2023年第二章 导数与微分习题汇总

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐第二章导数与微分习题汇总其次章导数与微分

【内容提要】

1．导数的概念

设函数y＝f(x)在x0的某邻域（x0－δ，x0+δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x在点x0处有转变量Δx时，相应地，函数有转变量00()()yfxxfx?=+?-．若0→?x时，极限x

y

x??→?0lim存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，称此极限值为f(x)在点x0处的导数，

记为

)(0xf'或)(0xy'或0|xxy='或

0|ddxxx

y=或0|ddxxxf

=

+→?0x时，转变量比值的极限x

y

x??+

→?0

lim称f(x)在x0处的右导数，记为)(0xf+'。-→?0x时，转变量比值的极限x

y

x??-

→?0

lim称f(x)在x0处的左导数，记为)(0xf-'。2．导数的意义

导数的几何意义：)(0xf'是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。

导数的物理意义：路程对时光的导数)(0ts'是瞬时速度v(t0)。以此类推，速度对时光的导数)(0tv'是瞬时加速度a(t0)。

3．可导与延续的关系

定理若函数)(xfy=在点x0处可导，则函数在点x0处一定延续。此定理的逆命题不成立，即延续未必可导。

4．导数的运算

定理1（代数和求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则

vuvu'±'='±)(

定理2（积的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则

vuvuuv'+'=')(

定理3（商的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)≠0，则

2vvuvuvu'

-'=

'

??

???

定理4若函数)(xgu=在点x处可导，且)(ufy=在其相应点u处可导，则复合函数)]([xgfy=在x处可导，且

x

uxuyy'?'='或ddddddyyu

xux

=?5．基本初等函数求导公式

本节中我们已求出了全部基本初等函数的导数，收拾所下：

0)(='C1

)(-='μμ

μx

x

aaaxxln)(='

xxe)e(='

a

xxaln1)(log=

'

xx1)(ln='

xxcos)(sin='xxsin)(cos-='

xx2sec)(tan='xx2csc)(cot-='

xxxtansec)(sec='xxxcotcsc)(csc-=2

11)(arcsinxx-=

'2

11)(arccosxx--

='

2

11)(arctanx

x+=

'2

11)cotarc(x

+-

='

这些基本导数公式必需熟记，与各种求导法则、求导办法协作，可求初等函数的导数。

6．微分的概念

设函数)(xfy=在点x处可导，则称函数)(xf在x点的导数)(xf'与自变量增量Δx的乘积为函数)(xfy=在x处的微分，记为

xxfy?'=)(d

若xy=，则Δx＝dx，即自变量的微分等于自变量的转变量，因此函数的微分可记为

xxfyd)(d'=

由xxfyd)(d'=可知，先计算函数的导数，再乘以dx或Δx，就得到函数的微分dy。

7．微分的计算

由xxfyd)(d'=可知，微分的计算归结为导数的计算。由初等函数导数的计算公式、

法则和办法，可以直接得到微分基本公式和运算法则：d()0C=1d()dxxxμμμ-=

d()lndxxaaax=d()dxxeex=1lnd(log)daxa

xx=

1d(ln)dxxx

=

d(sin)cosdxxx=d(cos)sindxxx=-2d(tan)secdxxx=2d(cot)cscdxxx=-d(sec)sectandxxxx=?d(csc)csccotdxxxx=-?

d(arccos)xx=d(arcsdxx=21d(arctan)d1xxx=

+2

1d(arccot)d1xxx

=-+微分的运算法则如下：

四则运算法则：当u、v可微时，

d(u±v)＝du±dvd(uv)＝vdu＋udvd(Cu)＝Cdu

2ddvudvv

uuv-=??

???，(v≠0)

复合函数的微分法则：

设函数y＝f(x)可微，当x是自变量时，xxfyd)(d'=；当x是中间变量x＝g(t)时，复合函数y＝f[g(t)]的微分为xxftgxfttgxftyytd)()(d)(d)()(dd'='=''='=。

就是说，不论x是中间变量还是自变量，函数y＝f(x)的微分都可以表示为xxfyd)(d'=。因为表达形式全都，称之为一阶微分的形式不变性。

8．微分的容易应用

由微分的定义可知，当x?很小时，可以用函数)(xfy=的微分dy代替函数转变量

y?，误差仅为x?的高阶无穷小，即

xxfyyd)(d0'=≈?

由)()(00xfxxfy-?+=?，得到近似公式

xxfxfxxf?'+≈?+)()()(000

记x＝x0＋Δx，近似公式可以写为

))(()()(000xxxfxfxf-'+≈

若取x0＝0，则得到当|x|很小时，()fx的近似公式

xffxf)0()0()('+≈

微分还可以用来估量误差。若)(xfy=，测量x时产生的肯定误差为x?，当x?很小时，函数)(xfy=的肯定误差、相对误差分离计算为

|d|||yy≈?，

|

||

d|||||yyyy≈

?【习题解答】

2-1求下列函数的导数。

（1）3

421yxx=+-；

（2）2

12xxy+=；

（3）4

4

2xxy+=

；（4）y＝(x2＋3)tanx；

（5）xxyln=；（6）????

?

?-+=xxy11)1(；（7）x

x

xycos1sin+=

；（8）y＝secxtanx＋cscxcotx；

（9）2lglog2+=xxy；（10）t

t

y--

+=

1111。

解（1）2

122yx'=+

（2）2

1

yxx'=-

+（3）44385

2816616xxxxyxx

'==-（4）y'＝2xtanx+(x2＋3)sec2

x

（5）

y'=

（6）1(1y'+（7）2(sincos)(1cosx)xsinx(sinx)sin(1cos)1cosxxxxx

yxx

++--+'=

=

++

（8）y'=secxtan2x+sec3x-cscxcot2x-csc3x

（9）21logln2yx'=+

（10）

y'=

2-2设f(x)＝cosxsinx，求)0(f'、??

?

??'2πf。

解f'(x)=-sinxsinx+cosxcosx=cos2x)0(f'=1??

?

??'2πf=-1

2-3设2

1)(xx

xf-=

，求)0(f'、)2(f'。解22

2222

1(2x)1()(1)(1)

xxxfxxx+'==--)0(f'=1)2(f'=5/9

2-4求曲线y＝4x2＋4x－3在点(1，5)处的切线和法线方程。解y'=8x+4k=12

切线方程12x-y-7=0法线方程x+12y-61=0

2-5物体运动方程为s＝t＋sint，求物体运动的速度和加速度。解scosvt'==tsasin-=''=2-6求下列各函数的导数。

（1）21xy+=；（2）y＝cosaxsinbx；（3）y＝ln2x；（4）y＝lncosx；

（5）2sin2

2

xy=；（6）2

12arctanxxy-=；

（7）2

cos2

xy=；（8）2

2

arctan

x

axy-=；

（9）x

x

ysin1sin1ln

-+=；（10）2ekxy-=。

解（1）解2

x

1+=

'xy

（2）bxaxbbxaxaycoscossinsin+-='

（3）2lnx

yx

'=（4）xx

x

ytancossin-=-=

'（5）22

2sin)(2

cos2sin2xxxxxy=='（6）2

22222

12

)1()2(2)1(2)

1x2(11xxxxxxy+=+='（7）xxxysin2

1

21)2sin(2cos

2-=-='（8）22222222

2222

2

222)(

11x

aaxaxaxax

xxaxaxy-+=+=

'（9）x

xxxxyx

xxx

xxycos1cossinsin1coscosln)sin1ln(cossin1lnsin1sin1ln

=

--+='-+=+=-+=（10）2

2

2)2(ekxkxkxekxy=-='2-7求下列各隐函数的导数。

（1）y2＝apx；（2）x2＋y2－xy＝1；（3）x3＋y3－3axy＝0；（4）y＝1－xey。解（1）y2＝apx

2yy’=apy’=ap/2y（2）x2＋y2－xy＝1

2x+2yy’-y-xy’=0y’=(y-2x)/(2y-x)

（3）x3＋y3－3axy＝0

3x2+3y2y’-3ay-3axy’=0y’=(3ay-3x2)/(3y2-3ax)（4）y＝1－xey

y’=-ey-xeyy’y’=-ey/(1+xey)

2-8取对数求下列各函数的导数。

（1）xy＝(x＋1)2(x－2)3；（2）)

4)(3()

2)(1(-+-+=

xxxxy；

（3）yx＝xy；（4）ey＝xy。解（1）xy＝(x＋1)2(x－2)3

lnx+lny=2ln(x+1)+3ln(x-2)1/x+y'/y=2/(x+1)+3/(x-2)（2）)

4)(3()

2)(1(-+-+=

xxxxy

lny=ln(x+1)+ln(x-3)-ln(x+3)-ln(x-4)y'/y=1/(x+1)+1/(x-3)-1/(x+3)-1/(x-4)

（3）yx＝xyxlny=ylnxlny+xy'/y=y'lnx+y/x（4）ey＝xyy=lnx+lnyy'=1/x+y'/yy'=y/x(y-1)2-9求下列各函数的二阶导数。

（1）y＝exsinx；（2）xxy-=e2；（3）y＝2x2＋lnx；（4）y＝acosbx。解（1）y＝exsinx

(sincos)x

yexx'=+

(sinxcosx)e(cosxsinx)2ecosxxx

yex''=++-=

（2）22ex

x

yxxe--'=-224ex

x

x

yexex''=-+（3）14yxx

'=+

21

4yx

''=-

（4）sinyabbx'=-

2

cosyabbx''=-

2-10某物体降温过程中的温度为0ektuu-=，求物体的冷却速率。解0ektuku-'=-

2-11口服某药物后，血药浓度为)ee()(mtktatC=，求血药浓度的变化率。解()(ke

+mekt

mtCta--'=-

2-12一截面为倒置等边三角形的水槽，长20m，若以3m3/s速度把水注入水槽，在水面

高2m时，求水面升高的速度。解设水面高hm时体积为vm3则

2v=

v=''3v'=h=2所以

m/s)h'=2-13求下列各函数的微分。

（1）2

1x

x

y-=

；（2）322)(xay+=；（3）y＝xsinx＋cosx；（4）y＝arctanex；（5）y＝ln(1＋x4)；（6）)3cos(exyx--=-。

解（1）2

22

1dd(1)xyxx+=-

（2）

d3yx=

（3）dy＝xcosxdx（4）2dd1x

x

eyxe=+

（5）34

4dd1xyxx

=+（6）d(esin(3))dx

yxx-=2-14在括号内填入适当函数，使下列等式成立。

（1）d()＝3dx；（2）d()＝2xdx；（3）d()＝exdx；（4）d()＝sintdt；（5）d()＝2

11x+dx；（6）d()＝sec2xdx．

解（1）d(3x)＝3dx

（2）d(x2)＝2xdx

（3）d(ex)＝exdx（4）d(-cost)＝sintdt（5）d(ln(1+x))＝11x+dx

（6）d(tanx)＝sec2xdx

2-15已知2ln(1)arctanxtytt

?=+?=-?，求ddyx，22ddy

x。

解2

2

22d1d1txtt

yt?

=??+??=?+?

dd2ytx=d1d()d2yx=222d1d4ytxt+=2-16在|x|很小时，证实下列各近似公式。

（1）xex

+≈1；（2）nxxn+≈+1)1(；（3）xx≈tan；（4）xx≈+)1ln(。

解（1）

000000(),0,,()

1,()1

()()()

1x

xfxexx

xfxfxfxxfxfxx

ex

'==?===

'+?-≈?≈+

（2）

000000()(1),0,,(),()1()()()(1)1nnfxxxxxfxnfxfxxfxfxxxnx

'=+=?==='+?-≈?+≈+（3）

000000()tan,0,,()1,()0

()()()tanfxxxxxfxfxfxxfxfxxxx

'==?==='+?-≈?≈（4）

000000()ln(1),0,,()1,()0

()()()ln(1)fxxxxxfxfxfxxfxfxxxx

'=+=?==='+?-≈?+≈2-17求下列各式的近似值。

（1）01.1e；（2）

解（1）0000001.01(),1,0.01,(

),(

)()()()

1.01

x

fxexxfxefxe

fxx

fxfxx

ee'==?==='+?-≈?≈

（2）

0000001

()1000,2,(),()10300

()()()2149109300150

fxxxfxfxfxxfxfxx

'==?=-=

='+?-≈?≈-

=

2-18造一个半径为1m的球壳，厚度为1.5cm，需用材料多少立方米？解设球体积为V，半径为R，则

3

23

4,d4d,R1,dR0.0153

d0.06mVRVRRVVπππ====?≈=2-19为计算球的体积，要求误差不超过1%，度量球的半径时允许的相对误差是多少？解设球体积为V，半径为R，则

324

,d4d,

3

dd13100

d1300

VRVRRVVRVVRRRππ==?≈=≤≤

【课外练习】

一、单选题

1.设()cosx

fxx

=

，则'(0)f=（），'()fπ=（）。A．1，0B.1，-1C.0,-1D.0，12.

设()fx=

，则'(0)f=（）

。A.0B.1C.

12D.-12

3.可导的偶函数，其导函数为（）函数，可导的奇函数，其导数为（）函数。（A）奇，偶（B）偶，奇（C）奇，奇（D）不能确定

4.函数()fx在点0xx=处可导是()fx在点0xx=处可微的（）条件。A.充分不须要B.充分须要C.须要不充分D.不能确定

5.函数()fx在点0xx=处的左导数以及右导数都存在并且相等是()fx在点0xx=处可导的（）条件。

A.充分不须要

B.充分须要

C.须要不充分

D.不能确定6.函数2

yx=当x从1转变到1.01时的微分是（）。A.1.01B.0.01C.1.02D.0.02

7.设函数()fx可导且下列各极限都存在，则（）不成立。A.'

()(0)(0)lim

xfxffx→-=B.'

0(2)()()limhfahfafah→+-=

C.'

0000

()()()limxfxfxxfxx?→--?=?D.'

0000()()()lim2xfxxfxxfxx

?→+?--?=?

8.若()()

lim

xa

fxfaAxa

→-=-，A为常数，则有（）。

A.()fx在点xa=处延续

B.()fx在点xa=处可导

C.lim()xa

fx→存在D.以上都不对

9.若sinyx=，则(10)

y

=（）

。

A.sinx

B.sinx-

C.cosx

D.cosx-10.曲线33yxx=-上，切线平行于x轴的点有（）。

A.（-1,-2）B.（1,2）C.（-1,2）D.（0，0）

二、填空题

1.若1x=，而0.1x?=，则对于2yx=，y?与dy之差是；当0.01x?=时，y?与dy之差是。

2.若43()325fxxx=++，则'(0)f=，'(1)f=。

3.若()fx='(1)f=，'(4)f=。

4.由参数方程44

cossinxtyt?=?=?所确定的函数，在0t=时，此函数的导数ddy

x=；由参数方程23

23xttytt?=-?=-?

所确定的函数的二阶导数22ddy

x=。5.若已知函数2()sinfxaxbxc=++，且'(0)1f=，'(π)2π1f=-，则常数a=，常数b=。若(0)2f=，则常数c=。

6.函数sin2yxx=的微分是，函数2[ln(1)]yx=-的微分是。

7.填入适当的函数，使等号成立：d（）=3dxx，d（）=sin2dxx，

d（）=2dx

ex-。

8.设函数()yyx=由方程yexye+=所确定，则'(0)y=，''

(0)y=。9.若抛物线2

yx=与3yx=的切线平行，则自变量x取值为。

10.设函数()fx是可导的偶函数且'

(0)f存在，则'(0)f=。

三、计算及证实题

1．求下列函数的导数。

（1）2

32yx=+；（2）2

3

(1)yx=-；（3）33logyxx=；

（4）tanxyx=；（5）1cosxyx=-；（6）2

2

11xyxx

-=++。2．求下列函数的微分。

（1）1

yx

=

+；（2）sin2yxx=；（3）22x

yxe=；（4）2

2

1arctan1xyx

-=+。

3．设arctanyx=，证实它满足方程2'''(1)20xyxy++=。4．用定义求函数3()fxx=在点1x=的导数。

5．证实函数1sin,0

()0,

0xxfxx

x?

≠?=??=?在0x=处不行导。6．设2,3

(),3

xxfxaxbx?≥=?+<?，试确定,ab的值，使()fx在3x=处可导。

7．已知直线运动方程为2

105stt=+，分离令1t?=，0.1，0.01求从4t=到4tt=+?这

一段时光内运动的平均速度以及4t=时的瞬时速度。

8．求曲线3

yx=在点00(,)Pxy0(0)x≠的切线方程与法线方程。9．试确定曲线lnyx=上哪些点的切线平行于直线1yx=-。10

11．求下列函数的高阶导数。

（1）()lnfxxx=，求''()fx；（2）2

()xfxe-=，求'''()fx；

（3）()ln(1)fxx=+，求(5)

()fx；（4）3()xfxxe=，求(10)()fx；

12．现在已经测得一根圆轴的直径为43厘米，并知在测量中肯定误差不超过0.2厘米。求以此数据计算圆轴的横截面面积时所引起的误差。

13．设有一个吊桥，其铁链成一抛物线外形，桥两端系于相距100米且高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点（在支柱最下端，即铁链所系之处）下10米处。求铁链与支柱所成的夹角。

【课外练习参考答案】

其次章导数与微分

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.B

5.B

6.D

7.B

8.D

9.B10.C

二、填空题

1.0.01,00001

2.0,18

3.

，

4.0，

3

4(1)

t-5.1,1,2

6(sin22cos2)xxxdx+，

2ln(1)

1

xdxx--7.232xc+，1cos22xc-+，212xec--+

8.'1(0)ye-=-，''2(0)ye-=9.0或2

3

10.0三、计算及证实题

1.解

（1）'6yx=（2）'226(1)yxx=-

（3）2'

2

33logln3

xyxx=+（4）2'

2sectanxxxyx-=

（5）'

21cossin(1cos)xxxyx--=-（6）2'

22

41(1)xxyxx--=++

1.解

（1）21d(-

yxx=（2）d(sin22cos2)dyxxxx=+（3）2d2(1)dxyxxex=+（4）4

-2dd1x

yxx

=+3.证实

由已知arctanyx=

则'

'

21(arctan)1yxx==+，'

''

222

121(1)xyxx??==-?++??

所以2'''

(1)20xyxy++=得证。4.解由定义

332320

000

(1)(1)(1)11331(33)3

lim

limlimlimxxxxfxfxxxxxxxxx?→?→?→?→+?-+?-+?+?+?-===+?+?=???

所以'

(1)3f=。5.证实因为

()(0)1

sin0fxfxx

-=-

则0x→时，上式的极限不存在所以函数()fx在0x=处不行导。6.解

由于()fx在3x=处左、右两侧的函数表达式不同，所以要使()fx在3x=处可导，

必需使()fx在3x=处的左、右导数'(3)f-、'(3)f+都存在且相等。

因为22

'

00(3)(3)(3)3(3)lim

lim6xxfxfxfxx

+?→?→+?-+?-===??，而'

0(3)(3)[(3)](3)

(3)limlimxxfxfaxbabfaxx

-?→?→+?-+?+-+===??所以6a=

此时()fx在3x=处可延续。则(3)(3)ff-=

而0

(3)lim(3)3xffxab-?→=-?=+，2(3)39f==

所以9b=-7.解

由于平均速度22[10()5()](105)

10105sttttttvtttt

?+?++?-+===++???所以当4t=，1t?=时，55v=当4t=，0.1t?=时，50.5v=当4t=，0.01t?=时，50.05v=

4t=时的瞬时速度为

22000[10()5()](105)

limlimlim(10105)50tttsttttttvtttt

?→?→?→?+?++?-+===++?=??

8.解因为

2

20223yxxxxx

?=+?+??则'

2

2

2

00000

()lim(33)3xfxxxxxx?→=+?+?=,

所以曲线3yx=在点00(,)Pxy的切线方程是2

0003()yyxxx-=-。

由解析几何知道，若切线斜率为k，则法线斜率为1

(0)kk

-≠，所以过点00(,)Pxy的法线斜率为'2

00

11

()3fxx-

=-，因此，曲线3

yx=在点00(,)Pxy的法线方程为0020

1

()3yyxxx-=--。0(0)x≠9.解

由于两直线平行等价于两直线的斜率相等（斜率都存在时）。

而直线1yx=-的斜率为'1y=曲线lnyx=的导数'

'

1(ln)yxx

==则当1x=时，

1

1x