2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期第一次月考数学试题含答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

121

I.已知数列｛4｝满足4=2,且---=--------则4+4=()

4-1风+1

11c7-9-2

A.—B.-C.—D.一

156105

【答案】C

【分析】利用递推关系即求.

121aa.

【详解】依题意有一=-------，则。e='"n,

a向ana„-i2a,_|-a“

2129

由此得“3=§'4=5'%+"5=而.

故选：C.

2.下列选项中，为“数列｛4｝是等差数列”的一个充分不必要条件的是()

A.2%=%+%(〃22)B.a：=a,,+「a,i(〃22)

C.通项公式%=2〃-3D.an+2-a„=an+l-an_｝(n>2)

【答案】C

【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.

【详解】对于A：数列㈤｝是等差数列-%<=>2an=all+i+an_^(n>i),

/.A选项为“数列｛4｝是等差数列”的一个充要条件，故A错误；

对于B：易知B选项为“数列｛4｝是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；

X寸于C：an=2n-3,：,an+l=2(n+l)-3=2«-l,/.an^-a„=2,

•••数列｛%｝是等差数列，反之若｛““｝为等差数列，则%+「”“=［，

此时d不一定为2,所以必要性不成立，

AC选项为“数列｛q｝是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；

对于D：若数列｛%｝是等差数列，则"2-4川=。“-。,1，

aaa

n+2-n=«„+|~n-l成立，

反之当4=1,%=2,4=4,%=5时，满足。“+2=4用-4-I，

但｛4｝不是等差数列,

AD选项为“数列｛q｝是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误.

故选：C.

3.已知数列｛《,｝是等差数列，若4+%+4o=17,a4+a5+ab++a13+al4=77,则公差4=()

]12

A.1B.C.-D.-

【答案】D

【分析】利用等差数列的下标和性质即可求解.

【详解】；“4+%+4o=347=17,.•.%=/.

a4+a5++a14=1la9=77,a9=l,

故选：D

4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的辱长损益相同（辱

是按照日影测定时刻的仪器，辱长即为所测量影子的长度）.二十四节气及曷长变化如图所示，相邻两

个节气唇长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的唇长为一丈三尺五寸，夏至的唇长为一

尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）

毋长逐渐好

A.小寒比大寒的唇长长一尺

B.春分和秋分两个节气的愚长相同

C.小雪的号长为一丈五寸

D.立春的署长比立秋的辱长长

【答案】C

【分析】先计算从夏至到冬至的号长构成等差数列的公差和冬至到夏至的号长构成等差数列的公差，

再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.

【详解】由题意可知，夏至到冬至的唇长构成等差数列伍“｝，其中4=15寸，43=135寸，公差为d

寸，则135=15+12/,解得4=10（寸）；

同理可知，由冬至到夏至的曷长构成等差数列也“｝,首项々=135,末项d=15,公差W=T0（单

位都为寸）.

故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的唇长长10寸，即一尺，选项A正确；

春分的的长为加••心=4+6J,=135-60=75,

秋分的唇长为%，，%=4+64=15+60=75,故春分和秋分两个节气的唇长相同，所以B正确;

小雪的船长为%,•..%=4+104=15+100=115,H5寸即一丈一尺五寸,故小雪的唇长为一丈

一尺五寸，C错误；

立春的唇长，立秋的辱长分别为打，即，

.*.4=4+34=15+30=45,b4=bt+3d2=135-30=105,/.b4>a4,

故立春的唇长比立秋的唇长长，故D正确.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的唇长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计

算突破难点.

5.已知数列㈤｝是以2为首项，1为公差的等差数列，也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则

a+a++a

blb,"'b,0=（）

A.1033B.2057C.1034D.2058

【答案】A

【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到%的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求

和公式可求得结果.

【详解】Q也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，，d=2"-1

｛叫是以2为首项，1为公差的等差数列，...4="+1,

+〃多+…+。丽=0+2+2?+…+29)+10=^y+10=1024-l+10=1033.

故选：A.

6.若正项等比数列｛。〃｝满足4%=4，244+4=%，则3=^--~++(-iy)—=()

164%an

A.|[1+(-2)[B.|(l-2n)C.|(l+2")D.|[1-(-2)"]

【答案】D

【分析】结合等比数列的通项公式求出首项与公比，进而求出从而得到数列的通项

公式，进而利用等比数列的前”项和公式即可求出结果.

【详解】由题意，％%=片=J，得见=1.令｛%｝的公比为4＞0,由2%+%=%，得2d+q_l=0,

164

得4=；，"=；，•••4=9令，则"=一(-2)”,

,•S,=4+8+…+2=]_(_2)=-(-2)1，

故选：D.

7.函数f(x)的图象如下图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是

A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,7]

【答案】C

【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解.

【详解】函数/(x)在区间上的平均变化率为普，

由函数图象可得，在区间[4,7]上，鲁＜0即函数“X)在区间[4,7]上的平均变化率小于0；

在区间[⑼、[2,3]、[3,4]上时，鲁＞0且以相同，由图象可知函数在区间[3,4]上的点最大.

所以函数/(x)在区间[3,4]上的平均变化率最大.

故选：c.

【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题.

8.设/⑶在%可导，则二八--3』等于()

X

A.2r(x°)B.r(x0)c.3/'伉)D.4r(x0)

【答案】D

【分析】根据导数的定义，可直接计算出结果.

【详解】因为/(X)在X=x0处可导，

由导数的定义可得：lim"/+x)-f(%-3x)=4］血/(/+x)--3x)=4r(%).

A->0XXTO4XV

故选：D.

9.曲线y=f(x)=，的倾斜角为刍的切线的切点坐标为()

6

A.-gln3,/)B.(；ln3,g)

C.［m3,用D.(_gln3,6)

【答案】A

【分析】对曲线求导，设切点坐标，根据导数的儿何意义及已知求切点横坐标，进而求得切点坐标.

【详解】由已知得：/(x)=e*,切线的斜率Z=tan二=T

63

设切点为(不，%),则*=*，可得毛=—；ln3,又为=/(/)=£%=*，

•二切点为一；"3,理］.

【答案】A

【分析】求导后由函数性质判断

【详解】/(x)=^-x2+sinf|+x=：X2+cosx,fr(x)=gx-sinx

则[(一%)=一/(%),/(元)为奇函数，故排除B,D,

7T7T

M/(-)=--l<0,故排除C,

24

故选：A

4

11.已知点P在曲线丫二丁；上，。为曲线在点P处的切线的倾斜角，则。的取值

e+1

范围是()

A.|0,y)B.Jg)C.(g,当D.停㈤

442244

【答案】D

【详解】试题分析：因为°>由°=>'=/三,«'"7~~29：T(aw[0«")),所以

4

(e+l)e'+,+2

—<a<7r,选A.

4

【解析】导数的几何意义、正切函数的值域.

12.已知函数/(x)=ln(av-1)的导函数是/耿)，且尸⑵=2,则实数。的值为()

【答案】B

【解析】求出导函数，由/'(2)=2,可求出实数〃的值.

【详解】求导得/'(x)='\，则/'(2)=二=2,解得。=热

ax-\2a-13

故选：B.

【点睛】本题考查复合函数的导数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

二、填空题

13.如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中=A4=&人=3=44=1，如

果把图中的直角三角形继续作下去，记OA，o4,…,。4的长度构成数列｛卬｝,则此数列的通项公式

为4,=______

【答案】

【分析】由勾股定理易得.

【详解】因为。A=1,0A,—>/2,OAy=V3>OAn=-jn,

所以q=1,a,=5/2,Oj=5/3>...»an-石j.

故答案为：\[n,neN.

14.在数列｛4｝中，%=2凸=1,且数列是等差数列，则为=.

【答案】

【分析】先设等差数列的公差为d,由题中条件求出公差，进而求出等差数列的通项公式,

团+lJ

得到｛4,｝的通项，从而得出结果.

【详解】设数列」的公差为d,因为％=2,%=1,

1%+lJ

…1111

则44=17———=7,所以d=T，

%+1%+1624

11n-3〃+5

所以—T7=—^7+（"-3）4=1+亏=二-,

+1%+132424

因此q=三24T，解得知=；1

〃+52

故答案为g

【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的通项公式即可，属于常考题型.

,0,

15.己知正项数列｛《,｝,满足a向q=2"(〃eN*),且6+出+生++«2020<3(2°-1),则首项％

的取值范围是.

【答案】(1,2)

【解析】根据%+「%=2"(〃eN*),利用递推得到&也=2,则数列｛a,,｝的奇数项和偶数项分别为

公比为2的等比数列，然后利用等比数列前〃项和公式分别求和，再根据条件得到4+生<3求解.

【详解】因为《,+「%=2"(〃eN*),

所以a”+2,a“+i=2"M(〃eN*),

所以以1=2

所以数列｛%｝的奇数项和偶数项分别为公比为2的等比数列，

|0|-0,

丽“«,(1-2°)«2(1-2°)

明以4+6++%019=———，?+4++%020=———

1—，1—Z

所以4+%+%++出。20=(4+3(*°-1)<3(2@°-1),

所以q+a2<3,

因为%q=2"(”€N)

2

所以。2-4=2,即切二一,

a\

2

所以4+-<3,即a:一3q+2<0,

解得l<q<2,

故答案为：(L2)

【点睛】方法点睛：证明数列｛〃"｝是等比数列常用的方法：一是定义法，证明&=4(鼠22,〃€可")；

an-\

二是等比中项法，证明…若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可.

16.曲线v=8sx在点心,用处的切线方程为.

【答案】x+2y-G-]=0

【分析】由题设得y'=-sinx,求出点A处的导数，即可写出A处的切线方程.

【详解】•.,y=(cosx)=—sin尤,

2

.,.所求切线方程为打曰=_；卜_胃，整理得x+2y-G-[=0.

故答案为：x+2y--\/3——=0

6

三、解答题

S31

17.已知等比数列｛。〃｝的前〃项和为S〃，ai=~\,=—.

(1)求等比数列｛“〃｝的公比q；

(2)求a；+a；+a；.

【答案】⑴"=⑵

【分析】(1)结合等比数列前"项和的性质以及已知条件，解方程即可求出结果;

(2)求出片=(2)“，即可判断数列｛4｝是首项为1,公比为5的等比数列，然后利用等比数列的

求和公式即可求解.

【详解】(1)由亲=胃，。/=一1，知公比行1,1户=-』.由等比数列前〃项和的性质知S5,

S10—S5,S/5—S/0成等比数列，且公比为小故炉=$，q=_L_

所以a；所以数列｛"｝是首项为1,公比为!的等

(2)由(1),得卬i=(—l)x

4

比数列，故a；+W+

3

4

18.已知数列｛%｝中，a/=l,其前〃项和为S“，且满足2S,,=(〃+l)a“5€N.).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)记勿=3"-勘；，若数列出｝为递增数列，求力的取值范围.

【答案】(1)a„=n(ncN+)(2)(f2)

【解析】(1)项和转换可得，/M=(〃+1)4,,继而得到组=%■==?=1,可得解；

nn-\1

(2)代入可得由数列｛〃｝为递增数列可得，2V令％=221,可证明匕｝为

2〃+12H+1

递增数列，即即得解

【详解】(1)•••2S“=(〃+l)q,

•t-2S,H=(〃+2)%+1,

2%+i=("+2)«„+|-(«+!)«„,

即"4+1=("+1)%，餐=—，

・・・%=，==£L=I,

nn-\1

/.an=«(neN+).

n2

(2)bn=3-An,

〃+「〃=3”“-2(〃+1)2一(3"-力/)=2.y.x(2n+l).

•••数列圾｝为递增数列，

.­.2-3,,-A(2n+l)>0,即；

2〃+1

人23

令C"=w

即％£=止.型担=—>1

cn2〃+32-3"2”+3'

...｛。,,｝为递增数列，二彳<4=2,

即冗的取值范围为(-8,2).

【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生

综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

19.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，己知关系式为7(。=112\0+15,其中7(7)为体温(单位：°C),

，为太阳落山后的时间(单位：min).

(1)求从f=0至f=10,蜥蜴的体温下降了多少？

(2)从/=0到f=10,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？

(3)求T'(5)并解释它的实际意义.

【答案】(1)16℃；(2)表示从f=0到f=l()这段时间内变化率为-1.6,蜥蜴的体温平均每分钟下降

1.6℃；(3)表示太阳落山后5min时，蜥蜴的体温下降的速度为L2°C/min.

【分析】(1)由题意从r=0至"10的体温为7(1。)-7(0),即可求值.

(2)根据平均变化率的定义求f=0到f=10的平均变化率，说出其实际含义即可.

(3)利用导数的定义求T'(5),并说明其实际含义即可.

【详解】(1)7(10)—7(0)=瞿+15/瞿+151=-16,即从f=0到f=10,蜥蜴的体温下降了

10+5<0+5)

16℃.

(2)蜥蜴的体温下降的平均变化率为m2kz⑼=-1.6(℃/min),

10-0\7

它表示从1=0到r=10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.

120(120)

(3)・・・丁(5+2)一丁(5)二5+4+5+〔帝+=12,

\t210+Ar

...当。趋于。时，7(5+彳:7(5)趋于_]2,即T'⑸=-L2°C/min,

它表示太阳落山后5min时，蜥蜴的体温下降的速度为1.2°C/min.

20.已知曲线>=-；./+2/-3》+1.

(1)求该曲线斜率为-3的切线方程；

(2)当曲线的切线斜率最大时，切点为P,过点尸作直线/与x轴、y轴的正半轴交于两点，求

△O4B面积的最小值.

4

【答案】(1)3x+y-l=0或9x+3y-35=0.(2)y

【分析】(1)先对函数求导，再令导函数等于-3即可求出切点坐标，进而可求切线方程；

(2)先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出AB两点坐标，得到直线的截距式方程，将切

点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.

【详解】(1)由y=+2x~-3x+1,得y，=-x?+4x-3,

-x2+4x-3=-3,解得x=0或x=4.

当x=0时，y=l；当x=4时，y=-；.

.••切线方程为>-l=-3x或y+g=-3(x-4),

即3x+y-l=0或9x+3y-35=0.

(2)Vy=-x2+4x-3=-(x-2)2+l<l,

...当x=2时，切线的斜率取得最大值1,此时y=g,

即尸点坐标为（24）.

由题意，设A（a,O）,B（O,b）（a>0,b>0）,则直线/的方程为土+苔=1（。>0力>0）.

ab

-4--

a3b

21竺+2+左

,*•S&0=-ab=-ab\—+一1+2,

ABa3ba18Z?3

当且仅当"==，即a=6b时取“=”号.

a18。

212

将代入一+”=1,解得。=4,b--.

a3b3

.•.直线/的方程为：+争=1,即x+6y-4=0时，AQ4B面积的最小值为:

【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点

坐标，属于基础题型.

21.已知点A（g,-1）,B（2,1）,函数f（x）=log2x.

（1）过原点。作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；

（2）曲线y=f（x）（y<x<2）上是否存在点P,使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出

点P的横坐标，若不存在，则请说明理由.

3

【答案】（1）丫=0；（2）----

【分析】（1）设切点为（典142机），求得“X）的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式列方程

求得机=e,从而可得结果；（2）设P（〃,log?"）,求得导数可得切线的斜率,由两点的斜率公式，以及两

直线平行的条件：斜率相等，可得P的横坐标.

【详解】（1）设切点为（mJogz%）,

函数=log2x导数为:（x）=-^二

解得加=e,

则切线方程为V=";

（2）的斜率为L=g，

设P(〃[Og2〃)，

假设存在点P,使得过P的切线与直线AB平行，

可得=(.可得九=v2

n\Jn2c3413n2241:n2

则曲线y=/(x)(：Mx42)上存在点P,使得过P的切线与直线AB平行，

且P的横坐标为3六.

4In2

【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的

斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点4(%,/小))求斜率氏,即求该点处的导数小)；

⑵已知斜率k求切点A(x"G)),即解方程((3)已知切线过某点(不是切点)

求切点，设出切点A(x°J(x。)),利用%=:小)求解.

x一%

22.设函数"x)=ox-§,曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.

(1)求月*(尤)的解析式；

(2)证明：曲线yqXx)上任一点处的切线与直线尸0和直线产x所围成的三角形面积为定值，并

求此定值.

3

【答案】(l)/(x)=x-二；(2)证明见解析.

x