高等数学课件映射与函数

高等数学课件映射与函数第一页，共七十八页，编辑于2023年，星期二一、集合1.集合概念:集合：具有某种特定属性的事物的全体.

用A、B、C表示.第二页，共七十八页，编辑于2023年，星期二有限集：由有限个元素构成的集合.无限集：由无限个元素构成的集合.集合的元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素.用a,b,c表示.集合的表示法：列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用花括号{}括起来.特点：具有明显性,适用于有限集.第三页，共七十八页，编辑于2023年，星期二构造式法：集合与元素间的关系：（属于）集合与集合的关系：（包含）特点：具有明确性,适用于任何集合.第四页，共七十八页，编辑于2023年，星期二数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集集合A内排除0的数集.集合A内排除0与负数的数集.集合集合集合集合集合第五页，共七十八页，编辑于2023年，星期二不含任何元素的集合称为空集.空集为任何集合的子集.

若，且,则称A是B的真子集,记为.第六页，共七十八页，编辑于2023年，星期二2、集合的运算

是二个集合，定义设A、B(A与B的并集)(A与B的交集)(A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.A的余集或补集记为:例如:在实数集R中则有第七页，共七十八页，编辑于2023年，星期二设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.第八页，共七十八页，编辑于2023年，星期二证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.证明:且且反之,且注:在以后的证明中,“”表示“推出”(或“蕴含”),“”表示“等价”.且于是第九页，共七十八页，编辑于2023年，星期二直积或笛卡儿乘积例如：为xOy面上全体点的集合，记为RR第十页，共七十八页，编辑于2023年，星期二区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,3.区间和邻域第十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期二称为半开区间,称为半开区间,有限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期二无限区间用数轴可以表示区间,区间常用I表示.引进记号：（读作无穷大）（读作正无穷大）+∞(读作负无穷大）－∞

第十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期二邻域:邻域就是开区间第十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期二

点a的去心邻域：注若不强调δ的大小，点a的邻域记为U(a)点a的左δ邻域:开区间(a-δ,a)点a的右δ邻域:开区间(a,a+δ)第十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期二二、映射1.

映射(mapping)的概念第十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期二第十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期二2.关于映射定义的说明(1)

构成映射的三要素:

)3(第十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期二3.单射、满射、一一映射第十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例1该映射既非单射,又非满射.第二十页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例2该映射的几何意义:

将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[–1,1]上.该映射不是单射,是满射.第二十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例3该映射既是单射,又是满射,故而是一一映射.第二十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期二4.逆映射与复合映射第二十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期二注意:第二十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例4第二十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期二映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.第二十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期二注意:只有单射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第二十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期二三、函数1.函数概念因变量自变量定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，通常简记为D称为定义域,记作,即.第二十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期二对每个,按对应法则f

总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f

在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f

的值域,记作或f(D),即第二十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期二函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域与对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.作业第7题第三十页，共七十八页，编辑于2023年，星期二约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．例如:第三十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期二对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程给出的对应法则中,附加“”的条件,就可得到一个单值分支第三十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期二表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集称为函数的图形.第三十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期二(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo定义域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.第三十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期二(2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[1.2][-2.5]=1=-330定义域D=(－∞,+∞),值域=Z.第三十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例3函数y=2它的定义域值域它的图形是一条平行于x轴的直线.Oxyy=2第三十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例4函数定义域D=(－∞,+∞),这个函数称为绝对值函数.Oxy值域=[0,+∞).第三十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期二绝对值:运算性质:绝对值不等式:第三十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期二分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为

分段函数。

第三十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例5函数是一个分段函数.它的定义域D=[0,+∞).如:yxO1第四十页，共七十八页，编辑于2023年，星期二例6解：分段函数的定义域，是使函数有定义的实数的全体.故（1）的定义域

（2）的定义域第四十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期二第四十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期二2、函数的特性M-Myxoy=f(x)D有界无界M-MyxoD1．函数的有界性:第四十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期二(2)有界与否是和D有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:使(3)证明无界的方法:对于任意正数M,总存在第四十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期二1.有界4.无界,有界.第四十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期二2．函数的单调性:xyo第四十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期二xyo第四十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期二3.单调增4.单调减,单调增.第四十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期二3．函数的奇偶性:偶函数yxox-xsocx第四十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期二奇函数yxox-xSinx，tanx第五十页，共七十八页，编辑于2023年，星期二5.偶函数6.奇函数7.非奇非偶函数第五十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期二4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.函数sinx,cosx的周期是函数tanx的周期是第五十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期二有理数点无理数点•1xyo例10狄利克雷函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.第五十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期二3.反函数与复合函数反函数的定义:设函数是单射,则它存在逆映射称此映射为函数f

的反函数.如:函数是单射,其反函数为若函数f(x)在D上是单调函数,则也是f(D)上的单调函数.注意：反函数的求法第五十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期二DD)(xfy=函数第五十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期二

直接函数与反函数的图形关于直线对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.第五十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期二复合函数定义:定义,且函数u=g(x)在D上有则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f

构成的复合函数通常记为设函数的定义域为的定义域为设函数第五十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期二函数g与函数f

构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f

的定义域内,即注意：1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;第五十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期二∴是由这三个函数复合而成的。2.复合函数可以由两个以上的简单函数经过复合构成.第五十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期二4.函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和(差)积商;),()())((Dxxgxfxgfα=±第六十页，共七十八页，编辑于2023年，星期二5、基本初等函数1、幂函数定义域：视的取值而定。第六十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期二偶奇增增奇减第六十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期二2、指数函数第六十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期二3、对数函数第六十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期二4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数第六十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期二奇有有偶奇奇周期内增周期内减第六十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期二5、反三角函数定义域：[-1，1]值域：主值区间：主值分支：第六十七