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第5讲向量极化恒等式极化恒等式：a∙b二a+b22-(彳)2.∖(a+b)2(a-b)2 Ia+b∣2|a-bI2变式：a∙b= ,a∙b= 4 4 4 4如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则AB∙公二AM22-MB2.A例（1）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点.BA∙C→=4,BF∙CcF=一1,则BE∙→的值为. 7答案8解析设BD=DC二m,AE二EF=FD=n,则UAD=3n.根据向量的极化恒等式，有AB∙A→C=A→2-DB2=9n2-m2=4,→∙FC=FD2-DB2=n2-m2=-1.联立解得n2=5,m2=13.8 8因此EB∙EC=ED2-DAB2=4n2-m2=7.即BE∙CE=7.8⑵如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，AAPM∙PN的取值范围是 .A B答案[0,2]解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为2\".当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为。，则PM∙PN=PO2-→2=PO2-1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1,q3]，所以PM∙PN∈[0,2].■能力提升■利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．占跟踪演练.已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B=1.AB，且对于边AB上任一点P，恒→→有PB∙PC≥P0B∙P0C,则（ ）A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C．AB=ACD．AC=BC答案D解析如图所示，取AB的中点E，因为POB=，所以PO为EB的中点，取BC的中点D,则dpO为^CEB的中位线，DP0HCE.c只严EΛ∣β根据向量的极化恒等式，有PB∙PC=PD2-DB2,PB∙p→c=POD2-DB2.又→∙PC≥P→∙P→，则1PDι≥ιPDi恒成立，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC=BC..如图所示，正方形ABCD的边长为1,A,D分别在％轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC∙OB的最大值是 .解析如图，取BC的中点M,AD的中点N，连接MN,ON,则OC∙→=OM22-1.因为OM

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