6.4.3.2正弦定理 课件（共20张PPT）

6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理问题提出1.余弦定理的内容是什么？用它可以解哪些类型的三角形？ABCabcc2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.问题提出2.在三角形中，若已知两个内角和一边，怎样解这个三角形？ABCabc探究：正弦定理及推导思考1：在Rt△ABC中,∠C=900.锐角A、B的正弦与边a、b、c有什么等量关系？联系角C的正弦，你有什么发现？CBAabc探究：正弦定理及推导思考2在Rt△ABC中,

则有成立,在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?ABCabc探究:(1)若三角形是锐角三角形,如下图,过点C作CD⊥AB于D,D此时有

所以CD=asinB=bsinA,

即同理E探究：正弦定理及推导且仿(1)可得D（2）若三角形是钝角三角形,且角B是钝角,如下图,此时也有过点C作CD⊥AB，交AB延长线于D,BCbaAc思考3：由上知:在△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即你还有什么办法证明这个结论？探究：正弦定理及推导证明2：ODcbaCBA作外接圆O,设它的半径为R.过B作直径BD,连AD,（外接圆的直径）探究：正弦定理及推导ABCabc证明3：设i是与AB垂直的单位向量.思考4：在△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即这个结论称为正弦定理.那么利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.探究：正弦定理探究：运用正弦定理解三角形已知两角及一边解三角形例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。，解三角形.BACabc解：B=1800-450-300=1050由正弦定理得探究：运用正弦定理解三角形已知两边及其中一边的对角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当Ｂ＝60°时C=90°,例2在△ABC中，已知a=16,b=,A=30°.解三角形.C=30°,当Ｂ＝120°时B16300ABC16316变式训练1.在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.解因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.变式训练2.在△ABC中，已知c＝

，A＝45°，a＝2，解三角形.∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.延伸探究若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？在△ABC中，已知

a,b,A，解三角形。若b,A为定值，当a满足什么条件时，有两解、一解，可能无解吗？DABCabc结论探究：（1）当a<bsinA时,无解；（2）当a=bsinA或a≥b时，有且只有一解；（3）当bsinA<a<b时，有两解；1.当A为锐角时：2.当A为直角或钝角时：（1）当a≤b时,无解；（2）当a>b时,有且只有一解；

反思拓展:探究：用正弦定理定三角形形状例3在△ABC中，已知

，且sin2A＋sin2B＝sin2C.求证：△ABC为等腰直角三角形.∴a2＝b2即a＝b，又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，∴△ABC为等腰直角三角形.∴a2+b2＝c2，变式训练在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，试判断△ABC的形状.解析方法一(利用边的关系进行判断)由正弦定理和余弦定理，即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.变式训练在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，试判断△ABC的形状.解析

方法二(利用角的关系进行判断)因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B).由2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，所以sin(A－B)＝0.因为－π<A－B<π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形.归纳总结（2)已知两边和一边的对角解三角形时,可能