2021-2022学年河南省南阳地区高二年级上册学期期中热身摸底考试数学试题含答案

2021-2022学年河南省南阳地区高二上学期期中热身摸底考试数学试

题

一、单选题

1.数列1,2,5,的一个通项公式为()

A.a“=nB.an=2"-l

C.an=2n-\D.a„=2"-n

【答案】D

【分析】代入验证可得.

【详解】A中％=5不适合，B中。2=2不适合，C中“2=2不适合,

D中q=I,%=2,%=5都适合,

故选：D.

2.若集合A={X|X2>1},B={X|X2+8X-9<0},则A8=()

A.{x|x4T}B.{X|-9<X<-1}C.{xjx>9}D.1x|l<x<9}

【答案】B

【分析】解不等式，结合集合交集的运算即可求解.

【详解】由题知人={*氏2>1}={目％<_1或X>]},

B={X|X2+8X-9<0}={X|-9<X<1}

所以Ac3={_x|-9Wx<-1}

故选：B.

3.设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2^4,则一;+「:)

sinAsmB

4-ab4b-4〃

A.—B.—C.—D.—

ab4ab

【答案】A

【分析】由正弦定理直接求解.

sinBsinAhaa~+h24

【详解】由正弦定理得:-------F------=-H----=---------

sinAsinBababab

故选：A

4.下列四个命题中为假命题的是（）

A.若。>b,5PJa3>b3B.^a>b>c>0,则

C.若〃2>/?2,贝lja>方D.若a</?<c、<0,则

bc

【答案】C

【分析】根据累函数的性质可判断A,根据不等式的性质可判断BD,根据特值可判断C.

【详解】因为函数）丁1单调递增，所以若心。，则a'〉//,故A选项为真命题；

由a〉b>c>0,可得而>be,故B选项为真命题；

当〃=一2,人=1时，a2>h2但〃</?,故C选项为假命题；

因为a<3<c<0,二>0,所以!>：,7<£,故D选项为真命题.

bebe

故选：C.

5.若一个等差数列的前三项之和为21,最后三项之和为93,公差为2,则该数列的项数为（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】设该数列共有〃项，依题意可得心，的值，从而可得公差，即可得出答案.

【详解】设该数列共有〃项，

依题意有4+9+%=21,即3a2=21可得%=7,

%+%+4-2=93,即3。“_|=93可得an_,=31.

因为公差为2,所以％^=2,即T二=2,解得〃=15.

n-1-2n-1-2

故选：B

x-2y>-4

6.不等式组3x-4y412,表示的可行域为（）

-44x44

A.梯形B.三角形

C.五边形D.平行四边形

【答案】A

【分析】作出不等式组表示的平面区域进而即得.

x-2y>-4

【详解】作出不等式组3x-4y«12表示的可行域，如图所示，

-4<x<4

7.在一ABC中，AB=iO,B=J,若该三角形有两解，则AC的取值范围是（）

A.（5,10）B.（5,+00）

C.（5x/3,10）D.（5^,+oo）

【答案】A

【分析】利用正弦定理直接求解.

【详解】根据正弦定理，该三角形有两解，所以ABsin3<AC<A8,即lOsin27TVAe<10,所以

6

5VAe<10.

故选：A

a—1

8.数列｛4｝满足《=-3,an=^—,则生⑼=（）

+1

A.—B.0C.—3D.一

23

【答案】C

【分析】由递推公式求出数列的前几项，归纳出数列｛4｝是周期为4的周期数列，即可求解.

【详解】因为凡=仇=，所以4M

“向+1凡-I

因为。1=-3,所以。2=一万，"3=3，q=2,a5=—3,a6―――,a,=—,L,

所以数列是周期为4的周期数列，故/⑼=砥4<«+1=4=-3.

故选：C

9.2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存

钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数

比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）

A.2022年12月11日B.2022年11月11HC.2022年10月II日

D.2022年9月11日

【答案】C

【分析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1,公比为2的等比数列，其前〃项和为二^=2"-1,

1-2

分析首次达到1万元的“值，即得解

【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1,公比为2的等比数列,

其前"项和为上2=2"-1.

1-2

因为了(〃)=2"-1为增函数,

且/(13)<10000,/(14)>10000,

所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元,

即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.

故选：C

10.已知aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3您+36=7c?,则()

A.cos2c有最小值，且最小值为-芯B.cos2c有最小值，且最小值为云

4949

C.cos2C有最大值，且最大值为-917D.cos2C有最大值，且最大值为三17

4949

【答案】A

7*a

【分析】由34+3/=702,得储+〃=：。2226力，—然后结合余弦定理可求出cosC的范

32ab7

围，再利用余弦的二倍角公式可求出cos2c的范围

7

【详解】因为3/+3〃=702,所以〃+层=§°222岫,

2

2i

3"+从"c

则c3,24,

2ab7cosC=

lab2ab377

从而cos2C=2cos2C-l22x(3]-1=-—,

⑴49

17

当且仅当。=b时，等号成立，故cos2C有最小值，且最小值-二.

49

故选：A

21

11.已知数列｛。,,｝的前〃项和为S,,且《=2,a„+1=S„--+-—y,则()

A.数列「,一：｝是等差数列B.数列是等差数列

D.数列,“一：｝是等比数列

C.数列是等比数列

【答案】c

【分析】根据。“与s”的关系可得%-a=2,一»进而可得“2“y+*利用等差

数列等比数列定义即可判断.

【详解】因为q2+—1彳，所以，川-5L,一2士+一1彳，

nn+1nn+1

则S,+「47=2(S“-」，又5_；=q_i=i,

n+1In)1

所以数列是首项为1,公比为2的等比数列，故C正确；

所以S'」=2-',(5„+|-―二]S“」]=2"-2"一=2-'不是常数,

即数列不是等差数列，故A错误；

71

所以"=*

所以q_；=l,的_；=0,a3

所以数列｛勺不是等差数列也不是等比数列，故BD错误.

故选：C.

12.设a,b,c分别为.-ABC的内角A,B,C的对边.己知（6-a）（sinB+sinA）=asinC,

5cosB-cos/1+2=0,c=ll,则ABC的周长为（）

A.56B.60C.64D.66

【答案】D

【分析】利用正弦定理可得〃=/+农，然后根据余弦定理及三角恒等变换可得3=2A,根据二倍

3

角公式结合条件可得cosA=],然后根据正弦定理结合条件即得.

【详解】由(％-a)(sinB+sinA)=asinC,^\b-a)[b+a)=ac,即6=〃+双，

2

因为匕2=/+/-2〃CCOSB,所以+ac=cr+c-2accosB,即a=c—2acosB,

由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB=sin（A+B）-2sin4cosB,

所以sinA=cosAsinB-sinAcosB,即sinA=sin（B-A）,

所以A=5—A,即5=2A,

所以5cos2A—cosA+2=0,化简得lOcosh-cosA-3=0,

即(5cosA-3)(2cosA+1)=0,因为OvAv兀且5=2A,

所以0cA<g,得cosA=1,

由正弦定理知三==二，贝g=2acosA=£a,

sin?lsm2A5

又〃=/+qc，且c=11,

所以a=25,b=30,故的周长为66.

故选：D.

二、填空题

13.设数列｛q｝满足4=&,且氏+尸。3则％=.

【答案】4

【分析】根据递推关系代入计算可得.

【详解】因为q=0,“2="：,所以,=2,所以%=4.

故答案为：4

x+y45

14.若x,>满足约束条件XNO,则z=x+2y的最大值为,

y2-1

【答案】10

【分析】画出约束条件表示的平面区域，然后利用数形结合即得.

x+j<5

【详解】由尤，y满足约束条件rNO,可得可行域,

当直线z=x+2y经过点（0,5）时，z取得最大值，且最大值为10.

故答案为：10.

15.已知三棱锥S-A8C的侧棱两两垂直，且%=1,SB=2,SC=3,则一ABC的面积为.

【答案】47

2

【分析】由题可得AB=百，AC=Ji6,BC=岳,然后根据余弦定理及三角形面积公式即得.

【详解】如图，因为S4,SB,SC两两垂直，且SA=1,SB=2,SC=3,

所以AB=W，AC=V10,BC=>/vi,

AB2+AC2-BC27

所以cos/84C=sin/BAC=—,

2ABAC5&

所以AfiC的面积S=gx石xJ6x77

5^2

_,7

故答案为:—.

三、双空题

16.在数列｛4｝中，竽，则。”的最大值为,数列卜小9"｝的前〃项和（=

+,

【答案】|（„-1）.3"+3

【分析】根据作差法判断数列的单调性可得最值，然后利用错位相减法即得.

【详解】因为*一,“=*^40，

所以;=4=4>〃3>，故风的最大值为g；

设d=a“.9"=（2〃—l>3",则7；=1x3+3x32++（2n-l）-3",

所以37；=1x32+3x3、+（2/i-l）-3n+l,

所以《一37；=3+2X（3?+33++3"）-（2n-l）-3"+,,

平一a0Xa

GP-27；,=3+2x-（2n-1）-30+l=3"”+=（2-2“>3"”-6,

故方=(〃_43""+3.

故答案为：：；(〃—1)-3向+3.

四、解答题

17.己知数列｛q｝的前〃项和为5,，且5”=近；7〃

(1)求｛可｝的通项公式；

⑵求数列—1―的前n项和，.

【答案】⑴%=3"+2

n

⑵£=

15〃+25

【分析】(1)利用/=5,-5“_|求出｛4｝的通项公式；

(2)利用裂项相消法求和.

3，7；+7/，3(，?1)；+7(?

【详解】(1)当“22时，an=S„-Sn,=-~"

nnn—12?=3〃+2.

又4=I=5,

也满足q=3〃+2,所以｛4｝的通项公式为““=3〃+2.

e,11If11A

(2)因为-----二八一、c，

anan+](3〃+2)(3〃+5)313〃+23〃+5J

所…以7,丁1门仁尸1.+亚1工一亚1"、

邛一_q

3(53n+5J

n

-15v+25'

1?

18.己知—I—=3(t?>0,Z?>0).

ab

⑴求M的最小值；

⑵求。十助的最小值.

Q

【答案】⑴]

(2)y.

【分析】（1）根据基本不等式可求得必最小值.

（2）式子两边同乘g,与。+助相乘，运用基本不等式可求得最值.

【详解】（1）a>0,b>0,1+-=3>2.O,解得M2：,

abNab9

当且仅当L1=7即匕=4:，2时，等号成立，

ab33

Q

此时必有最小值为A

（2）由题意得=1,

则。+助=照+沙+初J（17+g朗斗“7+2^^卜会

当且仅当的=学，即b=?时，等号成立，

ab36

此时（7+8。有最小值，且最小值为g.

19.a,b,c分别为_A3C内角A,B,C的对边.已知a=36sinB,9/?=8asinA.

⑴求B；

（2）若b=2,求c.

【答案】（1）8=2；

6

⑶3G土"

（2）c=--------•

2

【分析】（1）根据正弦定理边角互化结合条件即得；

（2）利用余弦定理即得.

【详解】（1）由正弦定理得sinA=3sin2B,9sinB=8sin2A,

则9sin4=8x9sin,B,又sinB>0,

所以sinB='，又因为0<5<兀，

2

所以8=［或8=芋，

66

因为。=3加inB=T〃>人，

所以/>B,故B=g；

0

3

（2）因为〃=2,所以〃=工人=3,

2

由余弦定理得从=/+/_2accosB，

所以4=9+c2-6xcx当，即，-3人+5=0,

解得c=36±V7

2

20.(1)求关于x的不等式a(x-a)(x-a-1)>0的解集；

(2)求关于x的不等式(x-3a)(x—a-1)4。的解集.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【分析】分类讨论结合二次不等式的解法即得.

【详解】(1)当。=0时;原不等式为0>0,则原不等式的解集为0；

当时，方程Q(x_a)(x-a_l)=0的两根为X=*%2=a+l，工2>不，

当。>0时，不等式0(1一々)(工一々-1)>0为(工一4)(工一4一1)>0,其解集为(-00,a)(6f+1,4-00)；

当a〈0时,不等式4(工一〃)(尢一4-1)>()为(x-a)(x-aT)<0,其解集为3〃+D；

综上，当。=0时，原不等式的解集为0；当。>0时，原不等式的解集为(7>,a)(。+1,叱)；当。<0

时，原不等式的解集为(。,。+1)；

(2)方程(x-3a)(x-〃-1)=。的两根为七=3〃，x2=a+19

当a=g时，x,=x2=|,原不等式的解集为］3｝；

当时，占<乙，原不等式的解集为［%,。+1］；

当时，x,>x2,原不等式的解集为［a+1,30；

综上，当。=:时，原不等式的解集为［：］；当时，原不等式的解集为［3〃M+1］；当。>工时,

2［2)22

原不等式的解集为5+1,3。］.

21.如图，点。在点尸的正东方向，现有一个圆形音乐喷泉，点。为喷泉中心，用无人机于点尸正

上空的点［处，测得点。的俯角为a,点8的俯角为尸，P,A,O,8四点共线，AB均在圆。上，且

。+4=半已知圆0的面积为49万平方米，且尸。=9米.

（1）求无人机的飞行高度；

（2）如图，现以AM,N三点为顶点在音乐喷泉内建造三条排水暗渠，已知暗渠造价为1000元/米，

且建造暗渠的预算资金为35000元.若要求“胸，/MAN,NAMW成等差数列，试问完成三条排

水暗渠的建造是否有可能会超预算？说明你的理由.

【答案】（1）12米；（2）有可能会超预算，理由见解析.

【分析】（1）首先求得圆O半径，根据tanNPO[=tanNP48可构造方程求得无人机的飞行高度;

（2）设加亚=氏利用正弦定理可求得MN,AN,AM,从而将排水暗渠长度表示为关于。的函数,

由正弦型函数最值的求法可确定最大值，根据最大值21后＞35可得结论.

【详解】（1）设无人机的飞行高度为〃米，圆形音乐喷泉的半径为「米，

由题意可知：]，=49万，解得r=7.

TTTT

a+/3=-fZPOP,=--ZPBP.=ZPP.B,

卜PR

则tan=tan,二志=宁，

则h=[POPB=J9xl6=12,故无人机的飞行高度为12米；

（2）ZAMN,/MAN,NANM成等差数列,

ZAMN+AMAN+ZANM=3AMAN=万，解得：/MAN=。.

设=贝!!NANM=q。弓

由正弦定理而啜ksinNAANMNsiAnZMAW

=14可得:MN=14sinNMAN=l6（米），

笄一=7Gcos6+7sin。（米）,

A2V=14sin。（米），AM=14sin

4N+AM+MN=21sin6+7后cos<9+7G=14Gsin（e+?J+7石（:米）,

研0彳｝..."X/及，小｛+裕加，

则14Al4百sinfe+4+7限216

216>4黑=35,•••完成三条排水暗渠的建造有可能会超预算.

1000

2

22.己知数列｛<?“｝满足4=5,an+l=4a„-3n+2n+l.

(1)证明：数歹为等比数