2022年猿辅导高考数学模拟试卷（文）

2022

年猿辅导高考数学模拟试卷（文）⼀、选择题。（共

60

分）本题共

12

小题，每小题

5

分，共

60

分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2.已知集合

퐴

=

{푥|푥

−

1

>

0}，퐵

=

{푥∈Z|푥

⩽

3}，则

퐴∩퐵

=（）A.

[1,

3)B.

(1,

3]C.

{2,

3}D.

{1,

2,

3}1

−

6i3

−

2i复数在复平面内所对应的点位于（

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限3π1√2tan

훼3.4.已知

cos(A.

2−

훼)

+

cos(π

+

훼)

=

2，则

tan

훼

+=（））1B.

−2C.D.D.332在

△퐴퐵퐶

中，cos

퐶

=，퐴퐶

=

4，퐵퐶

=

3，则

cos

퐵

=（311129323A.B.C.5.6.已知各项均为正数的等比数列

{푎

}

的前

푛

项和为

푆

，若

푎

=

1，푆

=

푎

−

1，则

푎

=（）푛푛1456A.

27B.

32C.

64D.

81函数

푓

(푥)

=

푥

+

ln

|푥|

的图象大致是（）-1-32πD.

12π37.8.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1

∶

3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.

3πB.

4πC.

9π下图是国家统计局发布的生产资料出厂价格涨跌幅以及生活资料出厂价格涨跌幅的统计图．现有如下2

0说2

0法：①年下半年生产资料的出厂价格的环比涨幅呈现上升趋势．②可以预测，在市场平稳的前提下，2021

年

2

月生活资料出厂价格的环比可能为正数．③将

2020

年

1

月

∼2021

年

1

月生产资料出厂价格的同比涨跌幅从小到大排列后，所得的中位数为0.2%．则错误的个数为（）A.

0B.

1C.

2D.

3⎧

1{⩽(

)

−

4,푥−1已知函数

푓

(푥)

=

⎩A.

(−2,

0)，若푓

(푓

(푥))

<

0，则

푥

的取值范围为（）2⎨푥{ln(푥

+

1),

푥

>

−19.1B.

(−∞,−

1)e211C.

(−2,−

1)D.

(−2,

−1)∪(

−

1,

0)ee22-2-⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗10.

过抛物线

퐶：푦=

2푝푥（푝

>

0）焦点的直线与抛物线

퐶

交于

퐴、퐵

两点，其中

|퐴퐵|

=

8，퐴퐷

=

퐷퐵，25√圆

퐶

：푥

+

푦

−

푦

=

0，若抛物线

퐶

与圆

퐶

交于

푃、푄

两点，且

|푃푄|

=

5，则点

퐷

的横坐标′′222为

（2

）345A.B.C.D.11.

关于函数

푓

(푥)

=

|

sin

2푥|

+

|

cos

2푥|，下列结论正确的是（）A.

푓

(푥)

的最小正周期为B.푓

(푥)

的最大值为

22πC.

푓

(푥)

在

[0,]

上单调递减D.

푥

=

是

푓

(푥)

的一条对称轴48ππ112.

若函数

푓

(푥)

=

ln

푥

−

푥+

푎푥

在

푥∈[

,

e]

上有两个零点，则实数

푎

的取值范围为（）e21111A.

(1,

e

−)B.

(1,

e

+

)C.

(1,

e

−

]D.

(1,

e

+

]eeee⼆、填空题。（共

20

分）本大题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。将正确的答案填在相应的横线上。⎧⩾푥

+

푦

2,{{푦

⩾

0,⎨{13.

已知

{⩽则푧

=

푦

−

2푥的最大值为．푥

+

2푦

−

3

0,⎩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗14.

设平面向量

푎

=

(1,

−1)，푏

=

(−1,

2)，푐

=

(2,

3)，则

(2푎

−

푏)⋅푐

=．115.

(푥−

)4的展开式中常数项是．푥3푥푦16.

已知双曲线

퐶：22−22=

1

푎

>

0

푏

>

0（，）的左、右焦点分别是퐹、퐹，点

在双曲线上，且퐴푎푏12퐴퐹

⊥푥

轴，若点

퐵(3푐,

0)

使得

∠퐹

퐴퐵

=

90°，其中

푐

为双曲线

퐶

的半焦距，则双曲线

퐶

的离心率21为．三、计算题。（共

80

分）本大题共

7

小题，其中

17-21

是必做题，每小题

12

分，22-23

是选做题，每小题

10

分。根据题目要求，写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在

22,23

两题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。-3-17.

已知各项均为正数的数列

{푎

}

满足：푎

(푎

−

1)

=

푎

(푎

+

1)，푎

=

1．푎

}

的通项公式푛．푛+1푛+1푛푛1（1）求数列

{2푎

+

351푛（2）设

푏=，数列{푏

}

的前

푛

项和为

푆

，求证：⩽푆

<．푎푛푎364푛22푛푛푛푛+1

푛+2√18.

如图，三棱锥

푆

−

퐴퐵퐶

中，点

푆

在平面

퐴퐵퐶

的投影为点

퐴，퐵퐶

=

2，퐴퐵

=

2

2，∠퐶퐵퐴

=

45°，点푀、푁

分别是线段

퐵퐶、푆푀

的中点，点

푃

在线段

퐴퐵

上．（1）若

퐴푆

퐴푃

==

2퐵푃，푃푁求/

/证：퐶

푃푆퐴⊥퐶푆퐵．（2）若，平面，求四面体푆퐶푀푃的体积．-4-19.

随着工作压力的增大，很多家长下班后要么加班，要么抱着手机，陪伴孩子的时间逐渐减少，为了调查

퐴

地区家长陪伴孩子的时间，研究人员对

200

名家长一天陪伴孩子的时间进行统计，所得数据统计如图所示．（1）求这

200

名家长陪伴孩子的平均时间（[

4同0,一80组)

中的数据用该组区7间的中点值7代表）．（2）若按照分层1

抽样的方法从陪伴时间[

6在0,

80)的家长中随机抽取

人，再从

人中随机抽取2人，求至少有

人陪伴孩子的时间在的概率．（3）为了研9

9究陪伴时间的多少与家长的性别是否具有相关性，研究人员作出统计如下表所示，判断是否有

%

的把握认为陪伴时间的多少与家长的性别有关．푛(푎푑

−

푏푐)附：퐾=2，푛

=

푎

+

푏

+

푐

+

푑．(푎

+

푏)(푐

+

푑)(푎

+

푐)(푏

+

푑)2-5-420.

已知函数

푓

(푥)

=

−푥

+

(푎

+

1)푥

−

푎푥．332（1）若

푓

(푥)

在−(21,<+∞푎

)<上2

有极值，求푃(푎0,的−1取)

值范围．（2）求证：当时，过点只有一条直线与푓

(푥)的图象相切．-6-푥푦√21.

已知椭圆

퐶：22+22=

1

푎

>

푏

>

0（）的右顶点

，长轴长为푁4

2

푃，

为椭圆上一点，

为坐标原푂푎푏√√点，且

△푂

푃퐶푁

重心的横坐标为

2，△푂푃푁

的面积为

6．1（1）求椭圆

的方程．（2）直线

푙

与椭圆

퐶

交于

퐴、퐵

两点，以

푂퐴、푂퐵

为邻边作平行四边形

푂퐴푀퐵，且

푘푂퐴⋅푘푂퐵

=

−

，2试判断

|푂푀|+

|퐴퐵|

是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．22-7-⎧{

푥

=

푡22.

在平面直角坐标系

푥푂푦

中，直线

푙

的参数方程为

⎩（푡

为参数）．以原点为极点，푥

轴的非⎨{

푦

=

√3푡负半轴为极轴建立极坐标系，曲线

퐶

的极坐标方程为

휌(1

−

cos

휃)

=

2，퐴(2,)．6π（1）求曲线

퐶푙

的直角퐶坐标方程푀以푁及直线

푙

的普通퐴方푀푁程．（2）若直线

与曲线

交于、两点，求

△的面积．23.

已知函数

푓

(푥)

=

|푥

−

1|

−

2|푥

−

2|

的最大值为

푡．（1）求

푡푎的푏值．푐2푎

+

푏

+

2푐

=

3푡，求证：푎

+

푏

+

푐⩾

푡．222（2）设

、

、

均为正实数，且满足-8-参考答案与解析⼀、选择题1.

【答案】C【解析】本题主要考查集合的运算．⩽由题意퐴

퐴퐵

==

{{푥2|

푥,

3−}

1

>

0}

=

(1,

+∞)，퐵

=

{푥∈Z|푥

3}

=

{⋯

,

0,

1,

2,

3}，所以

∩．故本题正确答案为

C．2.

【答案】D1

−

6i

(1

−

6i)(3

+

2i)

15

−

16i【解析】本题主要考查复数的四则运算．由题意==，3

−

2i

(3

−

2i)(3

+

2i)1315

16其在复平面内对应的点为

(,

−

)，在第四象限．13

13故本题正确答案为

D．3.

【答案】A3π【解析】本题主要考查三角函数．√由题意

cos(−

훼)

+

cos(π

+

훼)

=

−

sin

훼

−

cos

훼

=

2，2√所以

sin

훼

+

cos

훼

=

−

2，(sin

훼

+

cos

훼)

−

11所以

sin

훼

cos

훼

=2=，221sin

훼

cos

훼所以

tan

훼

+=+tan

훼2cos

훼

sin

훼sin

훼

+

cos

훼=2sin

훼

cos

훼1=sin

훼

cos

훼=

2．故本题正确答案为

A．4.

【答案】A퐵퐶

+

퐴퐶

−

퐴퐵2【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理．因为

cos

퐶

=222=，2⋅퐴퐶⋅퐵퐶3答案解析

第

1

⻚（共

13

⻚）2所以

퐴퐵

=√퐵퐶

+

퐴퐶

−

(

×

2

퐴퐶

퐵퐶)⋅⋅3222=

√9

+

16

−

×

2

×

4

×

33√=

9

+

16

−

16=

3．퐵퐶

+

퐴퐵

−

퐴퐶又因为

cos

퐵

=2222⋅퐵퐶⋅퐴퐵9

+

9

−

16=2

×

3

×

31=．9故本题正确答案为

A．5.

【答案】B【解析】本题主要考查等比数列．设

各푞

项=

1均为正푆数+的1等=比4푎数列+

1的=公5比为푎

푞（푞

>

0），若푞

，1则41≠5，不符合题意，所以

≠

，푎

(1

−

푞

)所以

푆=4=

푎

−

1

=

푎

푞

−

1，11

−

푞44511

−

푞4=

푞

−

11

−

푞4所以，所以

1푞

−=

푞2

=

−1，所以

푎

=

푎，푞

=

2

=

3255所以61．故本题正确答案为

B．6.

【答案】D【解析】本题主要考查函数的概念与性质．因为

푓

(푥)

=

푓푥(+−

푥l

n)

|푥

|푓，(푥푓)(−+푥푓)(−=푥−)

푥

+0ln

|푥|，所以≠푓

(푥)，≠

，所以函数

푓

(푥)

既不是偶函数，푦

也不是奇函数，所以函数的图象不关于

轴对称，也不关于坐标原点对称，所

以푥

排>

0除

A

项푓

(，푥)C=项푥．+

ln

푥当时，单调递增，所以排除

B

项．故本题正确答案为

D．答案解析

第

2

⻚（共

13

⻚）7.

【答案】B432【解析】本题主要考查空间几何体．由球的体积公式

푉

=π푟

=

π得出

푟

=

2．333√根据题意假设横截面是半径为

3√的小圆，则两个圆√

锥的高分别是

1

和

3．11×

π

×

3

×

1

+

×

π

×

3

×

3

=

4π．2233所以两圆锥的体积之和为故本题正确答案为

B．8.

【答案】C【解析】本题主要考查事件与概率和随机抽样．①项，根据图（1）可知，2020

年下半年生产资料出厂价格环比涨幅先下降再上升．故①项错误．

2②项，根据图（

）可知，生活资料出厂价格的环比涨跌幅后一个月与前一个月的差价介于−0.2%∼0.4%之间，202110.2因为年月环比的涨幅为%，20212所以可以预测在市场平稳的前提下，年月生活资料出厂价格的环比可能为整数．故②项正确．③项，根据中位数的定义可知，20202年1月

∼2021年1月生产资料出厂价格的同比涨跌幅的中位数为

−2.7%．故③项错误．所以错误的说法有①③，个数为

．故本题正确答案为

C．9.

【答案】D【解析】本题主要考查函数的概念与性质．首先求⩽

解不等式

푓

(푥)

<

0

的解集：1当

푥

−1

时，解

푓

(푥)

<

0

得到

()

−

4

<

0，2푥1所以

()

<

4，2푥所以

푥−2>

<−2푥，所

以푥

>

−1⩽

−1．푓

(푥)

<

0ln(푥

+

1)

<

0当−1

<时푥

，<

0解得到，所以푓

(푥)．<

0(−2,

0)所以不푓

(等푓

(푥式))

<

0的解集为．因为

−2

<

푓

(푥)

<，01所以⩽．①当

푥

−1

时，解

−2

<

푓

(푥)

<

0

得到

−2

<

()

−

4

<

0，2푥答案解析

第

3

⻚（共

13

⻚）1所以

2

<

()

<

4，2푥所以

−푥

2>

<−

1푥

<

−1．−2

<

푓

(푥)

<

0②当时，解得到−2

<

ln(푥

+

1)

<

0，1e所以2<

푥

+

1

<

1，1e所以2−

1

<

푥

<

0．1综上所述，不等式

푓

(푓

(푥))

<

0

的解集为

(−2,

−1)∪(−

1,

0)．e2故本题正确答案为

D．10.

【答案】B【解析】本题主要考查圆锥曲线．注意到푃(抛0,物0)线

퐶

和圆

퐶

都经过坐标原点，′所以푄(푚,

푛)

，푚

>

0|푃푄|

=

푚

+

푛

=

5222设푄(푚（,

푛)

），퐶则，′⎧因为点

푚

+

푛

在=

5圆上，{225⎨22{

푚

+

푛

−

푛

=

0所以

⎩2，⎧{

푚

=

1⎨{

푛

=

2⎩所以，所以

푄2

(

1=,

22

)푝，×

1所以，即

푦

=

4，푥푝

=

2퐹(1,

0)푙푥

=

−122所以抛物线的퐴方程퐴퐴为

푙，퐴

焦点为

퐵

퐵，퐵

准푙线

：퐵，如图，过点作1⊥

于|퐴퐹点|

=

|1퐴，퐴过|

点|퐵퐹作|

=

|퐵퐵1⊥|

于点1，根据抛|퐴物퐵|线=

的|퐴퐹定|

义+

|可퐵퐹知|

=

|퐴퐴

|

+

|퐵1퐵，|1，所以

⃗퐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗

퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗퐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗11，因为퐷퐴퐵，|퐴퐴

|

+

|퐵퐵

|

|퐴퐵|所以点是的中点，所以根据梯形的中位线定理可知，点

퐷

到准线

푙

的距离为

푑

===

4，1212所以

푥+=

13

=

4，퐷퐷所以．故本题正确答案为

B．答案解析

第

4

⻚（共

13

⻚）11.

【答案】D【解析】本题主要考查三角函数．A

项，因为

푓

(푥

+)

=

|

sin(2푥

+

)|

+

|

cos(2푥

+

)|422πππ=

|

cos

2푥|

+

|

sin

2푥|=

푓

(푥)，所以

푓

(푥)

的最小正周期不为．2π故

A

项结论|错sin误2．푥|⩽

1，|

cos

2푥|

⩽

1，B

项，因为⩽所以

푓

(푥)

=

|

sin|

s2in푥|2+푥|

|

=co1s

2푥||cos22，푥|

=

1其中当且仅|

s当in

2푥|

+

|

cos

2，푥|

=

2时可取等号，22但是此푓

(时푥)

<

2，显然不成立．所以．故

B

项结论错误．C

项，当

푥∈[0,]

时，2푥∈[0,

]，42ππ√所以当

푥∈[0,]

时，푓

(푥)

=

sin

2푥

+

cos

2푥

=

2

sin(2푥

+

)，44ππ3π当

푥∈[0,]

时，2푥

+

∈[

,

]，444

4πππ所以函数

푓

(푥)

在

[0,]

不单调．4π故

C

项结论错误．D

项，因为

푓

(+

푥)

=

|

sin(2푥

+

)|

+

|

cos(2푥

+

)|，844πππ푓

(

−

푥)

=

|

sin(

−

2푥)|

+

|

cos(

−

2푥)|

=

|

cos(2푥

+

)|

+

|

sin(2푥

+

)|，84444πππππ所以

푓

(+

푥)

=

푓

(

−

푥)．88ππ所以函数

푓

(푥)

的一条对称轴为直线

푥

=．8π故

D

项结论正确．故本题正确答案为

D．12.

【答案】C【解析】本题主要考查函数与方程．令

푓

(푥)

=

0

得到

ln

푥

−

푥+

푎푥

=

0，2ln

푥1所以

푎

=

푥

−，푥∈[

,

e]，푥eln

푥1令

푔(푥)

=

푥

−，푥∈[

,

e]，푥e1

−

ln

푥

푥

+

ln

푥

−

1所以

푔(푥)

=

1

−=2，′푥푥22答案解析

第

5

⻚（共

13

⻚）1注意到

ℎ(푥)

=

푥+

ln

푥

−

1

在

[

,

e]

上单调递增，且

ℎ(1)

=

0，e21所以当

푥∈[所以当

푥∈[,

1)

时，ℎ(푥)

<

0；当

푥∈(1,

e]

时，ℎ(푥)

>

0，e1ℎ(푥)ℎ(푥),

1)

时，푔

(푥)

=<

0；当

푥∈(1,

e]

时，푔

(푥)

=>

0，′′e푥푥221所以

푔(푥)

在

[,

1)

上单调递减，在

(1,

e]

上单调递增，e111因为

푔()

=

e

+

，푔(1)

=

1，푔(e)

=

e

−

，eee111所以当

푥∈[,

1]

时，푔(푥)∈[1,

e

+

]；当

푥∈[1,

e]

时，푔(푥)∈[1,

e

−

]，eee11因为

푔(푥)

在

[,

1)

上单调递减，在

(1,

e]

上单调递增，且

푔(푥)

=

푎

在

[

,

e]

上有两个根，ee1所以

푎∈(1,

e

−]．e故本题正确答案为

C．⼆、填空题13.

【答案】−1【解析】本题主要考查线性规划．13如下图所示作出可行域．直线

푦

=

−푥

+

2

与

푦

=

−푥

+

的交点为

(1,

1)，22当直线

푦

=

2푥

+

푧

过点

(1,

1)

时，푧

取最大值，푧max

=

1

−

2

×

1

=

−1．故本题正确答案为

−1．14.

【答案】−6【解析】本⃗⃗⃗⃗⃗题主⃗⃗⃗⃗⃗

要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积．由题意(2⃗푎2⃗⃗⃗⃗푎−

−⃗푏⃗⃗⃗⃗)푏

⃗푐⃗=⃗⃗

=(33,

×−42)+，(−4)

×

3

=

−6所以⋅−6．故本题正确答案为．15.

【答案】−4答案解析

第

6

⻚（共

13

⻚）1【解析】本题主要考查二项式定理．(푥

−

)

的展开式的通项为

푇

=

퐶

푥(−1)

푥

=

퐶

(−1)

푥，故常数项为

푇

=

퐶

(−1)

=

−4．푥34푟3(4−푟)푟−푟푟푟12−4푟33푟+14444故本题正确答案为

−4．√16.

【答案】1

+

2푐푦【解析】本题主要考查圆锥曲线和平面向量的应用．令

푥

=

푐，得到2−2=

1，푎푏22푏所以

푦

=

±2，푎푏不妨设点

퐴

在第一象限，即

퐴(푐,2)，푎푏푏⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以

퐴퐹=

(−2푐,

−2)，퐴퐵

=

(2푐,

−=

0，2)，푎푎1因为

∠퐹퐴퐵

=

90°，푏1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以

퐴퐹⋅퐴퐵

=

−4푐+42푎12所以

(푐

푐

−

푎

=

2푎푐−

푎

)

=

푏

=

4푎

푐

，22242222所以

푒

−

2푒

−

1

=，02所以

푒

=

1

±

√2，所以

푒

>

1因为

푒

=

1，+

√2所以．

1

+

√2故本题正确答案为．三、计算题17.

【答案】（1）因为

푎

(푎

−

1)

=

푎

(푎

+

1)，푛+1푛+1푛푛所以

푎(

푎푛+1+

푎−

푎

−

(푎

+

푎

)

=

0，22푛푛−

푎푛+1−

1)

=

0所以푛{푎푛+}1)(푎푛+1푛，......2

分因为数푎

列−

푎푛=各1项均为正数，所以

푛+1

{푎푛，所以数푎

列=

푛푛}是首项为푎

=

11，公差为

的等差数列，1......4

分......5

分2푎

+

3所以푛．（2）由（1）可得

푏=푎푛푎푛222푛

+

3푛+1

푛+2=(푛

+

1)

(푛

+

2)2211=−，......7

分(푛

+

1)(푛

+

2)22所以

푆=

푏+

푏+

⋯

+

푏111111푛12푛=−+−+

⋯

+−2334(푛

+

1)(푛

+

2)222222答案解析

第

7

⻚（共

13

⻚）11=<−4(푛

+

2)214，......10

分......12

分5因为

푆⩾

푆=，．36푛151⩽

푆

<364所以푛【解析】本题主要考查数列的递推与通项、等差数列以及数列的求和．（{푎1）}

对题干中的等式变形，并利用数列

{푎}

各项均为正数，得到

푎푛+1

−

푎=

1，从而可以求出数列푛푛1111푛的通项公式．（2）使用裂项法得到

푏=−，求和之后可以得到

푆

=−，从而可以判(푛

+

1)(푛

+

2)4(푛

+

2)푛22푛251⩽

푆

<．364断出푛퐵퐶

+

퐴퐵

−

퐴퐶2222퐵퐶⋅퐴퐵18.

【答案】（1）在

△퐴퐵퐶

中，由余弦定理可得

cos

∠퐶퐵퐴

=，所以

퐴퐵

퐶퐶

+

퐴퐶

=

퐴퐵=

퐵퐶

+

퐴퐵

−

2퐴퐵⋅퐵퐶

cos

45°

=

4，222222所以

퐴퐵퐶，퐴퐶퐵

=

90的中点，所以

△퐴푃

=

퐵푃是等腰푃直

角퐴三퐵角形，∠°，......2

分因为

퐶푃

퐴퐵

，点是所以⊥

푆，퐴퐴퐵퐶由题意퐶푃可知푆퐴

⊥

平面，所以

퐴퐵⊥푆퐴

，=

퐴

퐴퐵

푆퐴因为

퐶푃∩푆，퐴퐵

、

⊂

平面푆퐴퐵，所以

푆퐵

⊥

平面푆퐴퐵

，......4

分......5

分因为

퐶

푃⊂

푆平퐵面，所以⊥．퐶푀퐺푃퐺

푁퐺（2）如图푁，取푆푀

的中点

，퐺连接퐶푀

、，因为点푁

퐺//是퐶푆

的中点，点是的中点，所以

퐶푆，푆퐴퐶

푁퐺푆퐴퐶因为

푁퐺⊂//平面

푆퐴퐶，

⊄

平面，所以

푃푁//

平面푆퐴퐶

，푁퐺

푃푁

=

푁

푁퐺

푃푁푃푁퐺因为푃平푁퐺面//，푆퐴퐶∩，、⊂

平面，所以平面

푃푁퐺

平面퐴퐵퐶，=

푃퐺푃푁퐺퐴퐵퐶

=

퐴퐶......7

分......9

分因为平푃퐺面//퐴퐶

∩

平面，平面∩

平面，퐵푃퐵퐺所以所以，==

3，퐴푃

퐶퐺所以点

푃

为线段

퐴퐵

靠近点

퐴

的四等分点，1所以

푉푆−퐶푀푃=푆⋅푆퐴3△퐶푀푃答案解析

第

8

⻚（共

13

⻚）113==××

1

×

×

232212．......12

分【解析】本题主要考查点、直线、平面的位置关系和空间几何体．（1）首先根据余弦定理퐶푃计算出

퐴푆퐶퐴的퐵

长度，可以判断퐶出푃△푆퐴퐵퐵

퐶

是等腰直角三角形．根据线面垂直的判定定퐶理푀可以得到퐺

⊥

平面，从而可以得到⊥푁퐺．//퐶푆（2）取的中点

，根据三角形中位线푃定푁퐺理//可以得푆到퐴퐶，从而可以得到푁퐺//平面푆퐴퐶．根푃퐺据//面퐴

퐶面平行的判定定理可푃以得到平面平面．푆再퐶푀根푃据面面平行的性质定理可以得到，从而可以求出点

的位置，从而可以求出四面体的体积．19.

【答案】（1）这

200

名家长陪伴孩子的平均时间为

30

×

0.1

+

50

×

0.3

+

70

×

0.4

+

90

×

0.2

=

64（分钟）．[40,

60)3[60,

80)4......2

分（2）根据分[4层0,

抽60样)

的3定义可得分1数在2的抽[取60,

8人0)，分4数在퐴

的퐵抽取퐶

퐷人，

......3

分记分数在

2的人分别为(1,、2)

、(1,，3)分数(1在,

퐴)

(1,

퐵)的(1人,

퐶分)

别(1为,

퐷)、(2、,

3)、(

2，,

퐴)

(2,

퐵)3从(2,中퐶任)

取(2,

퐷人)，(可3,能퐴

)的情(3况,

퐵有)

(3,

퐶)、

(3,

퐷、)

(퐴,

퐵、)

(퐴,

퐶、)

(퐴,

퐷、)

(퐵,

퐶、)

(퐵,、퐷)

(퐶、,

퐷)、21

种，、、、、、、、、、、、......，5

共分至少有

1

人陪伴孩子的时间在

[60,

80)

的有

18

种，......6

分186所以至少有

1

人陪伴孩子的时间在

[60,

80)

的概率为

푃

=（3）补全列联表如下图：=．......7

分217200

×

(50

×

70

−

30

×

50)25所以

퐾=2=>

6.635，......10

分......12

分100

×

100

×

80

×

12032所以有

99%

的把握认为陪伴时间的多少与家长的性别有关．【解析】本题主要考查随机抽样、古典概型以及统计案例．（1）根据平均值的定义进行计算即可．

[40,

60)（2）首先根据分层抽样的方法得到分数在的抽取

人，分数在3[60,

80)的抽取

人，然后4列[60举,

8出0)所有可能的情况，并找到符合题意的情况数，从而可以求出至少有

人陪伴孩子的时间在1的概率．（3）补全列联表，然后计算出퐾2的值，并与临界值比较，再给出结论即可．答案解析

第

9

⻚（共

13

⻚）433220.

【答案】（1）因为푓

(푥)

=

−

푥

+

(푎

+

1)푥

−

푎푥，所以

푓(푥)

=

−4푥

+

2(푎

+

1)푥

−

푎

=

−(2푥

−

1)(2푥

−

푎)，......2

分......4

分′21푎令

푓(푥)

=

0

得到

푥

=

，푥

=，′2212因为

푓

(푥)

在

(2,

+∞)

上有极值，푎所以

푥=>

2，22所以

푎

>

4푎，(4,

+

)∞

．4所以实数

的取值范围是（2）设过点

푃(0,

−1)

的直线与函数

푓

(푥)

的图象相切于点

(푡,

−푡

+

(푎

+

1)푡

−

푎푡)，3324−

푡

+

(푎

+

1)푡

−

푎푡

+

1332所以

푘

=整理可得令

푔(푡)

==

푓

(푡)，......6

分......7

分′푡8푡

−

(푎

+

1)푡

+

1

=

0，3328푡

−

(푎

+

1)푡

+

1，332若过点푔

(푃푡

)(

0=,

−8

1푡

)−只2有(

푎一+条1

)直푡

线与

푓

(푥)

的图象相切，则

푔(푡)

只有一个零点，′2푎

+

1푎

+

1因为，所以当

푡∈(−∞,

0)

时，푔(푡)

>

0；当

푡∈(0,)

时，푔

(푡)

<

0；当

푡∈(,

+∞)

时，푔

(푡)

>

0，′′′44푎

+

1푎

+

1所以

푔(푡)

在

(−∞,

0)

上单调递增，在

(0,)

上单调递减，在

(,

+∞)

上单调递增，

......9

分44注意到

푔(0)

=

1

>

0，푎

+

18

푎

+

1(푎

+

1)因为

푔()

=()

−3+

14334163(푎

+

1)(푎

+

1)=−3+

12416(푎

+

1)=

−3+

148>

0，......10

分所以当

푡∈[0,

+∞)

时，푔(푡)

>

0

恒成立，8因为

푔(−1)

=

−−

푎

<

0，푔(0)

>

0，푔(푡)

在

(−∞,

0)

上单调递增，3所以函数

푔(푡)

在푔(

(−푡∞)

,

0

)R上存在唯一的零点1．综上所述−1，<函푎数<

2在上的푃(零0,

点−1个)

数为

，푓

(푥)所以当时，过点只有一条直线与的图象相切．......12

分푎【解析】本题主要考查导数的概念及其几何意义、导数的计算以及导数在研究函数中的应用．（1）对函数

푓

(푥)

求导得到

푓(푥)

=

−(2푥

−

1)(2푥

−

푎)，根据题意可以得到

푥

=

>

2，从而可以求′22出实数

푎

的取值范围．斜率

푘

=

푓4（2）设过点

푃(0,

−1)

的直线与函数

푓

(푥)

的图象相切于点

(푡,

−푡

+

(푎

+

1)푡

−

푎푡)，然后根据切线的33288(푡)

建立等式，得到

푡

−

(푎

+

1)푡

+

1

=

0．令

푔(푡)

=

푡

−

(푎

+

1)푡

+

1，求导后判断出′333232答案解析

第

10

⻚（共

13

⻚）푔(푡)

的单调性，证明出

푔(푡)

只有唯一零点，即可得到当

−1

<

푎

<

2

时，过点

푃(0,

−1)

只有一条直线与

푓

(푥)

的图象相切．√√21.

【答案】（1）由题意

2푎

=

4

2，即

푎

=

2

2，......1

分......2

分设

푃(푥0+,

푦2)√，2

+

푥00√√所以=

2，即

푥

=

2，0301√√因为

푆

푂푃푁=×

2

2|푦

|

=

6，2|푦△|

=

3，√0푥푦所以所以02+2=

1푎0푏022，134푏所以+2=

1，所以

푏=

4，......3

分......4

分2푥푦所以椭圆

퐶

的方程为2+2=

1．84（2）【

法퐴一(푥】,

푦

)

퐵(푥

,

푦

)⎧2⎩2|푂设11，푀，|

=

|푂퐴

|

+

|퐴푀|

−

2|푂퐴|

|퐴푀|

cos

푂퐴푀{222⎨⋅⋅∠{

|퐴퐵|

=

|푂퐴|

+

|푂퐵|

−

2|푂퐴|

|푂퐵|

cos

퐴푂퐵由余弦定理可得222，⋅⋅∠因为四푂边퐴形푀푂+퐴

푀퐴퐵푂퐵是=平行四|퐴边푀形|

=，|푂퐵|所以

∠cos

푂퐴푀∠+

cos

퐴π푂，퐵

=

0，∠|푂푀∠|

+

|퐴퐵|

，=

2(|푂퐴|

+

|푂퐵|

)，所以2222푦

푦1所以两式相加可得......6

分......8

分因为

푘푂퐴⋅푘푂퐵=⋅=

−

，푥1푥2221푦

，所以푥

푥

=

−2푦1퐴2퐵+12퐶⎧

푥푦因为点

、

在椭圆

上，{+=

1⎧22{{

푥

−

8

=

−2푦8141222⎨푦⎨푥{{

푥

−

8

=

−2푦11{22=

1⎩所以，即22，⎩

82422⎧{

(푥

−

8)(푥

−

8)

=

4푦

푦2222⎨{

(푥1−

8)

+2(푥

−

8)

=1−22(푦

+

푦

)⎩所以两式相乘、相加得到2222，⎧1212{

푥

+

푥

=

8将

푥푥=

−2푦푦代入可得22，......10分⎨{

푦1+

푦2=

4⎩121222|푂푀|

+

|퐴퐵|

=

2(|푂퐴|

+1|푂퐵|2)2222所=

2以(푥

+

푥

+

푦

+

푦

)22221212=

24，即

|푂푀|+

|퐴퐵|

是定值，定值为

24．......12

分22答案解析

第

11

⻚（共

13

⻚）【

法퐴二(2】√2

cos

훼,

2

sin

훼)

퐵(2√2

cos

훽,

2

sin

훽)设2

sin

훼2，sin

훽sin

훼

sin

훽

，

1푘

⋅푘=⋅==

−

，2

cos

훼

cos

훽2√√2

2

cos

훼

2

2

cos

훽푂퐴푂퐵故

cos

훼

cos

훽

+

sin

훼

sin

훽

=

cos(훽

−

훼)

=

0，令

훽

=

훼

+

，2π√故

퐵

点的坐标可修正为

퐵(−2

2

sin

훼,

2

cos

훼)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|푂푀|

+

|퐴퐵|

=

∣푂푀∣

+

∣퐴퐵∣

=

∣푂퐴

+

푂퐵∣

+

∣푂퐴

−

푂퐵∣

=

2(|푂퐴|

+

|푂퐵|

)，222222222(|푂퐴|

+

|푂퐵|

)

=

2[(8cos

훼

+

4sin

훼)

+

(8sin

훼

+

4cos

훼)]

=

24，证毕．2222220【解析】本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥0曲+线2

√．2

+

푥1√√√√（1）设

푃(푥,

푦)，根据题意得到

2푎

=

4

2、=

2、푆=×

2

2|푦

|

=

6，再根据3200△푂푃푁0푥푦2+2=

1퐶푎0푏022即可求出椭圆

的方程．（2）首先根据余弦定理以及平行四边形的