2022-2023学年苏教版必修第一册二分法与求方程的近似值复习讲义

专题8.1二分法与求方程的近似值

一、考情分析

二、考点梳理

知识点一二分法求函数零点的近似值

1、二分法的概念

对于在区间们上连续不断且的函数y=/（x）,通过不断地函数

/（X）的零点所在的区间,使区间的两个端点,进而得到零点近

似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来

求«

2、用二分法求函数/（X）零点近似值的步骤（给定精确度£）

（1）确定区间口,们，使。

（2）求区间（a,Z?）的中点，x!。

（3）计算/（X。

①若/（马）=0,则—

②若则令人=修（此时零点）；

③若则令。=修（此时零点X。e一）；

（4）继续实施上述步骤，直到区间,函数的零点总位于区间匕当明和6“

按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=/(x)的近似零点，计

算终止。这时函数y=/(x)的近似零点满足给定的精确度。

知识点二函数的零点与方程的根

1.对于函数y=/(x),我们把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的:

2.函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的___J11就是函数y=/(x)的图像与x轴的

交点的:

3.方程/(*)=0有实根0函数了=/(X)的图像与x轴有o函数y=/(x)

有;

4.函数零点的存在性的判定方法

5.如果函数y=/(x)在［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有了(”才访)0,那

么＞=/⑴在区间(a,b)内有零点，即存在ce(a,〃)，使得/(c)0,这个c就是方

程/(x)=0的根.

三、题型突破

重难点题型突破1二分法求函数零点所在区间

2

例1.(1)、(2021•辽宁•大连市第三十六中学高一期中)函数f(x)=lnx-±的零点所在的大

x

致范围是()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(：」)或(3,4)D.(4,+oo)

【答案】B

【分析】

判断/(X)的单调性，结合零点存在定理即可容易判断零点范围.

【详解】

因为y=12是(。，”)上的单调增函数，y=-;在(0,也是单调增函数，

故可得〃x)=lnx-：是(0,物)上的单调增函数，则该函数至多一个零点；

又〃2)=ln2-l(0J(3)=ln3-|)0,/(x)是定义域上的连续函数，

故/(x)存在一个零点，且其范围是(2,3).

故选：B.

(2)、(2018・广东•佛山实验中学高一月考)下列函数中不能用二分法求零点的是().

A./(.r)=3x-lB.=C./(x)=|x|D./(x)=lnx

【答案】C

【分析】

根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数

值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论.

【详解】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,/(x)=3x-l在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分

法求零点；

对于B,/(力=/在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分

法求零点；

对于C,/(x)=|x|,虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分

法求零点；

对于D,/(x)=lnx在(0,+8)上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用

二分法求零点；

故选C.

【点睛】

本题考查二分法的定义以及应用，注意二分法求函数零点的条件.

(3)、(2021•全国•高一课时练习)已知函数“X)的图像是连续的，根据如下对应值表：

1234567

239-711-5-12-26

函数在区间［1,6］上的零点至少有().

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

【分析】

利用零点存在性定理即可求解.

【详解】

函数f(x)的图像是连续的，/(2)/(3)=-63<0；

"3)/(4)=-77<0；

〃4)/(5)=-55<0,

所以“X)在(2,3)、(3,4),(3,4)之间一定有零点，

即函数在区间［1,6］上的零点至少有3个.

故选：C

【变式训练1-1】、(2021•广东•汕头市潮师高级中学高一月考)函数/(x)=x+lg(x-l)-3零

点所在的整区间是()

A.(0,1)B.(L2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】

直接利用零点存在性定理求解即可.

【详解】

因为函数/(x)为单调递增函数，且/⑵=-1<0,/⑶=lg2>0

所以零点所在的区间是(2,3),故选：C.

【变式训练1-2】.(2021•北京八中高一期中)已知函数/(x)=2x3-7f-2x+7,在下列说

法中正确的是()

A.(1,0)是函数Ax)的一个零点B.函数Ax)只有两个零点

C.函数/5)在(3,4)上至少有一个零点D.函数f(x)在(3,4)上没有零点

【答案】C

【分析】

求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，函数的零点不是坐标，故错误;

对于B选项，/(x)=2x3-7x2-2x+7=(2x-7)(x2-1)=(2x-7)(x-l)(x+l),故/(x)=0得

7

x=gx=±l,即函数有三个零点，故错误：

7

对于C、D选项，x=je(3,4),故函数f(x)在(3,4)上至少有一个零点，故C正确，D错误;

故选：C

【变式训练1-3】.(2020•云南昆明八中)用二分法求函数/(x)=lgx+x-3的一个零点，算

得的部分数据如下：

/(2.5700卜-0.02/(2.5825)«-0.005/(2.5856卜-0.002

/(2.5887)®0.002“2.5917卜0.005/(2.5950)®0,009

根据此数据，可得方程x=3-lgx的一个近似解(精确到0.01)为.

【答案】2.59.

【分析】

根据表格中的数据，得到函数f(x)的零点所在区间为(2.5856,2.5887),结合零点的存在性

定理，即可求解.

【详解】

由表格中的数据，可得/(2.5856卜-0.002<0,“2.5887卜0.002>0,

根据零点的存在定理，可得函数/(x)的零点所在区间为(2.5856,2.5887),

9-I-9S父父7

故函数“X)的零点的近似值为一2_2.59(精确到0.01),

故答案为：2.59.

重难点题型突破2求函数零点的个数与方程的解个数

例2.(1)、(2021•四川•东辰国际学校高一月考)已知函数/(》)=|：:1+：产曰：'0］若方

［2J(X-4),X€(0,+8)

程/(x)=x+。在区间［-4,8］有三个不等实根，实数a的取值范围为.

【答案】(T,0)U{2}

【分析】

分区间讨论，去掉绝对值，画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出。的取值范围.

【详解】

当-4Wx<-2时，/(x)=2+(x+2)=x+4,

当-2WxW0时，/(x)=2-(x+2)=-x,

当0vxv2时，-4<x-4<-2,/(x)=2/(x-4)=2x,

当2Wx<4时，-2<x-4<0,/(x)=2/(x-4)=-2(x-4),

当4W%<6时，0<%—4<2,/(x)=2/(x-4)=4(x-4),

当6Wxv8时，2<x-4<4,,/(x)=2/(x-4)=-4(x-8),

作出函数/(x)在区间［Y，8］上的图象如图：

设直线y=x+a,要使〃x)=x+a在区间［T,8］上有个不等实根，

即直线y=x+”与函数/(x)的图象在区间［T,8］上有个交点，

由图象可知-4<。<0或4=2,

所以实数。的取值范围是(T,0)u{2}.

故答案为：(T,0)u{2}.

(2)、(2021•上海市嘉定区第二中学高三月考)已知定义域为R的奇函数/(x)的周期为2,

且xe(0,l］时，/3=叫产.若函数尸(幻=/(')_豆咚犬在区间［-3,司(加€2且加>—3)

22

上至少有5个零点，则m的最小值为.

【答案】2

【分析】

先根据条件分析函数〃x)的性质，然后将问题转化为函数y=/(x)和y=sin］x的图象交

点问题，再根据图象求解出的最小值.

【详解】

因为y=〃x)是奇函数，所以，(0)=0,又因为函数“X)的周期为2,

所以/(—2)=/(0)=〃2)=0,

在同一坐标系中作出函数y=/(x)和y=sin］x的图象(如图)，

观察图象可知y="X)和y=sin的图象在［-3,2］上有五个交点，

而函数F(x)=/(x)-sin］x在区间［-3,加］(meZ且加＞-3)上有至少有5个零点，

所以〃?22,所以"，的最小值为2.

【变式训练2-1】.(2020•张家口市第一中学高一月考)函数/(x)=^-|lgx|的零点个数为

e

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

由题意可知零点个数转化为十=|lgx|的交点个数，作出图象即可求解

【详解】

函数/(x)=J-|lgx|,由/(x)=0,可得!=|lgx|,作出y=，■和y=|lgx|的图象,

由图象可得它们有2个交点，则/(X)的零点个数为2,

故选：C.

【变式训练2-2】.(2021•湖南省岳阳县第一中学高一期中)已知函数

rY<ffl

/«=1，若存在实数b,使得关于x的方程/*)=b有三个不同的根，则

x-2mx+4tn,x>m

m的取值范围是.

【答案】(3,+8)

【分析】

在同一坐标系中，作y=f(x)与y=b的图象，利用数形结合法求解.

【详解】

当mSO时，组成/(x)的两段函数均为单调函数，因此关于关于x的方程/(x)“最多只有2个

解，不符合题意.

当m>0在同一坐标系中，作y=f(x)与y=b的图象.

当x>m时，x2—2mx+4m=(x—m)2+4m—m2,

所以要使方程f(x)=b有三个不同的根,

则有4m—m2Vm,即m2—3m>Q.

又m>0,解得m>3.

故答案为：(3,+8).

重难点题型突破3根据零点个数或零点所在区间，求参数的范围

例3.(1)、(2021•上海•高一专题练习)方程4'-2川+4相=0只有一个实数解，则实数m的

取值范围是()

A.{m\m<0}B.，，〃|0<，”<一：C.—[■D.=

I4jI4j4

【答案】D

【分析】

换元成一元二次方程，分类讨论只有一根和有两根情况.

【详解】

令f=2*>0，则方程--2r+4/〃=0只有一个正根，

当方程有唯一根时，△=4-I6〃?=0则=，，此时根为f=l符合题意；

当方程有一正一负根或一正根和0根时，有4,”40,则〃?M0.

综上所述，加40或"?=：

故选：D

x>0

(2).(2021•云南省玉溪第一中学(文))已知函数/")=e：x,，，八(为自然对数

-2d+4x+l,x40

的底数)，若函数g(x)=f(x)+区恰好有两个零点，则实数k等于.

【答案】r

【分析】

函数g(x)=f(x)+履恰好有两个零点等价于方程3=-氏有两个根，即函数'=△上与函

XX

数)，=-攵的图象有两个交点，作函数图象，观察图像可得实数h

【详解】

函数g(x)=/(x)+区恰好有两个零点，

...方程△上二一左有两个根，

X

•••函数〃。)=四与函数y=-z的图象有两个交点，

X

当x>0时，h(x)=—,hf(x)=e(:",

xx~

X>1时，^(X)>0,函数//(幻=^在(1,+8)上为增函数，

0cxe1时，h(x)<0,函数/?(》)=—在(l,+oo)上为减函数，

X

当x<0时，h(x)=-2x+4+-,函数〃(x)=-2x+4+，在(-8,0)上为减函数,

XX

由此可得函数〃（X）的图象如下:

当Tl=e时，函数〃。）=/区与函数），=一左的图象有两个交点，

X

k=-e,

故答案为：-e.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令/仞=0,如果能求出解，则有几

个解就有几个零点.（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,句上是连续不断的

曲线，且还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多

少个零点.（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看

其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

xl