2022届高考数学一轮复习第5讲基本初等函数考点讲义含答案

基本初等函数

一、指数与指数函数

(一)指数式的化简与求值

1、化简原则：①化根式为分数指数累；

②化负指数累为正指数哥；

③化小数为分数：

④注意运算的先后顺序。

提醒：有理数指数基的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算。

2、结果要求：①题目以根式形式给出，则结果用根式表示；

②题目以分数指数基形式给出，则结果用分数指数幕形式表示；

③结果不能同时含有根式和分数指数累，也不能既有分母又有负分数指数累。

例1T.已知则化简1片的结果是(兀

A、-J1-4aB、—V4ci—1C、J44—1D、Jl-4〃

D

y(4"l)2=y(l_4t)2,故选D。

变式l-L化简口•妫的结果是()o

A、-y[a^B>—y1—a5C、yl-a5D>yl-a2

B

2JI5____________

*.*tz<0,则y[--a-\[a=(一a)2♦=一(一a)，♦(-a)，=-(一=-⑷(-a),=-yj-a5,故选B。

_23_3

22

变式1-2.已知％+%7=3,求下列各式的值：(l)x'+x"；(2)X+X~;(3)4-X2o

X11_1_11_1

(1)V(x2+xI)?=(—)2+2一，+(x5)2=X+%T+2=5,/.+x=±亚,

_L_1

又由x+x"=3得x>0,，/+x*=遥；

(2)X2+X-2=(X+X-1)2-2=7；

3_3।」1」_L!__!_!1_i

2--

(3)工5+/5=(/)3+(-3)3=+x-2)[(X2)-X2.x2+(x2)2]=(工]十%.)[(工+%-1)一」

=V5(3-1)=2V5o

(二)指数函数的图像和性质

1、定义：一般地，函数=/(。>0且QW1)叫做指数函数，其中X是自变量。

2、图象和性质:

a>10<a<1

必过第一、二象限及y轴正半轴必过(0,1)点，渐近线为x轴

'：图形都是下凹的，都是无界函数定义域为R,值域为(0,+8)____________________

异性在R上是增函数_________________________在7?上是减函数__________________________

(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线。

①当0<a<l时，x->+00,/(x)f0；a的值越小，图像越靠近y轴，递减的速度越快。

②当a>1时，xf-8,/(x)-0；。的值越大，图像越靠近〉轴，递增的速度越快.

⑵画指数函数f(x)=a*(a>0且awl)的图像，应抓住三个关键点：(1,a)、(0,1)、(-1,-)»

a

注意：与指数函数有关的函数的图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图

象。一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解。

⑶熟记指数函数/(x)=10、、f(x)=2\"X)=(')x、/(x)=(g)1在同一坐标系中图像的相对位置，由此掌握

指数函数图像的位置与底数大小的关系。

(4)在有关根式、分数指数幕的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或

用换元法转化为方程来求解。

(5)比较指数基值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等。是用指数函数的单调性，还是用基函数的单调性。

要注意指数函数图象和基函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)，

还应注意中间量0、1等的运用。

注意：(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，值域为大于0的实数集合，这里的前提是。大于0,对于a不大

于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2)可以看到一个显然的规律，就是当。从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别

接近于y轴与x轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于y轴的正半轴与x轴的负半轴的单调递增函数

的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

例1-2.函数/(x)=/—a(a>0且"1)的图象可能是()。

C

必过定点(1,0)，由/⑴=0可知选C。

例1-3.函数=/(Q>0月.QW1)必过点。

(0,1)

4°=1,则/(X)=〃必过点(0,1)。

变式1-3.函数/(x)=ax-2(a>0且aH1)必过点。

(2,1)

a0=l,则f(x)=ax-2必过点(2,1)o

变式1-4.函数/(x)=ax+2+3(a>0且awl)必过点。

(-2,4)

。贝x+2必过点。

a=1,ijj\x)=a(-2,4)

例1-4.函数/(x)=(；)匚口力的单调递增区间是()。

A、［-1,2］B、C、［0,1］D、［1,2］

D

令f=—，+'+220,得函数/(x)的定义域为［-1,2］,.•〃在［—1,；］上递增，在［；,2］上递减，

又(；)'为减，根据同增异减/(x)的单调增区间为［；,2］,故选I)。

例1-5.求下列函数的定义域、值域：

⑴/(x)=8口；(2)/(x)=/1一(；『；⑶/(》)=3词；(4)/(x)=^1(a>0且a")。

(1)V2x-\^0,则xxg,.•.原函数的定义域是｛x|xeR且xr；｝,

令，=-----,贝Ufx0,t&R)

2x—1

・・./a)=8'(rwO,rwH)得y>0且ywl,・••原函数的值域是｛川歹>0且ywl｝；

(2)Vl-(-1)x>0,则xNO,.•.原函数的定义域是［0,+oo)；

令/=1一(%>0),贝|JO4<1,

.•./(。=〃在［0,1)是增函数，,04、<1,；.原函数的值域是［0,1);

(3)原函数定义域是R,

令f=-|x|,则140,/(f)=3'在(-8,0］是为为增，.•.0<»41,，原函数值域是(0,1］；

(4)原函数定义域是A,由》=昨4(。>0且axl)得标=—四，

a+1y-1

解得...原函数值域是(―1,1)。

(三)指数函数的综合应用

例1-6.设a=4°9,b=SMS,5,则〃、b、c的大小关系为（）。

A、a>b>ca>c>bC、b>c>aD、c>a>b

B

a=2%b=2'M,c=2",•.•了=2'在/?上是单调递增函数，，4>,>分，故选B。

999119

例1-7.已知P=苗，0=3万，那么尸、。的大小关系是（）。

A、P>QB、P=QC、P<QD、无法确定

B

p999990

VP>0,0>O,A—=—x—=1,AP=Q,故选B。

例1-8.设函数(a>0且arl),/⑵=4,则().

A./(-2)>/(-1)B、/(-2)>/(2)C、/(-1)>/(-2)D,/(1)>/(2)

A

•.•/(2)=4，."=；，/(x)=2w,A/(-2)>/(-1),故选A。

例1-9.当时，证明函数〃幻=也口是奇函数。

ax

由优—1W0得，xwo,故函数定义域&|X£凡xwO｝关于原点对称,

又…空(a-x+l)-ax\+ax

=-/(x)，

(尸-1)-。*\-ax

/'（-x）=-f（x），二函数/（x）=》已是奇函数。

a-1

二、对数与对数函数

（一）对数及其运算

1、一般地，对于指数式/=N,我们把“以。为底N的对数6"记作6=log“N（。>0且。工1）。其中a叫做对

数的底数，N叫做真数。

对数函数的一般形式为/（x）=log“x（。>0且。力1）,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于

。的规定，同样适用于对数函数。

注意：=6=log“N（a>0且arl）的关系是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活

运用。

下图给出对于不同大小。所表示的指数函数和对数函数的图形：

图像a>b>\\>a>b>Q

2、对数的运算规律：(。、b、c>0且。、b、cwl,Af>0,N>0)

⑴logq1=0,log"=l,2。"=N,log"'=N；

M

⑵log.MN=log“M+log.N,log—=log”M一Iog“N；

rtN

1〃

⑶log//>=—logb,log,,h"="log“h,log,h"=—logb；

mama

(4)log„b=?勤=用=芈=—；推广logflb-logAc,log,,d=logad。

logcaIgaInalogAa

注意：在运用k>g“6"=〃-logab时，在无6>0的条件下应为log.，'=〃log«|6|(〃eN+且〃为偶数)。

3、几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为a(a>0且a#1)log2

常用对数底数为101gN

自然对数底数为e=2.71828…InN

4、对数式的化简与求值

对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式

化简时，必须保证恒等变形。利用对数运算法则，在真数的积、商、哥与对数的和、差、倍之间进行转化。

例2-1.求值：⑴史良2；⑵(lg5)2+lg50/g2；(3)ilg—--lgV8+lgj245«

log,32493

log233

⑵原式=(lg5)2+lg(10x5)-lg(10^5)=(lg5)2+(1+Ig5)-(l-lg5)=(lg5)2+l-(lg5)2=1；

(3)法一：原式=；(51g2-21g7)-：x；lg2+；(21g7+lg5)=[lg2-lg7-21g2+；lg5

=1(lg2-Flg5)=|lglO=l；

法二：原式=lg**-lg4+lg7jj==1gV10=；o

例2-2.求值：(1)若2"=5〃=10,求工+工的值；(2)若x/og34=l,求甲+平*的值。

ab

(1)由已知a=log210,b=log510,则,+工=Ig2+lg5=lgl0=1；

ab

log43|08J3

(2)由已知x=log43,则4、+4r=4+4-=3+-=—,

33

变式2-1.关于x的方程log2(x-l)=2-log2(x+1)的解为。

亚

原式化简为log,(x-1)=log?」一，B|Jx-1=--»解得x=(负值舍去)，；.x=。

X+1X+1

变式2-2.已知函数/(x)=lgx,若=则/(/)+/仙2)=。

2

由/伍6)=1得lg(ab)=l,ab=\0,则=&/什磔/)=怆伍2&2)=怆。。2)=2。

(二)对数函数的图像及其性质

1、对数函数的图像

a>10<a<l

y

4-1y=logaX=1

图像

-0公。)欠1

1yTogoX

必过第一、四象限及X轴正半轴必过(1,0)点，渐近线为y轴

共性

都是无界函数定义域为(0,+8),值域为R

异性在R上是增函数，图形都是上凸的在R上是减函数，图形都是下凹的

2、对数函数比较大小

对数函数值大小的比较一般有三种方法：

①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底。

②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”、“1”或其他特殊值进行“比较传递”。

③图像法，根据图像观察得出大小关系。

④作差或作商法。

3、对数函数与指数函数的关系

指数函数互为反函数对数函数

/(X)=/(Q>0且4W1)x->y,yxg(x)=log,,x(a>0且awl)

若指数函数》=优转化成对数函数X=4"但这么写不符合函数形式，就把X="命名为y=10g“X

j/,/\

LX^=11x-\

三

7W5R

；y=lOgaX

J10<。<1

a>a>\0<ta<1a>\C\<a<\

指数函数的图像与对数函数的图像关于直线y=x轴对称，即互为反函数的图像关于直线y=x轴对称

例2-3.设a=log32,6=In2,c=52,则()。

A、a>b>cB、a>c>bC、b>a>cD、b>c>a

c

法一：a=log32=-----,A=In2=------,2<e<3,1<log2e<log23,a<h,

log23log2e

」1r

2

c=5=,而J5>2=log24>log23c<a,综上故选C。

法二：a-log32=---，b=In2=---，1<log2e<log23<2,

log23log2e

.iii1ii.,

..—<-----<-----<1,c=5**=—f=<—f==-,••b>a>c,故选C。

2log23log2eV5V42

变式2-3.设a=log32,b=logs2,c=log23,则()«

A、a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>a>b

I)

AIC1I11log25Tog，3、八、八

a-b-log,2-log,2=------------=—----->0,a>b,

log23log25log,3-log25

c=log23>1,a<\,b<\,c>a>b,故选D。

4、对数函数的图像与性质及应用

研究对数型函数的图像时，一般从最基本的对数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函

数的图像。

例2-4.作出下列函数的图像：

①〃x)=lgx,f(x)=lg(-x),/(x)=-lgx；②/(x)=lg|x|；③/(x)=-l+lgx。

例2-5.已知函数/(x)=loga(x+l)(a>0且awl),若当xe(-1,0)时,f(x)<0,则/(x)在定义域上是()。

A、减函数B、增函数C、常数函数D、不单调的函数

B

Vxe(-l,0),即x+le(0,l)时/(x)<0,：.a>\,/(x)在(-1,+8)上是增函数，故选B。

例2-6.求下列函数的定义域、值域及单调区间：

1

⑴/(x)=log|(4-x)；⑵/(x)=log2(%2)；(3)/(x)=——；(4)/(x)=Iog7—^―»

-log2xi-3x

(1)由4-x>0得x<4,...定义域为(-8,4),值域是R,

又0<；<1,二单调递增区间是(-8,4),无单调递减区间；

(2)由得XHO,.•.定义域为{X|XGR且XMO},值域是R,

又2>1,.•.单调递增区间是(0,+8),单调递减区间是(-8,0)；

(3)log2XW0且x>0,...定义域为(0,l)U(l,+oo)，值域是(YO,0)U(0,+8)，

根据复合函数单调性性质可知无单调递增区间，单调递减区间是(O,1)U(1,+8)；

(4)」「>0,...定义域为(-8」)，值域是我，

l-3x3

根据复合函数单调性性质可知无单调递减区间，单调递增区间是(-«)，!)。

变式2-4.求函数f(x)-log(3-MX2的定义域。

由得xwO,由3-x>0且3-xw1得x<3且xw2,...定义域为｛x|x<3且x*0且x片2｝。

变式2-5.已知/(x)=a*,g(x)=logaX知>0且"1),若/(3>g(3)<0,则/(x)与g(x)在同一坐标系内的图

像可能是()。

C

/(3)=/>o,g(3)=log„3<0,0<a<1,故选C。

变式2-6.已知/(x)=log“(优—1)("0且a"),求/(x)的定义域并判断/'(X)的单调性。

由a*-1>0得a*>1,当a>1时x>0,当0<a<1时x<0,

.•.当a>1时/(%)的定义域为(0,+8),当0<a<1时/(x)的定义域为(-8,0),

当4>1时在(0,+8)上任取X］、X2，设0<.<巧，则1</'<4*,

V,X1V|t2

0<a-1<a-1,/.log„(a-l)<loga(a'-1),/(xj</(x2),

，当a>l时/(x)在(0,+8)上为单调递增函数。

同理，当0<。<1时，/(x)在(-oo,0)上为单调递增函数。

三、塞函数

(一)幕函数的定义：一般地，形如〃x)=x"(aeR)的函数称为基函数，其中a为常数。

1、判断基函数需：①系数为1,②底数为变量x,③指数为一常数，④后面不加任何项。

例如：/(x)=3x-2,/(x)=x*+l,/*)=产+1均不是幕函数，再者注意与指数函数的区别，例如:

/(x)=x2是塞函数，/(x)=2、是指数函数。

2、由于幕函数的解析式中只含有一个参数a,因此只需一个独立的条件即可确定其解析式，当已知幕函数经过某

一点时，可采用待定系数法求出解析式。

例3T.已知点(4,3石)在基函数“X)的图像上，求/⑴的解析式。

设〃x)=x",则3百=(空)"，解得a=_3,.../(XQXT。

变式3-1.已知函数/(x)=(〃/+2相-2)x'"2+2〃-6是基函数，求/(x)的解析式。

tn2+2m-2=1,2/7-6=0,可求〃？=-3或机=1,〃=3,/.f(x)=x-1/(x)=x3o

例3-2.已知基函数/（%）=（/_〃?—I）X-5〃T在@+8）上是增函数，则加二（）。

A、-1B、2C、-1或2D、3

A

〃广—"2—1=1,解得〃2=2或〃2=—1,

当加=2时/（X）=%T3在®+8）上是减函数，

当加=-1时/（工）=%2在（0,+8）上是增函数，，〃2=-1,故选A。

变式3-2.已知函数/（口=（m2一加—1）r5吁3,当相为何值时，/（x）：①是基函数；②是嘉函数，且在（0,+00）上

的减函数；③是正比例函数；④是反比例函数；⑤是二次函数。

①幕函数：则加2一加一1=1,解得加=2或加=一1,，/（工）=工2或/（x）=%73；

②幕函数：加=2或加=一1；又在（0,+8）上为减函数，则加=一1,・・・/（%）=/13；

③正比例函数：一5加一3=1,解得优=一［,/（x）=f；

④反比例函数：-5心-3=-1,解得m=-*,；./（x）=xT；

⑤二次函数：-5m-3=2,解得机=-1,，/（X）=n2。

（二）嘉函数的图像和性质

1、图像分类：①直线型：。=0或1；②抛物线型：0＜。＜1或。＞1；③双曲线型：。＜0。

③任何两个基函数最多有三个公共点。

0<4<1和4>1的幕函数在区间［0,+00)上的性质：

。<0的基函数在区间(0,+8)上的性质：

①必经过两个点(0,0)和(1,1)；

②都是递增函数；

①必经过(1,1)点；

异性③事函数与直线y=x有如下关系：

②都是递减函数；

0cx<1x>1

③图像向上与y轴正向无限接近，向右与

a>1在y=x的下方在y=x的上方

X轴正向无限接近。

0<Qvl在丁二x的上方在y=x的下方

3、幕函数规律总结

(1)在研究事函数的性质时，通常将分式指数事化为根式形式，负整指数累化为分式形式再去进行讨论；

(2)对于基函数/(x)=x",我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图像的位置，即所在象限，

其次确定曲线的类型，即。<0,0<。<1和。>1三种情况下曲线的基本形状，还要注意。=0,±1三个曲线的形

状；对于基函数在第一象限的图像的大致情况可以用口诀来记忆：”正抛负双，大竖小横”，即。>0(。声1)时图

像是抛物线型；时图像是双曲线型；“>1时图像是竖直抛物线型；时图像是横卧抛物线型。

(3)曲线在第一象限的凹凸性：。>1时，曲线下凸；0<a<l时;曲线上凸；。<0时，曲线下凸。

例3-3.已知基函数y=x"'2-2"，-3(,〃wZ)的图像与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则〃?=().

A、一1或2B、0或1C、0或2D、3

C

；原函数图像与x轴、y轴都无交点，〃/一2/»-340,即一14m43,

又函数图像关于原点对称，，加2-2〃?-3是奇数，，机=0或加=2,故选C。

变式3-3.已知函数/&)=(成2+m)£"2-2〃,-3,当机为何值时，“X)在第一象限内的图像是上升曲线。

22

m+m>0S.m-2m-3>0,解得：me(-oo,-l)U(3,+oo)o

例3-4.请把相应的幕函数图像代号填入表格。

21341

®y=x3；®y=x~2；®y=x2；®y=x~］；(§)y=x3；@y=x2；@y=x3；®y=x2；⑨y二一。

*飞»

Ic

函数代号123456789

图象代号i।n।iiiii

、0~，|6*p

GH1

利用上述规律，可很快地得出答案：E、C、A、G、B、I、D、H、F°

_2582i

例3-5.分别画出：①y=x27,®y=xg，©y=x21④y=n的大致图像。

①分段函数歹=x2'：x>0

-x2,x<0

33

②>=1十二一先作y二士的图像，再向右平移1个单位，在向上平移1个单位;

x-1x

③先作y=10g2X的图像，再将其图像向下平移1个单位，保留X轴上方的部分,

将X轴下方的图像翻折到X轴上方；

④先作出夕=2,的图像，保留xNO部分，再关于y轴对称得到》=2忖图像，

然后右移一个单位。

变式3-5.作函数/(幻=工的大