2023年高三数学模拟试卷精编(含答案及解析)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高三数学模拟试卷精编(含答案及解析)高三数学模拟试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝{}1Zxxx≤∈，，B＝{}02xx≤≤，则AIB＝．答案：{0，1}考点：集合的运算解析：∵A＝{}1Zxxx≤∈，∴A＝{﹣1，0，1}∵B＝{}02xx≤≤∴AIB＝{0，1}

2．已知复数z＝(1＋2i)(a＋i)，其中i是虚数单位．若z的实部与虛部相等，则实数a的值为．答案：﹣3考点：复数的运算

解析：z＝(1＋2i)(a＋i)＝a﹣2＋(2a＋1)i

由z的实部与虛部相等得：a﹣2＝2a＋1，解得a的值为﹣3．3．某班有同学52人，现将全部同学随机编号，用系统抽样办法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号同学在样本中，则样本中还有一个同学的编号是．答案：18

考点：系统抽样办法

解析：按照系统抽样的定义和办法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，已知

其中三个个体的编号为5，31，44，故还有一个抽取的个体的编号为18．

4．3张奖券分离标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是．答案：13

考点：古典概型

解析：甲、乙两人同时各抽取1张奖券共有6种不同的状况，其中两人都未抽得

特等奖有2种状况，所以P＝2

6

＝13

．5．函数2()log(1)fxxx=+-的定义域为．答案：[0，1)考点：函数的定义域

解析：由题意得：0

10xx≥??->?

，解得0≤x＜1，所以函数的定义域为[0，1)．

6．下图是一个算法流程图，则输出的k的值为．

答案：3考点：算法初步

解析：n取值由13→6→3→1，与之对应的k为0→1→2→3，所以当n取1时，

k是3．

7．若正三棱柱ABC—A1B1C1的全部棱长均为2，点P为侧棱AA1上随意一点，则四棱锥P—BCC1B1的体积为．

43

考点：棱锥的体积

解析：因为AA1∥平面BCC1B1，所以点P到平面BCC1B1的距离就是点A1到平面BCC1B1

3，所以VP—BCC1B1＝21

233

?43

．8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：3103yxx=-+上，且在第四象限内．已

知曲线C在点P处的切线为2yxb=+，则实数b的值为．答案：﹣13考点：函数的切线解析：∵3103yxx=-+∴2310yx'=-

∵曲线C在点P处的切线为2yxb=+∴23102x-=∵P在第四象限∴x＝2，求得y＝﹣9∴b＝﹣9﹣2×2＝﹣13

9．已知函数()3)cos(2)fxxx??=+-+(0＜?＜π)是定义在R上的奇函数，则

()8

fπ

-的值为．

答案：

考点：三角函数的图像与性质

解析：())cos(2)=2sin(2)6

fxxxxπ

???=+-++-

∵()fx是定义在R上的奇函数

∴6

kπ?π-=，k∈Z，由0＜?＜π求得6

π

?=

∴()2sin2fxx=，则()2sin()8

4

fππ

-=-=10．假如函数2()(2)2(8)1fxmxnx=-+-+(m，n∈R且m≥2，n≥0)在区间[12

，2]

上单调递减，那么mn的最大值为．答案：18

考点：二次函数的性质

解析：当m＝2时，()2(8)1fxnx=-+，要使()fx在区间[1

2

，2]上单调递减，则n

＜8，此时mn＝2n无最大值，不符题意，舍去

当m＞2时，2()(2)2(8)1fxmxnx=-+-+是开口向上的抛物线，对称轴为x＝

82nm--，要使()fx在区间[12，2]上单调递减，则2≤82

n

m--，即0≤n≤12﹣2m，所以mn≤m(12﹣2m)＝2m(6﹣m)≤26

2()2

?＝18，当且仅当m＝3取“＝”，所以mn的最大值为18．

11．已知椭圆22

12xy+=与双曲线22221xyab

-=(a＞0，b＞0)有相同的焦点，其左、

右焦点分离为F1、F2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且F1P＝F1F2，则双曲线的离心率为．

考点：圆锥曲线的定义、性质

解析：由题意得：F1P＝F1F2＝2，则PF2

＝2，所以2a＝2﹣

(2)＝4

﹣，则a＝2

，所以e

＝c

a

=

＝2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，5)，点B是直线l：1

2

yx=上

位于第一象限内的一点，已知以AB为直径的圆被直线l

所截得的弦长为

B的坐标为．

答案：(6，3)考点：直线与圆

解析：设点B(0x，01

2x)，则

AB=求得点A到直线l

的距离为

又由于弦长为所以AB

＝，

求得2022xx--120=，由于点B位于第一象限，所以0x＝6（负值已舍去），故点B的坐标为(6，3)．

13．已知数列{}na的前n项和为nS，11a=，22a=，2

221N22N

nnnankkaankk*

+*?+=-∈?=?=∈??，，，，，则满足2022≤mS≤3000的正整数m的全部取值为．答案：20，21

考点：等差数列、等比数列前n项和解析：当m为奇数时，1

12

221(1)

2(21)12()222212

mmmmmmS-+++-+=

+=+--，明显m

S是单调

递增的，又192022S，所以m取21符合题意；

当m为偶数时，1

2

2224

mmmS+=+-，又182022S，

所以m取20符合题意．综上所述，正整数m的全部取值为20，21．

14．已知等边三角形ABC的边长为2，AM2MB=uuuuruuur

，点N、T分离为线段BC、CA

上的动点，则ABNTBCTMCAMN?+?+?uuuruuuruuuruuuruuuruuuur

取值的集合为．答案：{﹣6}

考点：平面对量的坐标运算

解析：建立如图所示的平面直角坐标系

则A(03，B(﹣1，0)，C(1，0)

由AM2MB=uuuuruuur得M(2

3

-3)，设N(n，0)，直线AC为：33yx=+T(t，33t+所以ABNT(1,3)(,33)23tnttn?=-?-+=+-uuuruuur

，

224

BCTM(2,0)(33)2333

ttt?=?--=--uuuruuur，

235

CAMN(3)(,33

nn?=-?+=--uuuruuuur

则45

ABNTBCTMCAMN=232633

tntn?+?+?+=-uuuruuuruuuruuuruuuruuuur．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答

时应写出文字说明、证实过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α的终边与单

位圆O交于点A，且点A的纵坐标是

10

．（1）求cos(α﹣

34

π

)的值；（2）若以x轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为5

5

-

，求α＋β的值．

解析：由于锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是10

10，

所以由随意角的三角函数的定义可知sinα＝10

10.

从而cosα＝1－sin2

α＝310

10

.(3分)

(1)cos(α－3π4)＝cosαcos3π4＋sinαsin3π4＝31010×(－2

2)＋

1010×22＝－5

5

.(6分)(2)由于钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－5

5，

所以cosβ＝－

55，从而sinβ＝1－cos2β＝255

.(8分)于是sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝1010×(－55)＋

310

10×

255＝2

2

.(10分)

由于α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π

2)，(12分)

从而α＋β＝3π

4.(14分)

16．（本小题满分14分）

如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB＝2，AF＝l，M是线段EF的中点．

（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求证：AM⊥平面BDF．

解析：证实：(1)设AC∩BD＝O，连结OE，∵四边形ACEF是矩形，∴EF∥AC，EF＝AC.∵O是正方形ABCD对角线的交点，

∴O是AC的中点．

又点M是EF的中点，∴EM∥AO，EM＝AO.∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE.(4分)∵OE

平面BDE，AM

平面BDE，

∴AM∥平面BDE.(7分)

(2)∵正方形ABCD，∴BD⊥AC.

∵平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD

平面ABCD，

∴BD⊥平面ACEF.(9分)∵AM

平面ACEF，∴BD⊥AM.(10分)

∵正方形ABCD，AD＝2，∴OA＝1.

由(1)可知点M，O分离是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形．∵AF＝1，∴四边形AOMF是正方形，(11分)∴AM⊥OF.(12分)

又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF平面BDF，BD

平面BDF，

∴AM⊥平面BDF.(14分)17．（本小题满分14分）

某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P、Q分別在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．己知AB长为40米，设∠BOP为2θ．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形COPQ的周长为()fθ，求()fθ的表达式；（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sinθ的值．

解析：解：(1)连结PC.由条件得θ∈(0，π2

)．

在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos2θ)．(2分)