2023年高中数学《等差数列》教案6苏教版必修

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高中数学《等差数列》教案6苏教版必修等差数列(一)

教学目标：

明确等差数列的定义，把握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；培养同学观看能力，进一步提高同学推理、归纳能力，培养同学的应用意识.

教学重点：

1.等差数列的概念的理解与把握.

2.等差数列的通项公式的推导及应用.

教学难点：

等差数列“等差”特点的理解、掌握和应用.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

上两节课我们共学生习了数列的定义及给出数列的两种办法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子

Ⅱ.讲授新课

1，2，3，4，5，6；①

10，8，6，4，2，…；②

21，2112，22，2212，23，2312，24，2412，25③

2，2，2，2，2，…④

首先，请学生们认真观看这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导同学乐观思量，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）

数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：an＝n(1≤n≤6).

数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an＝12－2n(n≥1).

数列③是一递增数列，后一项总比前一项多12，其通项公式为：an＝2022＋12

n（1≤n≤9)数列④的通项公式为：an＝2(n≥1)是一常数数列.

综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？

它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.

也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.

1.定义

等差数列：普通地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，12

，0.2.等差数列的通项公式

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

(n－1)个等式?????a2－a1＝da3－a2＝d

a4－a3＝d…an－an－1

＝d

若将这n－1个等式左右两边分离相加，则可得：an－a1＝(n－1)d即：an＝a1＋(n－1)d

当n＝1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式.

或者由定义可得：a2－a1＝d即：a2＝a1＋d；a3－a2＝d即：a3＝a2＋d＝a1＋2d；a4－a3＝d即：a4＝a3＋d＝a1＋3d；……；an－an－1＝d，即：an＝an－1＋d＝a1＋(n－1)d

看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.

如数列①：an＝1＋(n－1)×1＝n(1≤n≤6),

数列②：an＝10＋(n－1)×(－2)＝12－2n(n≥1),

数列③：an＝22＋(n－1)12＝2112－12

n(n≥1),数列④：an＝2＋(n－1)×0＝2(n≥1)

由通项公式可类推得：am＝a1＋(m－1)d，即：a1＝am－(m－1)d，则：

an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.

如：a5＝a4＋d＝a3＋2d＝a2＋3d＝a1＋4d

3.例题讲解

［例1］(1)求等差数列8，5，2…的第20项.

分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.

解：由题意可知：a1＝8，d＝5－8＝2－5＝－3

∴该数列通项公式为：an＝8＋(n－1)×(－3)，即：an＝11－3n(n≥1)，当n＝20时，则a20＝11－3×20＝－49.

答案：这个数列的第20项为－49.

(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?假如是，是第几项?

分析：要想推断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an＝－401.

解：由题意可知：a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4,

∴数列通项公式为：an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

令－401＝－4n－1，解之得n＝100.

∴－401是这个数列的第100项.

［例2］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.

解：由题意可知，???a1＋4d＝10①

a1＋11d＝31②

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝－2，d＝3.

即这个等差数列的首项是－2，公差是3.

［例3］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.

思路一：按照等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则按照题意可得：???a1＋4d＝10

a1＋14d＝25

这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝4，d＝32

.∴这个数列的通项公式为：an＝4＋32×(n－1)，即：an＝32n＋52

.∴a25＝32×25＋52

＝40.思路二：若注重到已知项为a5与a15，所求项为a25，则可直接利用关系式an＝am＋(n－m)d.这样可简化运算.

解法二：由题意可知：a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d,

∴10d＝15.

又∵a25＝a15＋10d，∴a25＝25＋15＝40.

思路三：若注重到在等差数列{an}中，a5，a15，a25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.

解法三：在等差数列{an}中，a5，a15，a25成等差数列

∴2a15＝a5＋a25，即a25＝2a15－a5,

∴a25＝2×25－10＝40.

［例4］已知等差数列{an}中，a15＝33，a45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.

分析：这是一个探究性问题，但因为在条件中已知道两项的值，所以，在求解办法上，可以考虑运用方程思想求解基本量a1和d，也可以利用性质求d，再就是考虑运用等差数列的几何意义.

解法一：由通项公式，

知???a15＝a1＋14d＝33

a45＝a1＋44d＝153得：???a1＝－23

d＝4

由217＝－23＋4(n－1)，得n＝61.

解法二：由等差数列性质，得a45－a15＝30d＝153－33，即d＝4

又an＝a15＋(n－15)d，217＝33＋4(n－15)，解得n＝61.

解法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点

因为P（15，33），Q（45，153），R（n，217）在同一条直线上.

故有153－3345－15＝217－153n－45

，解得n＝61.评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.假如已知两个条件，就可以列出方程组解之.假如利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要按照详细问题详细分析.

［例5］已知数列{an}为等差数列，a3＝54，a7＝－34

，求a15的值.解法一：利用通项公式，设数列{an}的首项为a1,公差为d

则???a1＋2d＝54a1

＋6d＝－34解之得???a1＝94d＝－12a15＝a1＋14d＝94＋14×(－12)＝－194

解法二：利用等差数列的性质a7＝a3＋4d把已知条件代入,得：d＝－12

∴a15＝a7＋(15－7)d＝－194

.解法三：∵{an}为等差数列，

∴a3,a7,a11,a15……也成等差数列

由a3＝54，a7＝－34

知上述数列首项为54

，公差为－2∴a15＝54＋(3－1)·（－2）＝－194

［例6］两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？分析：明显，已知的两数列的全部相同的项将构成一个新的数列{an}，这样问题就转化为一个讨论数列{an}的项数问题了.

解法一：设已知的两数列的全部相同的项将构成的新数列为{cn}，c1=11,

又数列5，8，11，……的通项公式为an＝3n＋2，数列3，7，11，……的通项公式为bn＝4n－1.∴数列{cn}为等差数列，且d＝12.∴cn＝12n－1

又∵a100＝302，b100＝399，∴cn＝12n－1＜302

得n≤2514

，可见已知两数列共有25个相同的项.解法二：∵an＝3n＋2，bn＝4n－1，设an＝bm

则有3n＋2＝4m－1(n，m∈N*)，即n＝43

m－1(n，m∈N*)要使n为正整数，m必需是3的倍数.

设m＝3k(k∈N*)，代入前式得n＝4k－1

又∵1≤3k≤100，且1≤4k－1≤100，解得1≤k≤25

∴共有25个相同的项.

［例7］一个首项为23，公差为整数的等差数列，假如前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？

解：由???23＋（6－1）d＞023＋（7－1）d＜0

得－4.6＜d＜－236答案：－4Ⅲ.课堂练习

课本P34练习1，2，3

1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

分析：按照所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：按照题意可知：a1＝3，d＝7－3＝4.

∴该数列的通项公式为：an＝3＋(n－1)×4，即an＝4n－1(n≥1，n∈N*)

∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.

评述：关键是求出通项公式.

（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.

解：按照题意可知：a1＝10，d＝8－10＝－2.

∴该数列的通项公式为：an＝10＋(n－1)×(－2)，即：an＝－2n＋12，

∴a20＝－2×20＋12＝－28.

评述：要注重解题步骤的规范性与精确     性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？假如是，是第几项？假如不是，说明理由.分析：要想推断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.

解：按照题意可得：a1＝2，d＝9－2＝7.

∴此数列通项公式为：an＝2＋(n－1)×7＝7n－5.

令7n－5＝100，解得：n＝15,

∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－312

，－7，……的项？假如是，是第几项？假如不是，说明理由.解：由题意可知：a1＝0，d＝－312

∴此数列的通项公式为：an＝－72n＋72

令－72n＋72＝－20，解得n＝477

由于－72n＋72