2022届高三数学二轮复习-概率与统计大题训练-

2022届高三数学二轮复习大题训练（11）

（概率与统计）

1.某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4

个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小

球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等

级：

摸取到的红球个数234

中奖等级三等奖二等奖一等奖

（1）求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；

（2）若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，

可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球

有奖活动的合理性.

2.高压钠灯使用时发出金白色光，具有发光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优

点，广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处等地方.现在某公园中心树立有

一灯杆，杆上装有6盏高压钠灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常

照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为寿命为2年以上的概率

为P2,从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

（1）在第一次灯泡更换工作中，求：

①不需要换灯泡的概率；

②更换2只灯泡的概率；

（2）当外=0.8,02=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只灯泡的概率

（结果保留两个有效数字）.

3.口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器.独奏口琴有

三种，分为半音阶口琴（有按键）、复音口琴、十孔

口琴（又名布鲁斯口琴、蓝调口琴）.“口琴者联盟”

团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者

的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广

泛调查.“口琴者联盟”团队随机调查了200名口琴

爱好者每周的练琴时间X（单位：小时）并绘制如图

所示的频率分布直方图.

（1）由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间X服从正态分布N（〃0,），其中

〃近似为样本平均数亍，/近似为样本方差$2（同一组的数据用该组区间中点值代表），

据此，估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数；

（2）从样本中练琴时间在［0.5,1.5）和［5.5,6.5）内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8

人，再从这8人中随机抽取4人进行培训，设丫表示抽取的4人中练琴时间在［5.5,6.5）内

的人数，求丫的分布列和数学期望.

参考数据：样本方差S2=1.78,Vl?78«-.

3

尸(〃一cr<X,,"+。)=0.6827,尸(//一2。<X,,〃+2a)=0.9545,P(ju-3cr<X”〃+3cr)=0.9973.

4.某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为：

从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零

件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1,且每件零件是否为不

合格零件之间相互独立.

（1）若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率：

（2）已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修

复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零

件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8,记X为生产一件

零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.

5.某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第A(A=1,

2,100)个箱子中有A个数学题，100-4个物理题.每一轮竞赛活动规则如下：任选一个

箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活

动中，三个题目全部答对获得一个奖品.

(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题

的概率为p,答对每一个物理题的概率为q.

①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；

②已知p+q=l,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？

并求此时p,q的值.

(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.

6.某种电子玩具启动后，屏幕上的L£D显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动前，用户可对

R(O<R<1)赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为P1,亮起绿灯的概率为1-目.随后

若第次亮起的是红灯.，则第”+1次亮起红灯的概率为1,亮起绿灯的概率为2；若

33

第n次亮起的是绿灯，则第”+1次亮起红灯的概率为2,亮起绿灯的概率为1.

33

(1)若输入网=3,记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X,求X的分布列和数学

期望；

(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间(32,3内，则玩具会自动

20212

唱一首歌曲，否则不唱歌.现输入则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

2022届高三数学二轮复习大题训练(11)

(概率与统计)

1.某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4

个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小

球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等

级：

摸取到的红球个数234

中奖等级三等奖二等奖一等奖

(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；

(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，

可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球

有奖活动的合理性.

【解答】

(1)设一次摸球有奖活动中中奖为事件A,

则事件A包含的基本事件有：C；C：+C：C：+C：屋=115,

基本事件总数为：C,；=210..-.P(A)=—=—,

21042

.•・游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为乌；

42

(2)设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为X,X可以取0,15,20,200,

33IQC2C23

P(X=0)=l--=—,P(X=15)=-^=-

424207f

C3C}4C41

P(X=20)=-4^=—,P(X=200)=-^=——，

C*35C：＞210

故X的分布列为：X01520200

19341

p

427352W

X的数学期望E(X)=0x2+15x3+20x"+200x」-=出，

4273521021

由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值E(X)=垩＜10,

所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.

2.高压钠灯使用时发出金白色光，具有发光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优

点，广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处等地方.现在某公园中心树立有

一灯杆，杆上装有6盏高压钠灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常

照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为“，寿命为2年以上的概率

为外,从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

(1)在第一次灯泡更换工作中，求：

①不需要换灯泡的概率；

②更换2只灯泡的概率；

(2)当月=0.8,〃2=03时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只灯泡的概率

(结果保留两个有效数字).

【解答】

(1)该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为外，

①在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p：.

②在第一次更换灯泡工作中，需要更换2只灯泡的概率为网)2.

(2)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，

在第1,2次都更换了灯泡的概率为(1-8)2,

在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p,(l-p2),

・••在第二次灯泡更换工作，对其中某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率为：

至少更换5只灯泡包含更换6只和更换5只两种情况，

・•.至少更换5只灯泡的根据为p6+C：/(l-p),

当口=0.8,时，在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只灯泡的概率为：

P=0.66+0-66+C1x0-65x(l-0.6)=0.23328=0.23.

3.口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器.独奏口琴有

三种，分为半音阶口琴（有按键）、复音口琴、十孔

口琴（又名布鲁斯口琴、蓝调口琴）.“口琴者联盟”

团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者

的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广

泛调查.“口琴者联盟”团队随机调查了200名口琴

爱好者每周的练琴时间X（单位：小时）并绘制如图

所示的频率分布直方图.

（1）由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间X服从正态分布N（〃0,），其中

〃近似为样本平均数亍，/近似为样本方差$2（同一组的数据用该组区间中点值代表），

据此，估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数；

（2）从样本中练琴时间在［0.5,1.5）和［5.5,6.5）内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8

人，再从这8人中随机抽取4人进行培训，设丫表示抽取的4人中练琴时间在［5.5,6.5）内

的人数，求丫的分布列和数学期望.

参考数据：样本方差S2=1.78,Vl?78«-.

3

尸(〃一cr<X,,〃+。)=0.6827,尸(//~2cr<X,,//4-2a)=0.9545,P(〃-3cr<X”〃+3cr)=0.9973.

【解答】

(1)这200名口琴爱好者每周的练琴时间的平均时间

x=1x0.03+2x0.1+3x0.2+4x0.35+5x0.19+6x0.09+7x0.04=4,

由题意知〃=4,cr2=1.78,.♦.X~N(4,1.78),

0-=>/1?78®-,4-3=号小时=160分钟，4+9=3小时=320分钟，

33333

44

P(4--<X,,4+-)=0.6827,10000x0.6827=6827,

可以估计1万名口琴爱好者每周练琴时间在160分钟到320分钟的人数约为6827人;

(2)由频率分布直方图可知，

成绩在。5,1.5),[5.5,6.5)内的口琴爱好者人数比例为0.03:0.09=1:3,

用分层抽样的方法抽取8人，

则成绩在。5,1.5)内的有2人，成绩在[5.5,6.5)内的有6人，

的所有可能取值为2,3,4,

则P(y=2)=^4^=三，p(y=3)=*=M,P(y=4)=-^=—,

C；14C：7C：14

Y234

343

P

14714

343

ife£(y)=2x—+3x-+4x—=3.

14714

4.某工厂对一批零件进行质量检测.具体检测方案为:

从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到有2件不合格零件时，停止检测，此批零

件检测未通过，否则检测通过.假设每件零件为不合格零件的概率为0.1,且每件零件是否为不

合格零件之间相互独立.

(1)若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率：

(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为150元/件，现对不合格零件进行修

复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以10元/件按废品处理，若每件零

件的修复费用为20元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为0.8,记X为生产一件

零件获得的利润，求X的分布列和数学期望.

【解答】

(1)若此批零件检测未通过，恰好检测5次，

则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，

故恰好检测5次的概率/^仁*0.1x(1-0.1)3x0.1=0.02916.

(2)由题意可得，合格产品利润为70元，

不合格产品修复合格后利润为50元，

不合格产品修复后不合格的利润为-90元，

则X可取70,50,-90.

故P(X=70)=0.9,

P(X=50)=0.1*0.8=0.08,

P(X=-90)=0.1x0.2=0.02,

故X的分布列为：

X7050-90

p0.90.080.02

ME(X)=70x0.9+50X0.08-90x0.2=65.2(元).

5.某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，其中第A(A=1,

2,100)个箱子中有A个数学题，100-4个物理题.每一轮竞赛活动规则如下：任选一个

箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活

动中，三个题目全部答对获得一个奖品.

(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题

的概率为p,答对每一个物理题的概率为q.

①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；

②已知p+q=\,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？

并求此时p,q的值.

(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.

【解答】

(I)①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件A,则P(A)=p2q.

②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为P=p2q=/(1-p)=-p3+p2,

2

令/(M-xW,xe[0)1],=-3x+2x=-3x(x--).

当时，r(x)>o,当(<x<i时，r(x)<o,

.•./。)在[0,§上单调递增，在g,1]上单调递减，f(x),，皿=/1($=《，

即。=|时，/=-(!)、+命=:，

学生甲在〃轮活动中获得奖品的个数4~p),由(呼)〃蛆=4,解得九=27,

理论上至少要进行7轮游戏，此时p=2,q=L

33

(2)设选出的是第％个箱子，连续三次取出题目的方法数为100(100-1)(100-2),

设数学题为M，物理题为W,第三次取出的是物理题W有如下四种情形：

(W,W,W)取法数为(100-%)(100-%-1)(100-％-2),

(.W,M,W)取法数为(100—6(100—左一1),

(M,W,W)取法数为-100-6(100-女一1),

(M,M,W)取法数为左伙-1)(100-%),

从而第三次取出的是物理题的和数为：

(100_后)(100_&-1)(100_Z_2)+%(100_左)(100_A_1)+%(100—％)(100—A:_1)+左(左-1)(100_左)

=(100-1)(100-2)(100-*),

则在第2个箱子中第三次取出的是物理题的概率为《=w上小，

而选到第k个箱子的概率为—,

100

二乙第三次抽到物理题的概率为：

!«•11^100-A:11鸟“八八，、150x9999

而？loo.而一丽石_一而用’-loo?一砺.

6.某种电子玩具启动后，屏幕上的显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动前，用户可对

月(0＜月＜1)赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为“，亮起绿灯的概率为1.随后

若第w(〃eN")次亮起的是红灯，则第〃+1次亮起红灯的概率为亮起绿灯的概率为2；若

33

第n次亮起的是绿灯，则第〃+1次亮起红灯的概率为2,亮起绿灯的概率为1.

33

(1)若输入目=3,记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X,求X的分布列和数学

期望;

⑵在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间(黑，f内，则玩具会自动

唱一首歌曲，否则不唱歌.现输入月=g,则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

【解答】

(1)据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,

当x=o时,前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，贝|JP(X=O)=LU=-L,

23318

当X=1时,前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，

,1211221124

则HllPD(/Xv=1)n=—X—X—十—X—X—+—x-x—=一,

2332332339

当X=2时,前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或