高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证明一、核心知识1.合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。2.演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。(2)演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。（1）综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。（3）反证法的思维方法:正难则反．．．．5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。二、典型例题例1.已知，猜想的表达式为（B）A.；B.；C.；D..例2.已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有例3.已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_______________________________________=（*）并给出（*）式的证明.解：一般形式:证明：左边=== ==（将一般形式写成等均正确。）解析：用n=2代入选项判断。8.设，，n∈N，则解：，由归纳推理可知其周期是49.函数由下表定义：若，，，则4．10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）12.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理，有，即。∴成立，命题得证。13.用分析法证明：若a>0，则。答案：证明：要证，只需证。∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。∴原不等式成立。14.中，已知，且，求证：为等边三角形。解:分析：由由所以为等边三角形15．已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).[证明]由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相加得a2