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一题多解一题多变（七）题型一：一题多解例题：设a+lga=10，b+10b=10，求a+b的值。解法一（结构函数）设f(x)=x+lgx，则f()blgbb(b)，由于f(x)在(0,+∞上是a=10=b+10=10+10=f10)单一递增函数，所以a=10b，故a+b=10b+b=10。解法二（图象法）因为a是方程x+lgx=10的一个根，也就是方程lgx=10-x的一个根b是方程x+10x=10的一个根，也就是方程10x=10-x的一个根令g(x)=lgx，h(x)=10x，Φ(x)=10-x，在同一坐标系中作出他们的图象，如下图：108642-5B5AC10Aa是方程g(x)=Φ(x)的根，即图中aOA=b是方程h(x)=Φ(x)的根，即图中OB=b易得OAOB=10，所以a+b=10解法三：方程x+lgx=10，x+10x=10的根为a，b由x+10x=10，得10x=10-x，x=lg(10-x)，又x+lgx=10∴lg(10-x)+lgx=10，即x(10-x)=1010，即x2-10x+1010=0x1+x2=10(虚根<0)题型二：一题多变（）若则x1+x2f(x1)+f(x2)2证明：2(2)若f(x)=x2+ax+b,则f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)22变题1：如下图，f(xi)(i=1,2,3,4)是定义在[0，1]上的四个函数，其中知足性质：“对[0，1]中的随意的x1,x2，随意[0,1],f[x1(1)x2]f(x1)(1)f(x2)恒建立”的只有（A）A、f(x1),f(x3)B、f(x2)C、f(x2),f(x3)D、f(x4)变题2：定义在R上的函数f(x)知足：如果关于随意x1,x2x1+x2)∈R都有f(2

f(x1)+f(x2)2则称函数f(x)是R上的凹函数。已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)1）求证：当a>0时，函数f(x)是凹函数；2）如果x∈[0,1]时，|f(x)|≤1，试求实数a的取值范围。1）证明：略2）实数a的取值范围是[2,0)练一小手：不查表计算：lg32+lg35+3lg2lg5解法一：原式=(lg2+lg5)(lg22-lg2lg5+lg25)+3lg2lg5lg22-lg2lg5+lg25+3lg2lg5lg22+2lg2lg5+lg25=(lg2+lg5)2

=1解法二：原式

=(lg2

lg5)3

3lg22lg5-3lg2lg

25

3lg2lg5=1-

3lg2lg5(lg

2

lg5

1)=1解法三：原式=(lg2+lg5)3-3lg2lg5(lg2+lg5)+3lg2lg51-3lg2lg5+3lg2lg5=1解法四：原式=lg32+lg35+3lg22lg5+3lg2lg25-3lg22lg5-3lg2lg25+3lg2lg5(lg2+lg5)3-3lg2lg5(lg2+lg5-1)=1解

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