N=（l+¥,3i）/+3：（：3）i,

z】a+3ici+9ci4-9

又由复平面上表示五的点在直线x+2y=0上，可得:二+2x：二=0,

z2a+9a+9

即。+3+2（。-3）=0,解得。=1；

若选③：由4（^-i）=（l+i）（a-i）=（6r4-l）+（6Z-l）i>0,

可得।八，解得。=1,

〃一1二0

综上可得，复数z?=l+3i.

11111-il-3i34.

又由z=—I—=---1------=----1-----=----1,

人Hz,z21+il+3i21055

34

(2)由(1)知，z=---iJ6_24.__2__24.

石一石|一一石一石।

18.己知关于x的方程x2-(tan6+i)x-(2+i)=0

(1)若方程有实数根，求锐角。和实数根；

(2)用反证法证明：对任意乃+5(keZ),方程无纯虚数根.

【答案】(1)-1,9；(2)证明见解析.

【分析】3)设方程的实数根为。，得到(tan®+i)a-(2+i)=0,根据复数相等的条件，列出方

程组，即可求解；

(2)假设方程有纯虚数根，设为。i(OxO),得至心历尸―(tanO+i)历-(2+i)=0,化简得到方程

2tan26»+tan6»+l=0,结合判别式和一元二次方程的性质，即可求解.

【详解】(1)设方程的实数根为“，则/-(tan，+i)a-(2+i)=0,

即a2-atan，-2-(a+l)i=0,所以—“tan"2°,解得〃=-i,tan6=1,

a+l=0

又因为e为锐角，所以。=£.

4

(2)假设方程有纯虚数根，可设为历SeR力H0),

,—b~+/?—2=011

则3i)2-(tan9+i)〃-(2+i)=0,即，八，八，可得「7；+—7+2=0-

6tan。+1=0tan_0tan0

即2tan?(9+tane+l=0,可得方程A=/一4x2x1<0,

为虚数，这与熹

所以eR矛盾,

故假设不成立，所以结论成立，即对任意乃+]