高中数学-综合测试题-新人教A版必修5

PAGEPAGE4必修5综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a<b<0，则下列不等式一定成立的是()A．a2<ab<b2 B．b2<ab<a2C．a2<b2<ab D．ab<b2<a2答案B2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是()A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记a1＝3，a2＝9，…，an＝2187，…若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，an＝3＋(n－1)×6＝2187，∴n＝365.∴{an}可为等差数列．若{an}为等比数列，则公比q＝eq\f(9,3)＝3.an＝3·3n－1＝2187＝37，∴n＝7.∴{an}也可能为等比数列．答案B3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角A．钝角 B．直角C．锐角 D．60°解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2即a2＋b2－c2＝c2>0，cosC>0.答案C4．定义新运算a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≤b，,ba>b，))例如1]()A．(－∞，＋∞) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2≤2x－1，,x2<1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2>2x－1，,2x－1<1.))解得x<1.答案B5．在下列函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝cosx＋eq\f(1,cosx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))D．y＝ex＋4e－x－2解析A中当x<0时不成立，B、C中y取不到2，因此A、B、C均错，D正确．y＝ex＋4e－x－2≥2eq\r(ex·4e－x)－2＝2，当且仅当ex＝eq\f(4,ex)，即当ex＝2，x＝ln2时，取等号．答案D6．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b的范围是()A．－8≤b≤－5 B．b≤－8或b>－5C．－8≤b<－5 D．b≤－8或b≥－5解析∵4>3×3＋b，且4≤3×4＋b，∴－8≤b<－5.答案C7．已知实数m，n满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n≤4，,m－n≤2，,m＋n≤3，,m≥0，))则关于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是()A．7，－4 B．8，－8C．4，－7 D．6，－6解析两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，zmax＝7；当m＝0，n＝－2时，zmin答案A8．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)的值∴A∈(eq\f(π,6)，eq\f(π,4))．∴eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝2cosA.∴eq\f(b,a)∈(eq\r(2)，eq\r(3))．答案(eq\r(2)，eq\r(3))15．数列{an}满足a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项公式满足关系式an·bn＝(－1)n(n∈N*)，则bn＝________.解析∵a1＝3，an＋1＝2an，∴数列{an}为等比数列，且公比q＝2.∴an＝3·2n－1.又an·bn＝(－1)n.∴bn＝(－1)n·eq\f(1,an)＝eq\f(－1n,3·2n－1).答案eq\f(－1n,3·2n－1)16．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析令f(x)＝x2＋mx＋4，则f(x)的图象是开口向上的抛物线，要当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1＋m＋4≤0，,f2＝4＋2m＋4≤0，))解得m≤－5.答案m≤－5三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U＝R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,4)x2＋x＋1>0))，B＝{x|3x2－4x＋1>0}，求∁U(A∩B)．解A＝{x|3x2－4x－4<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)<x<2))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,3)，或x>1)).A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(2,3)<x<\f(1,3)，或1<x<2))，∁U(A∩B)＝{x|x≤－eq\f(2,3)，或eq\f(1,3)≤x≤1，或x≥2}．18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝eq\r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解(1)由bsinA＝eq\r(3)acosB及正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\r(3)cosB，所以tanB＝eq\r(3)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由sinC＝2sinA及eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝eq\r(3)，c＝2eq\r(3).19．(12分)已知函数f(x)＝ax2－bx＋1.(1)是否存在实数a，b使不等式f(x)>0的解集是{x|3<x<4}，若存在，求实数a，b的值，若不存在，请说明理由；(2)若a为整数，b＝a＋2，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，求a的值．解(1)∵不等式ax2－bx＋1>0的解集是{x|3<x<4}，∴方程ax2－bx＋1＝0的两根是3和4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝3×4＝12，,\f(b,a)＝3＋4＝7.))解得a＝eq\f(1,12)，b＝eq\f(7,12).而当a＝eq\f(1,12)>0时，不等式ax2－bx＋1>0的解集不可能是{x|3<x<4}，故不存在实数a，b使不等式f(x)>0的解集是{x|3<x<4}．(2)∵b＝a＋2，∴f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1.∵Δ＝(a＋2)2－4a＝a2∴函数f(x)＝ax2－bx＋1必有两个零点．又函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)·f(－1)<0，∴(6a＋5)(2解得－eq\f(3,2)<a<－eq\f(5,6).∵a∈Z，∴a＝－1.20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，问A、B两种药最多能各配几剂？解设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N*，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,y≥1，,3x＋5y≤20，,5x＋4y≤25，))作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配4剂，B种药最多配3剂．21．(12分)在△ABC中，已知eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求eq\f(a＋c,b)的范围．解(1)由eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，得eq\f(a＋b,a)＝eq\f(b,b－a)，即b2－a2＝ab，①又cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2CsinA·sinB＝sin2C，则ab＝c2.由①②知b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.所以△ABC为直角三角形．(2)在△ABC中，a＋c>b，即eq\f(a＋c,b)>1.又eq\f(a＋c,b)＝eq\r(\f(a2＋c2＋2ac,b2))≤eq\r(\f(2a2＋c2,b2))＝eq\r(\f(2b2,b2))＝eq\r(2)，故eq\f(a＋c,b)的取值范围为(1，eq\r(2)]．22．(12分)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得eq\f(amam＋1,am＋2)为数列{an}中的项．解(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，(d≠0)．由aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,5)，知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n2－6n.(2)因为eq\f(amam＋1,am＋2)＝eq\f(am＋2－4am＋2－2,am＋2)＝