2022年周报杯初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会多壊或错壊都得0分)迪(D)21021 11“《周报》杯”多壊或错壊都得0分)迪(D)21021 11TOC\o"1-5"\h\z若?=20,-=10,则=的值为( ).bc b+c11 21(A)— (B)— (C)21 II解:D 由题设得—= -h10若实数。，力满足.-沥+〃+2=0,则。的取值范围是( )・2(A)a<-2 (B)a>4 (C)oW-2或a>4 (D)—2WcW4解.C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程庁-泌+丄+2=02的判别式△=(s)2—4xlx(?o+2)N0,解得oW—2或如图,在四边形ABC。中,匕3=135。,ZC=120°,AB=2右,BC=4-2皿,CD=4&则口边的长为().(A)2灰 (B)4^/6(C)4+V6(D)2+2a/6解：D如图，过点A,D分别作AE,DF垂直于直线8C,垂足分别为E,F.由已知可得BE=AE女,CF=2^2,DF=20于是EF=4+灰.过点A作AG±DF,垂足为G.在RtAADG中，根据勾股定理得AD=J(4+8V+(妁=7(2+V24)2=2+2—.

4.在一列数占，4.在一列数占，x2»x3,中，己知X]=1,且当AN2时，玉=丄+1-4(取整符号[用表示不超过实数"的最大整数，例如[2.6]=2,[0.2]=0),则由。等于(A)l解：B(B)2(C)3(D)4由(A)l解：B(B)2(C)3(D)4由X]=1和易=七_|+1-4可得X|=1>工2=2,工3=3, =4»

毛=1,工6=2，x7=3»&=4，因为2022=4x502+2,所以电。=2.如图，在平面直角坐标系坦y中，等腰梯形ABC。的顶点坐标分别为A(l,1),8(2,一1),C(-2,一1),D(-1,1).)，轴上一点P(0,2)绕点,1旋转180得点R,点Pi绕点B旋转180得点P2,点P2绕点C旋转180得点P3,点P3绕点。旋转180。得点Pu……，重复操作依次得到点P"2,…， P则点P2022的坐标是(). /° ►(A)(2022,2) (B)(2022,-2)(C)(2022,-2) (D)(0,2) 一旧、(弟5剧)解:B由已知可以得到，点％R的坐标分别为(2,0),(2,-2).记P^Oy,b2),其中Oj=2,b2=-2.根据对称关系，依次可以求得：当(-4一角，—2~b2),P4(2+a2t4+Z>2),Ri(-a2,-2-b2'),4(4+%，々)•令与(％，如)，同样可以求得，点£o的坐标为(4+%,々)，即%(4x2+%b2)，由于2022=4x502+2,所以点与的坐标为<2022,-2).二、填空题己知a=V5—1,则2/+7。2—2a—12的值等于 .解：0由已知得(白+1)2=5,所以/+2〃=4,于是洞+7。2—2〃一12=2〃+4/+3，一2〃一12=3/+6。一12=0.7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻.客车在前.小轿车在后.货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟.小轿车追上了货车,又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过/分钟，货车追上了客车，则t= ■ 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a,b,c(千米/分)，并设货车经x分钟追上客车，由题意得10(o2)=S, ①15(〃—c)=2S, ②x(b-c)=S. ③由①②，得30(b-c)=S,所以，x=30.故r=30-10-5=15(分).8.如图，在平面直角坐标系X。)中，多OABCDE的顶点坐标分别是0(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线，经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线I的函数表达式是如图，延长BC交x轴于点F；连接OB,AF；连接CE,DF,且相交于点M由己知得点M(2,3)是。8,时的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线/把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心，所以，过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.于是，直线MN即为所求的直线/.

设直线/的函数表达式为丫=心2,则<2k+b=3,5k+b=2,解得设直线/的函数表达式为丫=心2,则<2k+b=3,5k+b=2,解得b=j.，故所求直线/的函数表达式为y=-&+?.9.如图，射线AMt3N都垂直于线段,1。，点E为AM上一点，过点A作B芯的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则AE（第9题）解:V5-1240（第9题）解:V5-12见题图，设=AF=n.因为RtZ\AF8sRt/\A8C,所以AB2=AF■AC.又因为FC=DC=AB,所以m2=n（n+m）,即 （兰）2+兰_]=（）,m解得兰=穿，或兰=^1（舍去）.m2m2又Rt△疵:sR/CFB,所以-=—=—=-=ADBCFCm2io.对于1=2,3,…，k,正整数n除以i所得的余数为i-\.若〃的最小值〃。满足2000vv3000,则正整数k的最小值为 解：9因为〃+1为2,3,…，化的倍数，所以〃的最小值〃°满足%+1=[2,3,•,k\.其中[2,3,…，表示2,3,…，&的最小公倍数.由于[2,3,•,8]=80,[2,3,•,9]=2520,[2,3，…，10]=2520,[2,3,•,11]=27720,因此满足2000<z?0<3000的正整数R的最小值为9.

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11.如图，△ABC为等腰三角形，4P是底边8C上的高，点。是线段PC上的一点,FF耻，和CP分别是和△ACD的外接圆直径，连接时.求证：tanZPAD=—・BC证明：如图，连接殄，FD.因为况和CF都是直径，所以ED丄BC,FDLBC,因此。，E,F证明：如图，连接殄，FD.因为况和CF都是直径，所以ED丄BC,FDLBC,因此。，E,F三点共线.（5分）连接AE,AF,则ZAEF=ZABC=ZACB=ZAFD,所以，△ABCs/XAEF.（10分）（第11題）从而所以从而所以（20分）作AH丄EF,垂足为H,则AH=PD.由左A8Cs/\AEF可得EF_AH

~BC~~AP'EFPD~BC~~APf

12.如图，抛物线y=cix2+bx（a>0）与双曲线y=-相交于点A,B.己知点A的坐标为（1,4）,点8在第三象限内，且ZkAOB的面积为3（0为坐（1）求实数“，b,A的值*（2）过抛物线上点4作宜线AC//X轴，交抛物线于另一点C,求所有满足△EOCsZoB的点E的坐标.州（1）因为点A（1,4）在双曲线y=-±,x4所以A=4.故双曲线的函数表达式为>=兰.x设点B（6-）,/<0.AB所在直线的函数表达式为^=次+〃，则有4=，〃+〃，4 解得m4 4（，+1）—，n= 于是，直线AB4 4（，+1）—，n= 于是，直线AB与），轴的交点坐标为0,，故Smob=?x竺户（1一。=3,整理得2t2+31-2=0,解得，=2或七（舍去）.所以点8的坐标为（-2,-2）.因为点A,8都在抛物线y=ax2+hx（a>0）上，所以a+b=4,4a—2b=—2,解得Q=La+b=4,4a—2b=—2,解得Q=Lb=3.（【0分）（第12（第12题）（2）如图，因为AC〃x轴，所以C（-4,4）,于是C。=4^2.又BO=2后所以——=2.BO设抛物线y=or?+bx（a>^与x轴负半轴相交于点D,则点。的坐标为（一3,0）.因为，COD=ZBOD=45°,所以ZCOB=90°,（i）将△BOA绕点O顺时针旋转90。，得到这时，点8（—2,2）是CO的中点，点A的坐标为（4,-1）.

延长CM,到点耳，使得。鸟=2QA，这时点片(8.・2)是符合条件的点.(ii)作左BOA关于x轴的对称图形△B'0\,得到点A2(1,-4)；延长。念到点E2,使得。E2=20\,这时点巳＜2,-8)是符合条件的点.所以，点E的坐标是(8,—2),或(2,-8). (20分)13.求满足2矛+p+8=麻 2〃?的所有素数p和正整数m.解：由题设得〃(2〃+1)=(拒一4)(力+2),所以p\(m-4)(m+2),由于p是素数，故p|("—4),或p\(m+2).……(5分)(1)若/?|(w-4)»令m_4=kp,4是正整数，于是m+2>kp,3p2>p(2p+\)=(m-4)(m+2)>k2p2,故k2<3,从而k=l.所以(10分)p=5,所以(10分)m=9.(2)若p|(s+2),令m+2=kp,化是正整数.当p>5时，有m-4=kp-6>kp-p=p(k-l),3p2>p(2p+l)=(〃7_4)(m+2)>R(A_l)p2,故灯*—l)v3,从而k=l,或2.由于p(2p+V)=(m-4)(m+2)是奇数，所以k暮,从而k=l.，〃一4=2p+l,m+2=p,这不可能.当p=5时，m2—2tn—63.zh=9；当p=3,trT—2m—29»无正整数解；当p=2时，麻-2所=18,无正整数解.综上所述，所求素数p=5,正整数综上所述，所求素数p=5,正整数，，尸9.(2()分)14.从L2,…，2022这2022个正整数中，最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解:首先，如下61个数：11,11+33,11+2x33,…，11+60x33(即2022)满足题设条件.（5设条件.另一方面，设％<%<•..<%是从1,2, 2022中取出的满足题设条件的数，对于这〃个数中的任意4个数即%,ak,am,因为33|（q+《'+ain）, 33|（勺+ak+am）,所以 33|（为一《）.因