《高等数学》期末试卷及答案

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《高等数学》试卷（同济六版上）

一、挑选题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1、若函数x

xxf=)(，则=→)(lim0

xfx（）.

A、0

B、1-

C、1

D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（）.A、1ln

(0)xx+→B、ln(1)xx→C、cos(0)xx→D、22(2)4

xxx-→-3、满足方程0)(='xf的x是函数)(xfy=的（）.

A、极大值点

B、微小值点

C、驻点

D、间断点4、函数)(xf在0xx=处延续是)(xf在0xx=处可导的（）.

A、须要但非充分条件

B、充分但非须要条件

C、充分须要条件

D、既非充分又非须要条件

5、下列无穷积分收敛的是（）.

A、?+∞

sinxdxB、dxex?+∞

-0

2C、dxx?

+∞

1

D、dxx

?+∞01

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

6、当k=时，2

,

0(),

xexfxxkx?≤?=?+>??在0=x处延续.

7、设xxyln+=,则

_______________dx

dy

=.8、曲线xeyx

-=在点（0，1）处的切线方程是.

得分评卷人

得分评卷人

9、若?+=Cxdxxf2sin)(，C为常数，则()____________fx=.

10、定积分dxxx

x?-+5

54231

sin=____________.

三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、求极限x

xx2sin2

4lim

-+→.

12、求极限2

cos1

2

0limx

txedt

x-→?

.

13、设)1ln(25xxey+++=，求dy.

14、设函数)(xfy=由参数方程???=+=tytxarctan)1ln(2所确定，求dydx和22dxyd.

得分评卷人

15、求不定积分212sin3dxxx??+???

?.

16、设,0

()1,01xexfxxx?<?

=?≥?+?，求20

(1)fxdx-?.

四、证实题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

17、证实：dxxxnm)1(1

-?=dxxxmn)1(1

-?(Nnm∈,).

18、利用拉格朗日中值定理证实不等式：当0ab<<时，lnbabba

baa

--<<.

得分评卷人

得分评卷人

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）

19、要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才干使表面积最小？

20、设曲线2x

y=与2y

x=所围成的平面图形为A，求

（1）平面图形A的面积；

（2）平面图形A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积.

《高等数学》试卷（同济六版上）答案

一．挑选题（每小题3分，本题共15分）1-5DBCAB二．填空题（每小题3分，本题共15分）

6、1

7、

1x

x

+8、1y=9、2cos2x10、0三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、解：xxx2sin2

4lim

-+→0lim

sin2(42)

xx

xx→=++3分

0121lim28

sin2(42)xxxx→==++6分

12、解：

2

cos1

2

lim

x

dt

e

x

tx?-→2

cos

0sinlim2x

xxex

-→-=3分

1

2e

=-

6分13、解：

)

111(112

2

x

x

xy++

++=

'4分

211

x+=

6分

14、解：ttttdxdy211211

22=

++=3分

2

22

2

321

12()241dytddydx

tdt

tdtdxdx

tt-

+==

=-+6分

15、解：212122

sin(3)sin(3)(3)23

dxdxxx+=-++?

?3分

12

cos(3)2Cx

=++6分16、解：

??

??--+==-01

1

1

1

20

d)(d)(d)(d)1(xxfxxfxxfxxf01

10

d1x

x

edxx-=++??3分

1

010

|ln(1)xex-=++

11ln2e-=-+6分

四、证实题（本题共2小题，每小题8分，共16分）17、证实：1

1

(1)(1)mnmnxxdxttdt-=--??4分

1

1

(1)(1)mn

mn

ttdtxxdx

=-=-??8分

18、、证实：设f(x)=lnx,[,]xab∈，0ab<<

明显f(x)在区间[,]ab上满足拉格朗日中值定理的条件,按照定理,有

()()'()(),.fbfafbaabξξ-=-<<4分

因为1()fxx'=

,因此上式即为lnlnba

baξ

--=.

又由.abξ<<bababa

ba

ξ∴

<<当0ab<<时，

lnbabbabaa

--<<8分

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分）19、解：2Vrhπ=

∴表面积222

2

222222VVSrrhrrrrr

ππππππ=+=+=+4分令2

2'40V

Srrπ=-

=得3

2V

rπ

=

3

22Vhπ

=答：底半径3

2V

rπ=

和高3

22V

hπ

=，才干使表面积最小。8分

20、解：曲线2xy=与2

yx=的交点为（1，1），2分

于是曲线2xy=与2yx=所围成图形的面积A为

31]3132[)(10