2021-2022学年辽宁省沈阳市第五十七高级中学高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年辽宁省沈阳市第五十七高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）设f′（x）为函数f（x）的导函数，且，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定参考答案：C∵f′（x）为函数f（x）的导函数，且，∴f′（x）=cosx+2f′（），∴=cos+2，解得=﹣．∴f′（x）=cosx﹣1．由f′（x）=cosx﹣1=0，得x=0+2kπ，k∈Z．∵当x∈（0，）时，f′（x）＜0，∴当x∈（0，）时，f（x）是减函数，∴＞．故选C．2.点F为双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B．若3+=0，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：﹣=1的渐近线方程为y=±x，设F（c，0），由OA⊥FA，且OA的方程为y=x，OB的方程为y=﹣x，直线AB的方程为y=﹣（x﹣c），由解得A（，），由解得B（，﹣）由3+=0，即3+=，即3（﹣c，）+（﹣c，﹣）=0可得3（﹣c）+﹣c=0，即3a2+=4c2，由b2=c2﹣a2，化简可得3a4﹣5a2c2+2c4=0，即（a2﹣c2）（3a2﹣2c2）=0，即a2=c2，（舍）或3a2=2c2，即c2=a2，c=a=a，可得e==．故选：B．3.复数，则实数的值是（

）A．

B．

C．

D．—参考答案：A略4.下列命题中，错误的是

(

)（A）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交（B）平行于同一平面的两个不同平面平行（C）如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（D）若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线参考答案：D5.若复数z满足，则z的虚部为

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知实数满足的最大值为

A．—3

B．—2

C．1

D．2

参考答案：

C7.设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是

(

)A．直线l过点(，)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同参考答案：A8.函数的零点所在区间为A．

B.

C.

D.参考答案：C9.甲，乙，丙；丁，戊五人排队,若某两人之间至多有一人，则称这两人有“心灵感应”，则甲与乙有“心灵感应”的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B＝A．4

B．13

C．40

D．41参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．参考答案：由题意知，解得。所以这组数据的方差为。12.某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．参考答案：10【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设z=x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．但此时z最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值，代入目标函数z=x+y得z=5+5=10．即目标函数z=x+y的最大值为10．故答案为：10．13.设（其中），k是的小数点后第n位数字，，则的值等于____________参考答案：114.定义在上的偶函数，对任意的均有成立，当时，，则直线与函数的图像交点中最近两点的距离等于

．参考答案：115.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

参考答案：略16.函数的零点在区间内，则

．参考答案：017.在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积为__________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知，，点在底面ABC的射影恰好是线段BC的中点M.（1）证明：在侧棱上存在一点N，使得平面，并求出AN的长；（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积.参考答案：(1)证明：连接，在中，作于点，因为，得，因为，所以,因为，得，所以平面，所以，所以平面，又,,由，得：.(2)由(1)可知平面，所以, 所以为矩形，故;联结,,在中，,所以因为.所以.

19.已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26．{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得bn==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；Sn==n2+2n．

（Ⅱ）===，∴Tn===．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设表示前年的纯收入.（=前年的总收入-前年的总支出-投资额）(Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？(Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？参考答案：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为，设.

(Ⅰ）获取纯利润就是要求，故有，解得.又，知从第三年开始获取纯利润.

(Ⅱ）①年平均利润，当且仅当时取等号.故此方案获利（万元），此时.

②，当时，.故此方案共获利1280+160=1440（万元）.

比较两种方案，在同等数额获利的基础上,第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案.

21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为4的圆位于轴右侧，且与轴相切．

（I）求圆的方程；

（II）若椭圆的离心率为，且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．参考答案：（I）;（Ⅱ）存在，有四个这样的点.试题分析：（I）由圆心到轴距离等于半径且圆心在轴右侧可求出的值，从而求出圆心的方程;（Ⅱ）先求出椭圆的焦点坐标，因为为圆心，所以过作轴垂线交圆有两点，符合题意，又过可作圆的两和条切线，有两个切点也符合题意，所以可得在圆上有四个点符合题意.试题解析：（I）依题意，设圆的方程为．………1分

∵圆与轴相切，∴．∴圆的方程为．……………4分22.[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求C和l的直