2021年北京市房山区高考数学一模试卷

2021年北京市房山区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.（4分）（2021•房山区一模）若集合M={-2,-1,1},集合N={0,1},则等

于（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,1}C.{-2,-1,0}D.{1}

2.（4分）（2021•房山区一模）下列函数中，值域为［0,+oo）且为偶函数的是（）

A.y-cosxB.y=|x+l|C.y=x2D.y=x-xJ

3.（4分）（2021•房山区一模）已知a,bcR,Ra>b,则下列各式中一定成立的是（

1

132

小D

<a>C>

A.-bB.

-

4.（4分a）（2021•房山区一模）将函数/（x）=sin2x的图象向左平移三个单位得到函数

6

y=g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴方程为（）

5.（4分）（2021•房山区一模）“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人

C.根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元

D.根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元

6.（4分）（2021•房山区一模）已知双曲线C:=13>0,。>0）的离心率为石，则点

a1b2

"（3,0）到双曲线。的渐近线的距离为（）

03垂>

A.2B.V6-----D.272

2

7.（4分）（2021•房山区一模）“.Ji”是“直线x+ay=l与or+y=l平行”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（4分）（2021•房山区一模）在矩形ABCD中，AC与比）相交于点O,E是线段8的

中点，AE=mAB+nAD,则〃的值为（）

A.--B.-1C.1D.-

22

9.（4分）（2021•房山区一模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,，且&>$8,Sg=S9<5l0,

则下面结论错误的是（）

A.“9=0B.Sl5>Sl4

C.J<0D.Sg与Sg均为S“的最小值

10.（4分）（2021•房山区一模）祖暄是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上

提出了体积计算的原理：“基势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高

处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖唯原理.利用这个原理求球

的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该儿

何体的下底面平行相距为〃（0<〃<2）的平面截该几何体，则截面面积为（）

A.4乃B.4/C.%(2-力2)D.左(4-〃2)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）（2021•房山区一模）若，为虚数单位.则■=.

1+/--

12.（5分）二项式（X-的展开式中的常数项是.

X

13.（5分）（2021•房山区一模）抛物线C：V=8x的焦点为尸，则点P的坐标为,若

抛物线上一点A到y轴的距离为2,贝”AF|=—.

14.（5分）（2021•房山区一模）设a>0,b>0,则使得命题“若/g（a+b）>0,则/g（而）>0"

为假命题的一组。，b的值是—.

15.（5分）（2021•房山区一模）设函数f（x）的定义域为£>,若对任意xe。，存在yeD,

使/（x）：/（y）=c（c为常数）成立，则称函数/（X）在。上的“半差值”为c.下列四个函

数中，满足所在定义域上“半差值”为2的函数是—（填上所有满足条作的函数序号）.

A

@y=e（x+l）；②y=d-1；©y=log2x；@y=sinx.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（14分）（2021•房山区一模）如图，在直三棱柱ABC中，已知AB=3C=1,

AC=0BB1=2,E为CG上一点，且EC=；.

（I）求证：平面平面4BCG；

（II）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值.

17.（14分）（2021•房山区一模）在AABC中，B=—,6=将，再从条件①、条件②、

3

条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

（I）sinC的值；

（II）AABC的面积.

条件①：AB边上的高为更；

2

条件②：cosA=%夕；

14

条件③：＜7=1.

18.(14分)(2021•房山区一模)单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决

赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运

动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.

现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：

分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩

第1次第2次第3次第1次第2次第3次

第180.2086.2084.0380.1188.400

站

第292.8082.1386.3179.3281.2288.60

站

第379.10087.5089.1075.3687.10

站

第484.0289.5086.7175.1388.2081.01

站

第580.0279.3686.0085.4087.0487.70

站

假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立.

(I)从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；

(H)从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X

的分布列和数学期望；

(1H)假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以

上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.

2222

(注：s=-[(x,-%)+(^-%)+...+(x„-x)],其中无为玉，x2,的平均数)

19.(15分)(2021•房山区一模)已知函数/。)=2/-2/+3.

(I)求曲线y=/(x)在点(0,f(O))处的切线方程；

(II)若xw(0,+oo),求证：/(x)..2x+l；

(III)设h(x)=8x2-34,是否存在唯一的自然数也，使得hM与f(x)的图象在区间(〃?,，〃+1)

上有两个不同的公共点？若存在，试求出m的值，若不存在，请说明理由.

221

20.(14分)(2021•房山区一模)已知椭圆C:=+与=l(a>方>0)过点(2,0),离心率为L

a〃2

(I)求椭圆C的方程；

(II)设点M为椭圆C的上顶点，A,8是椭圆C上两个不同的动点(不在y轴上)，直

线M4,MB的斜率分别为《，k2,且&凡=3，求证：直线4?过定点N(0,-；G).

21.(14分)(2021•房山区一模)对于数列｛〃“｝,记包=max｛Oy,a2>...,%｝(〃=1,2,3,

…)，其中g，…，4.｝表示4，2，…，6’这4个数中最大的数.并称数列｛4｝

是｛%｝的“控制数列”,如数列1,2,3,2的“控制数列”是L2,3,3.

(I)若各项均为正整数的数列｛%｝的“控制数列”为1,3,4,4,写出所有的｛4｝；

(II)设。“=cirr-2n(nGN*).

⑴当a>0时，证明：存在正整数m,使%,与止，刍且，…是等差数列；

mm+\m+2

(ii)当2,2］时，求：+?+?+与的值(结果可含〃).

2021年北京市房山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.（4分）（2021•房山区一模）若集合M={-2,-1,1},集合N={0,1},则“㈠"等

于（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,1}C.{-2,-1,0}D.{1}

【解答】解：依据并集的概念和集合元素的互异性得：M,N={-2,-1,0,1}

故选：A.

2.（4分）（2021•房山区一模）下列函数中，值域为［0,m）且为偶函数的是（）

A.y-cosxB.y=|x+l|C.y=x2D.y=x-x3

【解答】解：y=cosx的值域［T,1］,不符合题意；

丫=|尤+1|为非奇非偶函数，不符合题意：

y=x-V为奇函数，不符合题意；

y=xL0且为偶函数，符合题意.

故选：C.

3.（4分）（2021•房山区一模）己知a,b&R,且则下列各式中一定成立的是（

）

A.-<-B.a3>b3C.ab>b2D.2时>2出

ah

【解答】解：对于A,当。>0>b时，—>->故A不一定成立；

ab

对于区，a>b,则/故B一定成立；

对于。，当时，ab<0<b2,故C不一定成立；

对于。，当0>々>力时，\a\<\b\,则2间<2%故D不一定成立.

故选：B.

4.（4分）（2021•房山区一模）将函数f（x）=sin2x的图象向左平移工个单位得到函数

y=g(x)的图象，则函数g(x)的图象的一条对称轴方程为()

A.x=B.x=-----C.x=—D・x=--

612126

【解答】解：将函数/(x)=sin2x的图象向左平移七个单位得到函数y=g(x)=sin(2x+g)的

63

图象，

2x+—=ICTT+—>求得x="+工，AeZ,

32212

则令左=0,可得函数g(x)的图象的一条对称轴为x=\>

故选：C.

5.(4分)(2021•房山区一模)“十三五”期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人

均收入持续增长.下面统计图反映了2016-2020年我国居民人均可支配收入(单位：元)

情况.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是(

2016—2020我R居民人均可支配收入及计四

A.2016—2020年，全国居民人均可支配收入每年都超过20000元

B.2017-2020年，全国民人均可支配收入均逐年增加

C.根据图中数据估计，2015年全国居民人均可支配收入可能高于20000元

D,根据图中数据预测，2021年全国居民人均可支配收入一定大于30000元

【解答】解：对于选项A：由图可知，2016—2020年，

全国居民人均可支配收入每年都超过20000元，所以选项A正确，

对于选项B：由图可知，2017-2020年，

全国民人均可支配收入均逐年增加，所以选项台正确，

对于选项C：由图可知，2016年全国民人均可支配收入临近25000元，

上一年也就是2015年全国民人均可支配收入可能高于20000元，所以选项C正确,

对于选项。：由图可知，2020年全国民人均可支配收入高于30000元，

下一年也就是2021年全国民人均可支配收入可能大于30000元，

说一定大于30000元太绝对，所以选项。错误，

故选：D.

22

6.（4分）（2021•房山区一模）已知双曲线C:二一与=l（a>0/>0）的离心率为6，则点

a

M（3,0）到双曲线C的渐近线的距离为（）

A.2B.#C.—D.20

2

【解答】解：由题意可得e=£=Jl+（=W，则b=

所以双曲线的渐近线方程为y=±^x,即y=±&x,

a

所以点M（3,0）到双曲线C的渐近线的距离为」竺=瓜,

V1+2

故选：B.

7.（4分）（2021•房山区一模）“。2=1"是''直线x+砂=1与ax+y=l平行”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：当。=0时，两直线分别为x=l与y=l,此时两直线不平行，

当axO时，若两直线平行，则

a11

由1二区得/曰，得0=1或a=—1,

a1

当a=l时，1=不成立，

a11

当a=T时，成立，即a=l,

a11

则“/=i”是“直线x+ay=l与or+y=l平行”的必要不充分条件，

故选：B.

8.（4分）（2021•房山区一模）在矩形中，AC与比>相交于点O,£是线段8的

中点，AE=mAB+nAD,则）2-几的值为（）

A.--B.-1C.1D.-

22

【解答】解：如图所示,

3313

由已知可得=+==—=—，

4444

i3

又AE=mAB+nAD,所以m=—,〃=二，

44

二匚131

加以加―〃=------=——，

442

分•房山区一模）已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为〃，且

9.（4）（2021SS?>S8,58=S9<S10,

则下面结论错误的是（）

A・%=0B.Sl5>S14

C.d<0D.Sg与§9均为S〃的最小值

【解答】解：因为等差数列｛〃〃｝,

S7>S8,S8=S9<Sl0,

所以一

S,§8=—%>0，S<）_=%=0,S10—S9=aU｝>0,

即4v0，%=0,a］。>0,d>0,

故A正确，。错误；

一

S15SI4=45>°，BPSI5>SI4,

故B正确；

由4<0，%=。，4。>0可矢口Sg与S9均为S“的最小值，。正确.

故选：C.

10.（4分）（2021•房山区一模）祖瞄是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上

提出了体积计算的原理：“基势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高

处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖晒原理.利用这个原理求球

的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该儿

何体的下底面平行相距为h（0<h<2）的平面截该几何体，则截面面积为（）

C.zr(2-/i2)D.万(4-的

【解答】解：由己知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2,高为2,截面为

圆环，大圆半径为2,

设小圆半径为r,则£=匕所以/•=/?,

22

所以截面圆环的面积为4万-乃〃2=亚4-层）；

故选：D.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）（2021•房山区一模）若i为虚数单位.则上1=_T

1+i

【解答】解：针3

故答案为：-i

12.(5分)二项式(x-2)6的展开式中的常数项是__16()_.

X

6r62r

［解答］解:二项式(x--)6中,Tr+l=&•x--(—)'=(一2)JC；-x-,

XX

令6-2r=0,解得r=3,

所以展开式中的常数项是7；=（-2）3=-8x20=-160.

故答案为：—160.

13.（5分）（2021•房山区一模）抛物线C：V=8x的焦点为尸，则点尸的坐标为_（2,0）

若抛物线上一点A到y轴的距离为2,贝IJ|AF|=.

【解答】解：由抛物线的方程可得p=4,

所以焦点厂的坐标为（2,0）,准线方程为：x=-2,

若抛物线上一点A到），轴的距离为2,则点A到准线的距离为2+2=4,

由抛物线的定义可得|A用=4,

故答案为：(2,0),4.

14.(5分)(2021•房山区一模)设a>0,b>。,则使得命题“若/g(a+A)>0,则取(出?)>0"

为假命题的一组。，b的值是«=1,b=-.

——2~

131

【解答】解当a=l,=e时，lg(a+b)=—>0»而/g(ab)=/g]<0,

故答案为：a=l,b=—.

2

15.(5分)(2021•房山区一模)设函数〃幻的定义域为Q,若对任意存在yw。，

使fa)—/(y)=c(c为常数)成立,则称函数/(X)在。上的“半差值”为c.下列四个函

数中，满足所在定义域上“半差值”为2的函数是②③(填上所有满足条作的函数序号).

3

①y=e"(x+l);®y=x-1；®y=log2x；®y=sinx.

【解答】解：由题意可得，对定义域中的任意x,存在y,使得/(y)=/(x)-4.

由于②③值域为故满足；

对于①，y=ex(x+i),y=e\x+2),

当工£(-oo,-2)时，/<0,当xs(-2,+oo)时，/>0,

y=eA(x+l)在(-oo,-2)上单调递减，在(-2,+oo)上单调递增，

则当x=-2时，函数取得最小值为-1，此时不存在自变量y,使得其函数值为-斗-4,

e2e~

①不满足；

对于④y=sinx,x=-]时，函数值为-1,此时不存在自变量y,使得函数值为-5,故④

不满足，

故答案为：②③.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.(14分)(2021•房山区一模)如图，在直三棱柱A8C-ABC中，已知A8=3C=1,

AC=J5,BB[=2,E为CG上一点，且EC=g.

(I)求证：平面ABE_L平面旦BCG；

(ID求直线AC与平面AM所成角的正弦值.

【解答】解：(I)证明：由直三棱柱的性质知，84,平面ABC,

ABu平面ABC,

1AB,

AB=BC=\,AC=>]2,

又BB；BC=B,BB、、BCu平面BtBCC1,

平面B|BCC1,

Mu平面ME,

平面43E_L平面B\BCCi.

(II)以3为原点，BA,BC,Bq所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，

则A(l,0,0),B(0,0,0),C(0,1,0),E(0,1,,4(1,0,2),

...1,-2),BA=(1,0,0),BE=(0,1,-),

nA_QX=0

设平面小的法向量为”=(x,y,z),则〃，即1,

n.BE=0y+~z=^

-乙

令z=2,贝!Jx=0,y=-1,=(0,—1»2),

设直线4。与平面ABE所成角为e,

m.l.I.।\C-n—1—45/30

贝!Jsin0n=|cos<AC,n>|=|-----1=|—p=——尸|=----，

14clV6XV56

故直线AC与平面A8E所成角的正弦值为叵.

6

17.(14分)(2021•房山区一模)在AABC中，8=—,6=疗，再从条件①、条件②、

3

条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(I)sinC的值；

(IDAABC的面积.

条件①：边上的高为更：

2

条件②：COSA=%N；

14

条件③：4=1.

【解答】解：若选①：A3边上的高为且.

2

(I)过点C作边上的高，垂足为。，则C£>=且，

2

因为3=红，所以430=工，

33

在ABC。中，BD=CDcot-=-BC=1,

32f

在RtAACD中，AC=不，则=之,

2

51ARAC

在AABC中，AB=AD-BD=----=2,由正弦定理可得，-----=

22sinCsinB

解得sinC=^包建=0=叵；

AC币1

(II)5Mac=^BC-AB-sinS=^x2xlx^=^.

若选②：cosA-.

14

(I)过点C作A5边上的高，垂足为。，

在RtAACD中，cosA=»所以A£)=AC・cosA=J7x上互=?，

AC142

CD=VAC2—AD2=，故BC=1,

2

51AQAC

在AABC中，AB=AD-BD=------=2,由正弦定理可得，-----=----

22sinCsin3

解得刎。=必2=二=@;

AC币1

(II)5AApc=g.8C-A8-sin8=gx2xlxg=^.

若选③：。=1.

jr1

在RtABCD中，BC=a=\,ZCBD=—，故8。=一，CD=

322

在RtAACD中，AC=/j,则">=，DC2-C£>2=9,

2

ABAC

在AA8C中，AB=AD-BD=---^2,由正弦定理可得，

22sinCsinB

解得〃=必2=0=叵；

AC币1

(II)SA,„r=-BCABsinB=-x2xlx.^=—.

zvioc2222

18.（14分）（2021♦房山区一模）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决

赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运

动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.

现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：

分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩

第1次第2次第3次第I次第2次第3次

第180.2086.2084.0380.1188.400

站

第292.8082.1386.3179.3281.2288.60

站

第379.10087.5089.1075.3687.10

站

第484.0289.5086.7175.1388.2081.01

站

第580.0279.3686.0085.4087.0487.70

站

假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立.

（I）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；

（H）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X

的分布列和数学期望；

（111）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以

上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.

（注：方差52=匕（不一幻2+3一元）2+~+区一君2],其中亍为司，无，…，x”的平均数）

n

【解答】解：（I）由题意可知，甲乙两人在五站中最好的成绩依次为：

甲：86.20,92.80,87.50,89.50.86.00；

乙：88.40,88.60,89.10,88.20,87.70,

所以5站中随机选取1站，在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为与■=2；

C；5

（II）由题意可得，X的可能取值为0,1,2,

所以尸（X=0）=刍=』，

C\C\3

P(X=l)=-i^=-

尸92）磊.

所以X的分布列为:

X012

P331

lo510

3314

期望为E(X)=0X±+1X3+2X—=-；

105105

(III)由可知(I),

甲：86.20,92.80,87.50,89.50.86.00；

乙：88.40,88.60,89.10,88.20,87.70,

所以甲的平均成绩为88.4,乙的平均成绩也为88.4,

又甲的方差为g[(86.20-88.40尸+(92.80-88.40)2+(87.50-88.40)2

+(89.50-88.40)2+(86.00-88.40)2]=6.3960,

乙的方差为:[(88.40-88.40)2+(88.60-88.40尸+(89.10-88.40)2

+(88.20-88.40)2+(87.70-88.40)2]=0.2120,

所以乙的成绩更为稳定，故推荐乙参加.

19.(15分)(2021•房山区一模)已知函数f(x)=2d-2d+3.

(I)求曲线y=f{x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(II)若xe(0,+<»),求证：/(x)..2x+l；

(III)^/I(X)=8JC2-34,是否存在唯一的自然数m,使得〃(x)与f(x)的图象在区间。"，机+1)

上有两个不同的公共点？若存在，试求出，”的值，若不存在，请说明理由.

【解答】解：(I)/(幻=2%3-2丁+3的导数为尸(%)=6/_4》,

可得切线的斜率为/'(0)=0,又/(0)=3,

则切线的方程为y=3；

(II)证明：因为xe(0,+8),

所以.f(x)_2x_]=2x3_2x2+3_2x_l=2(x3_x2_x+l)=2[x2(x_i)_(x_i)]

=2(X-1)2(X+1)..O,

所以/(%)..2x+l；

(III)由/(x)=/?(x),得2/-2d+3=8/-34,即2/一10/+37=0,

设g(x)=2/-10X2+37,g'(x)=6x2-20x,

当0<x<W时，g，(x)<0,g(x)递减，

当或x<0时，g'(x)>0,g(x)递增，

可得g(x)在x=0处取得极大值37,在x=#处，取得极小值一\,

当m=3时，“2+1=4,可得g(3)=1,g(4)=5,

而g(¥)=_\-<0,可得8(尤)在(3,4)内有两个实根斗，x2,

八10..10

AG

且％i£(3,—),x2(―,4),

所以存在唯一的自然数帆=3,使得取x)与/(x)的图象在区间(3,4)上有两个不同的公共点.

20.(14分)(2021•房山区一模)已知椭圆C:g+±=l(a>6>0)过点(2,0),离心率为L

ab2

(I)求椭圆C的方程；

(II)设点M为椭圆。的上顶点，A,3是椭圆C上两个不同的动点(不在y轴上)，直

线M4,MB的斜率分别为匕，k2,且匕&=3,求证：直线A3过定点N(0,-1g).

a=2

【解答】解：(I)根据题意可得£=1,

a2

a2=b2+c2

解得c=1,〃=3,

22

所以椭圆的方程为三+汇=1.

43

(II)证明：由(I)知，得M(0,亚,

设4(%，乂)，8(々，y2),

所以占=21二立，七=&Z且，

X冗2

因为勺22=3，

所以上史.&Z史=3,

X[x2

所以（y—6）（%-5=3%1%2，

设直线旗的方程为y="+f,

y=kx+t

联立，2丫2,得（3+4F）X2+8〃X+4*-12=0,

--1----1

43

由△=（8仃>-4（3+4公）（4r-12）=-48（」一3-4公）>0,得/<3+4〃,

8kt4r-12

所以X+9=一中2

3+4公3+4公

因为X=3+r,y2=kx2+t,

所以（g+f）（生+/）-6Kg+力+（丘2+。]+3=3X1X2,

2

所以kxxx2+kt｛xx+x2）+r—G%（%[+/）+2f]+3=3XJX2,

所以公+-8"+/-26+3=0,

3+4公3+4尸

所以-9产+45-64=0,

解得叵，或t=6（舍），

3

所以>=