2023年天津市高考数学试卷(文科)(含解析版)

PAGEPAGE12023年天津市高考数学试卷〔文科〕一、选择题：每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，那么集合A∩∁UB=〔〕A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5} 2．〔5分〕假设实数x，y满足条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．7 B．8 C．9 D．14 3．〔5分〕阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，那么输出i的值为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5 4．〔5分〕设x∈R，那么“1＜x＜2〞是“|x﹣2|＜1〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．〔5分〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一个焦点为F〔2，0〕，且双曲线的渐近线与圆〔x﹣2〕2+y2=3相切，那么双曲线的方程为〔〕A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1 6．〔5分〕如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，假设CM=2，MD=4，CN=3，那么线段NE的长为〔〕A． B．3 C． D． 7．〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕=2|x﹣m|﹣1〔m为实数〕为偶函数，记a=f〔log0.53〕，b=f〔log25〕，c=f〔2m〕，那么a，b，c的大小关系为〔〕A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 8．〔5分〕函数f〔x〕=，函数g〔x〕=3﹣f〔2﹣x〕，那么函数y=f〔x〕﹣g〔x〕的零点个数为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．〔5分〕i是虚数单位，计算的结果为．10．〔5分〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m〕，那么该几何体的体积为m3．11．〔5分〕函数f〔x〕=axlnx，x∈〔0，+∞〕，其中a为实数，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，假设f′〔1〕=3，那么a的值为．12．〔5分〕a＞0，b＞0，ab=8，那么当a的值为时，log2a•log2〔2b〕取得最大值．13．〔5分〕在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，那么•的值为．14．〔5分〕函数f〔x〕=sinωx+cosωx〔ω＞0〕，x∈R，假设函数f〔x〕在区间〔﹣ω，ω〕内单调递增，且函数y=f〔x〕的图象关于直线x=ω对称，那么ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔13分〕设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运发动人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运发动组队参加比赛．〔Ⅰ〕求应从这三个协会中分别抽取的运发动的人数；〔Ⅱ〕将抽取的6名运发动进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运发动中随机抽取2人参加双打比赛．〔i〕用所给编号列出所有可能的结果；〔ii〕设A为事件“编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到〞，求事件A发生的概率．16．〔13分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．17．〔13分〕如图，AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．〔Ⅰ〕求证：EF∥平面A1B1BA；〔Ⅱ〕求证：平面AEA1⊥平面BCB1；〔Ⅲ〕求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．〔13分〕{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．〔Ⅰ〕求{an}和{bn}的通项公式；〔Ⅱ〕设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．19．〔14分〕椭圆+=1〔a＞b＞0〕的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．〔Ⅰ〕求直线BF的斜率．〔Ⅱ〕设直线BF与椭圆交于点P〔P异于点B〕，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q〔Q异于点B〕，直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．〔i〕求λ的值．〔ii〕假设|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．20．〔14分〕函数f〔x〕=4x﹣x4，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕设曲线y=f〔x〕与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g〔x〕，求证：对于任意的实数x，都有f〔x〕≤g〔x〕；〔Ⅲ〕假设方程f〔x〕=a〔a为实数〕有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．

2023年天津市高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，那么集合A∩∁UB=〔〕A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，那么集合A∩∁UB={2，5}．应选：B．【点评】此题考查集合的交、并、补的混合运算，根本知识的考查．2．〔5分〕假设实数x，y满足条件，那么z=3x+y的最大值为〔〕A．7 B．8 C．9 D．14 【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A〔2，3〕，代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．应选：C．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法．3．〔5分〕阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，那么输出i的值为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】E7：循环结构．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2，S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．应选：C．【点评】此题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于根底题．4．〔5分〕设x∈R，那么“1＜x＜2〞是“|x﹣2|＜1〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2〞，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2〞∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2〞是“|x﹣2|＜1〞的充分不必要条件．应选：A．【点评】此题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．〔5分〕双曲线﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一个焦点为F〔2，0〕，且双曲线的渐近线与圆〔x﹣2〕2+y2=3相切，那么双曲线的方程为〔〕A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1 【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F〔2，0〕，求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆〔x﹣2〕2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F〔2，0〕，∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．应选：D．【点评】此题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．6．〔5分〕如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，假设CM=2，MD=4，CN=3，那么线段NE的长为〔〕A． B．3 C． D． 【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5M：推理和证明．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．应选：A．【点评】此题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比拟根底．7．〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕=2|x﹣m|﹣1〔m为实数〕为偶函数，记a=f〔log0.53〕，b=f〔log25〕，c=f〔2m〕，那么a，b，c的大小关系为〔〕A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据f〔x〕为偶函数便可求出m=0，从而f〔x〕=2|x|﹣1，这样便知道f〔x〕在[0，+∞〕上单调递增，根据f〔x〕为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞〕上：a=f〔|log0.53|〕，b=f〔log25〕，c=f〔0〕，然后再比拟自变量的值，根据f〔x〕在[0，+∞〕上的单调性即可比拟出a，b，c的大小．【解答】解：∵f〔x〕为偶函数；∴f〔﹣x〕=f〔x〕；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；〔﹣x﹣m〕2=〔x﹣m〕2；∴mx=0；∴m=0；∴f〔x〕=2|x|﹣1；∴f〔x〕在[0，+∞〕上单调递增，并且a=f〔|log0.53|〕=f〔log23〕，b=f〔log25〕，c=f〔0〕；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．应选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比拟函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞〕上，根据单调性去比拟函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．〔5分〕函数f〔x〕=，函数g〔x〕=3﹣f〔2﹣x〕，那么函数y=f〔x〕﹣g〔x〕的零点个数为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用．【分析】求出函数y=f〔x〕﹣g〔x〕的表达式，构造函数h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕，作出函数h〔x〕的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g〔x〕=3﹣f〔2﹣x〕，∴y=f〔x〕﹣g〔x〕=f〔x〕﹣3+f〔2﹣x〕，由f〔x〕﹣3+f〔2﹣x〕=0，得f〔x〕+f〔2﹣x〕=3，设h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕，假设x≤0，那么﹣x≥0，2﹣x≥2，那么h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2+x+x2，假设0≤x≤2，那么﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，那么h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，假设x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，那么h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=〔x﹣2〕2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h〔x〕=，作出函数h〔x〕的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f〔x〕﹣g〔x〕的零点个数为2个，应选：A．【点评】此题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决此题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．〔5分〕i是虚数单位，计算的结果为﹣i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法运算法那么化简求解即可．【解答】解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．【点评】此题考查复数的乘除运算，根本知识的考查．10．〔5分〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m〕，那么该几何体的体积为m3．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．【点评】此题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是根底题目．11．〔5分〕函数f〔x〕=axlnx，x∈〔0，+∞〕，其中a为实数，f′〔x〕为f〔x〕的导函数，假设f′〔1〕=3，那么a的值为3．【考点】65：导数的乘法与除法法那么．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由题意求出f'〔x〕，利用f′〔1〕=3，求a．【解答】解：因为f〔x〕=axlnx，所以f′〔x〕=alnx+ax=alnx+a，又f′〔1〕=3，所以a=3；故答案为：3．【点评】此题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．12．〔5分〕a＞0，b＞0，ab=8，那么当a的值为4时，log2a•log2〔2b〕取得最大值．【考点】3G：复合函数的单调性．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由条件可得a＞1，再利用根本不等式，求得当a=4时，log2a•log2〔2b〕取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当log2a•log2〔2b〕最大时，log2a和log2〔2b〕都是正数，故有a＞1．再利用根本不等式可得log2a•log2〔2b〕≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2〔2b〕取得最大值，故答案为：4．【点评】此题主要考查根本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．〔5分〕在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，那么•的值为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∵=，=，∴•=〔+〕•〔+〕=〔+〕•〔+〕=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：【点评】此题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决此题的关键．14．〔5分〕函数f〔x〕=sinωx+cosωx〔ω＞0〕，x∈R，假设函数f〔x〕在区间〔﹣ω，ω〕内单调递增，且函数y=f〔x〕的图象关于直线x=ω对称，那么ω的值为．【考点】HK：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式．【专题】26：开放型；57：三角函数的图像与性质．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f〔x〕=sin〔ωx+〕，由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f〔x〕的单调递增区间，结合可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f〔x〕的对称轴为：x=，k∈Z，结合可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f〔x〕=sinωx+cosωx=sin〔ωx+〕，∵函数f〔x〕在区间〔﹣ω，ω〕内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f〔x〕的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f〔x〕的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f〔x〕的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．【点评】此题主要考查了由y=Asin〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔13分〕设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运发动人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运发动组队参加比赛．〔Ⅰ〕求应从这三个协会中分别抽取的运发动的人数；〔Ⅱ〕将抽取的6名运发动进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运发动中随机抽取2人参加双打比赛．〔i〕用所给编号列出所有可能的结果；〔ii〕设A为事件“编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到〞，求事件A发生的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】〔Ⅰ〕由题意可得抽取比例，可得相应的人数；〔Ⅱ〕〔i〕列举可得从6名运发动中随机抽取2名的所有结果共15种；〔ii〕事件A包含上述9个，由概率公式可得．【解答】解：〔Ⅰ〕由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运发动的人数为3、1、2；〔Ⅱ〕〔i〕从6名运发动中随机抽取2名的所有结果为：〔A1，A2〕，〔A1，A3〕，〔A1，A4〕，〔A1，A5〕，〔A1，A6〕，〔A2，A3〕，〔A2，A4〕，〔A2，A5〕，〔A2，A6〕，〔A3，A4〕，〔A3，A5〕，〔A3，A6〕，〔A4，A5〕，〔A4，A6〕，〔A5，A6〕，共15种；〔ii〕设A为事件“编号为A5和A6的两名运发动中至少有1人被抽到〞，那么事件A包含：〔A1，A5〕，〔A1，A6〕，〔A2，A5〕，〔A2，A6〕，〔A3，A5〕，〔A3，A6〕，〔A4，A5〕，〔A4，A6〕，〔A5，A6〕共9个根本领件，∴事件A发生的概率P==【点评】此题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属根底题．16．〔13分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．〔Ⅰ〕求a和sinC的值；〔Ⅱ〕求cos〔2A+〕的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】〔Ⅰ〕通过三角形的面积以及条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；〔Ⅱ〕利用两角和的余弦函数化简cos〔2A+〕，然后直接求解即可．【解答】解：〔Ⅰ〕在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；〔Ⅱ〕cos〔2A+〕=cos2Acos﹣sin2Asin==．【点评】此题考查同角三角函数的根本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．17．〔13分〕如图，AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．〔Ⅰ〕求证：EF∥平面A1B1BA；〔Ⅱ〕求证：平面AEA1⊥平面BCB1；〔Ⅲ〕求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】〔Ⅰ〕连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；〔Ⅱ〕易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；〔Ⅲ〕取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．【解答】〔Ⅰ〕证明：连接A1B，在△A1BC中，∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；〔Ⅱ〕证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；〔Ⅲ〕取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，∴A1N平行且等于AE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°【点评】此题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．〔13分〕{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．〔Ⅰ〕求{an}和{bn}的通项公式；〔Ⅱ〕设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】〔Ⅰ〕设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，那么等差数列和等比数列的通项公式可求；〔Ⅱ〕由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．【解答】解：〔Ⅰ〕设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，由有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕有，设{cn}的前n项和为Sn，那么，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣〔2n﹣1〕×2n=﹣〔2n﹣3〕×2n﹣3．∴．【点评】此题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的根本方法和运算求解能力，是中档题．19．〔14分〕椭圆+=1〔a＞b＞0〕的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．〔Ⅰ〕求直线BF的斜率．〔Ⅱ〕设直线BF与椭圆交于点P〔P异于点B〕，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q〔Q异于点B〕，直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．〔i〕求λ的值．〔ii〕假设|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】〔Ⅰ〕通过e=、a2=b2+c2、B〔0，b〕，计算即得结论；〔Ⅱ〕设点P〔xP，yP〕，Q〔xQ，yQ〕，M〔xM，yM〕．〔i〕通过〔I〕，联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=，计算即得结论；〔ii〕通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sin∠BQP=，可得|BP|=，通过yP=2xP+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．【解答】解：〔Ⅰ〕设左焦点F〔﹣c，0〕，∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，又∵B〔0，b〕，∴直线BF的斜率k===2；〔Ⅱ〕设点P〔xP，yP〕，Q〔xQ，yQ〕，M〔xM，yM〕．〔i〕由〔I〕知a=c，b=2c，kBF=2，∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得xQ=，又∵λ=，及xM=0，∴λ===；〔ii〕∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，又∵yP=2xP+2c=﹣c，∴|BP|==c，因此=c，即c=1，∴椭圆的方程为：+=1．【点评】此题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等根底知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．20．〔14分〕函数f〔x〕=4x﹣x4，x