2022-2023学年湖北省恩施州巴东县三校联考八年级（下）第一次质检数学试卷含解析

2022-2023学年湖北省恩施州巴东县三校联考八年级（下）第一

次质检数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列各式中，一定是二次根式的个数为（）

V3，y/m,V%2+1<V4)y/—m2—1,y(a>0)>V2a+l(a<

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是（）

A.N4：NB："=2：3：5B.a：b：c=5：3：4

C.a=V5,b=V2>c=遮D.Z.A+Z.B=2zC

3.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,

则地毯的长度至少要（）

A.5米

B.6米

C.7米

D.8米

4.实数a,b表示的点在数轴上的位置如图，则将J（a+2产+—2尸+J（a—b）2化简的

结果是（）

b

j-----L_®_L

012

A.4B.2aC.2bD.2a-2b

5.在周长为24的直角三角形中，斜边长为11,则该三角形的面积为（）

A.6B.12C.24D.48

1

+-O

6.右［a-2|+b?+4b+4+4-则—的值是（）

A.2-1V2B.4C.1D.8

7.如图，一根长25nl的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙

底端7m.如果梯子的顶端下滑4小，那么梯子的底端将向右滑动（）

A.15m

B.9m

C.7m

D.8m

8.若y=4-2+A/4-2x-3,贝+y）2°22等于（）

A.1B.5C.-5D.-1

9.如图，△4BC的顶点4B,C在边长为1的正方形网格的格点上，

则BC边长的高为（）

A.腾

B.|V5

C.2

D.色

2

10.如图、在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16。加2和12°小2的两张正方形纸片，则

图中空白部分的面积为（）

A.（4—2物cm?B.（8/一4）刖2C.（8>/3-12）cm2D.8cm2

11.如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接

而成，图中正方形4BCD,正方形EFG4,正方形MNK/的面积分别

记为Si，S2,S3,若EF=4,则S1+S2+S3的值是（）

A.32

B.80

C.38

D.48

12.设X、y、Z是两两不等的实数，且满足下列等式：〃3（y—*）3+^二屹一工尸=万打一

7x—z,则/+y3+z3-3xyz的值是（）

A.0B.1

C.3D.条件不足，无法计算

二、填空题（本大题共4小题，共12分）

13.若m=,则-264-2015巾3=

14.如图，在平面直角坐标系中，Rt△O4B的顶点4在x轴的正半轴

上.顶点B的坐标为（3,遮），点C的坐标为咳,0）,4B=60。，点P为斜

边。8上的一个动点，贝IJPA+PC的最小值为一.

15.若悟=昌成立,则久的取值范围是

16.如图，在△ABC中，AB=AC,点。为力B上一点，联结CD,BD=5,A

DC=12,BC=13,贝ij4B=—./\

£

BC

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题分）

（1）计算：

①（3+V7）（3-V7）-+（I）-1；

②等+（8-2）2-旗也-㈣；

（2）己知》=於+&,y=V3—V2，求：

①X的值；

②2/+6xy+2y2的值.

（3）先化简，再求值：-2+2%+-2＞其中％=/

x+V（x+i）z_QT）z2

18.（本小题分）

如图，有一个圆柱，它的高等于12,底面半径等于3,在圆柱的底面4点有一只蚂蚁，它想吃

到上底面上与4点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（加取3）

19.（本小题分）

如图，已知4。为△ABC的中线，延长4。，分别过点B,C作BE140,CFLAD.

(1)求证：ABED三4CFD.

(2)若NEAC=45。，AF=12,DC=13,求EF的长.

20.（本小题分）

综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，

幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的，通过折纸我们既可以得

到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识,折纸往往从长方形纸片开始，

下面就让我们带着数学的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片

蕴含着哪些丰富的数学知识.

（1）折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB,将纸片沿线段48折叠（如图②）.

问题1：重叠部分的△ABC的形状（是、不是）等腰三角形.

问题2：如果长方形纸片4B=4cm,BC=5cm,重叠部分△ABC的面积为cm2.

（2）折纸2：如图③，长方形纸片4BC。，点E为边CO上一点，将ABCE沿着直线BE折叠，使

点C的对应点F落在边4。上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点E的位置.

（3）折纸3：如图④，长方形纸片ABCD,AB=5,BC=6,若点M为射线BC上一点，ABM

沿着直线AM折叠，折叠后点B的对应点为夕，当点夕恰好落在BC的垂直平分线上时，求的

长.

21.(本小题分)

如图，在A4BC中，AB=BC=10,AC=2V10.AD1BC,垂足为D.

(1)求证：Z.B=2ACAD.

(2)求BD的长度;

(3)点P是边BC上一点，且点P到边4B和AC的距离相等，求点P到边4B距离.

22.(本小题分)

【问题背景】

勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法

【定理表述】

(1)用文字语言叙述勾股定理的内容：

【定理证明】

(2)以图1中的直角三角形为基础，延长BE到点C,使CE=a,过点C作：CD1CE,使CD=b,

连接OE,4。(如图2),则力ElDE,AD=y/2c,四边形4BCD是以a为底、(a+b)为高的直

角梯形，请利用图2证明勾股定理.

D

（3）当a*b时，利用图2,可以证明a+b＜加c.

证明步骤如下：

如图3,过点4作4F1CD于点F,则4F<4D,/.AFC=90°,

•••又，/.ABC=ABCF=90°,

二四边形48CF为

AF=.

BCAD,

又•；BC=a+b,AD=V2c，

a+b<V2c.

23.（本小题分）

如图，D为AB上一点,△ACE三△BCD,AD2+DB2=DE2,试判断△ABC的形状，并说明理

由.

24.（本小题分）

【建立模型】

课本第7页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，直线I过等腰直角三角形4BC的

直角顶点C：过点4作于点D,过点B作BEJ.，于点E；研究图形，不难发现：XADEX

CEB.（无需证明）：

【模型运用】

⑴如图2,在平面直角坐标系中，等腰RM4BC/ACB=90。,"=BC,点C的坐标为（0,-2）,

4点的坐标为(4,0),求B点坐标；

(2)如图3,在平面直角坐标系，点8(6,4),过点B作力Bly轴于点4作BC1X轴于点C,P为

线段BC上的一个动点，点Q(a,2a-4)位于第一象限.问点4P,Q能否构成以点Q为直角顶点

的等腰直角三角形,

图1

答案和解析

1.【答案】A

解：遮一定是二次根式；

当771<0时，诉!不是二次根式；

对于任意的数%,%2+1>0,则依E一定是二次根式；

延是三次方根，不是二次根式；

-m2-KO,则V—二2—1不是二次根式;

乎是二次根式；

当a<3时，2a+1可能小于0,不是二次根式.

故选：A.

根据二次根式的定义即可作出判断.

主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.

2.【答案】D

解：A."LA-.4B：4c=2：3：5,乙4++“=180。，

.♦•最大角4c=180°X五|而=90°,

••.△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.va：b：c=5：3：4,

:.b2-Vc2=a2,

・•.△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.va=y/5fb=V2»c=V3,

・•・b24-c2=a2,

・•・△48C是直角三角形，故本选项不符合题意；

D:：〃+=2ZC,+4C=180°,

・・・3ZC=180°,

・•・ZC=60°,

.・・44+乙8=120。，不能求出△4BC的一个角是直角,

即△ABC不一定是直角三角形，故本选项符合题意；

故选：D.

根据勾股定理的逆定理即可判断选项B和选项C,根据三角形的内角和定理即可判断选项A和选

项。.

本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键,

①三角形的内角和等于180。，②如果三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个

三角形是直角三角形.

3.【答案】C

解：在Rt△力BC中，AC=AMB2-BC2=4米,

故可得地毯长度=AC+BC=7米，

故选；C.

先求出4C的长，利用平移的知识可得出地毯的长度.

此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出4C的长度是解答本题

的关键.

4.【答案】A

解：由数轴知：-2<a<-l,l<b<2,a<b,

a4-2>0,h—2<0,a-b<0.

•••J(a+2)2+《(b-2尸+J(a-b)2

—|a+2|+|6-2|+\CL—b\

=a+2+2—b+b—o,

=4.

故选：A.

先根据点在数轴上的位置确定Q+2、b—2、a-b的正负，再化简绝对值，最后加减.

本题主要考查了二次根式，掌握二次根式的化简是解决本题的关键.

5.【答案】B

解：设直角三角形的一直角边长为工,另一直角边为y,

由题意可得：%+y=24-11=13,

•••(x+y)2=132①,

由勾股定理可得：x2+y2=1120,

①—②得：2xy=48,

.•・xy=24,

•••该三角形的面积为：|xy=jx24=12,

故选：B.

设直角三角形的一直角边长为x,另一直角边为y,由题意得x+y=13,则(x+=132①，再

由勾股定理得%2+y2=1仔②，①一②得2盯=48,则孙=24,即可求解.

本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握勾股定理，求出xy=24是解题的关键.

6.【答案】A

1

C+O

解：\a-2\+b2+4b+4+4-=

|a-2|+(b+2)2+0)

，a—2=0,b+2=0,c—I=0,

,-.a=2,b=-2,c=|,

:.—y/a—yfc=2—V2—=2—|V2•

故选：A.

通过因式分解把|a—2|+扭+46+4+Jc2-c+；=0化为|a—2|+(b+2)2+J(c—扔=0,

再根据非负数的性质求得a、b、c,进而代值计算原式便可.

本题考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，关键是根据非负数性质求得a、dc.

7.【答案】D

【解析】解；梯子顶端距离墙角地距离为V^=^=24(m)，

顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为J252—(24-4/=15(机)，

15-7=8(m).

故选：D.

利用勾股定理进行解答.求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离.

考查了勾股定理的应用，主要先求出两边，利用勾股定理求出第三边.

8.【答案】A

解：y—yjx-2+>/4—2x—3,

•a•x—2Z0,4—2xN0.

/.%>2,x<2.

x-2•

***y=y/x—2+V4—2x—3=0+0—3=-3•

A(x+y)2022=(2-3)2022=(-1)2022=i.

故选：A.

根据二次根式有意义的条件得x=2,从而求得y=-3,进而解决此题.

本题主要考查二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键.

9.【答案】C

解：S&ABC=3x4-ix2x3-ix2xl-|x2x4=4,

vBC=V22+42=2遮，

••.8(7边长的高=爱=誓，

故选：C.

根据勾股定理解答即可.

此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角功长分别是a,b,斜边长为c,那么

a2+b2=c2解答.

10.【答案】C

解：如图.

AHG

L

1612

BCD

正方形2222

由题意知：SABCH=HC2=16cm,S&^LMEF=LM=LF=12cm,

：・HC=4cm,LM=LF=2yj3cm-

S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCDE

=HL-LF+MC-ME

=HL-LF+MC-LF

=(HL+MC)•LF

=(HC-LM)•LF

=(4-2V3)x2V3

=(8V3—12)(cm2).

故选：C.

'欲求S空白部分~S矩形HLFG+S矩形MCDE，需求HC以及LM.由题意得S正方想^CH="'之一16cm2,

S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2,故HC=4cm,LM=LF=2由cm,进而解决此题•

本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键.

11.【答案】D

解：•••八个直角三角形全等，四边形4BCD,EFGH,MNKJ是正方形,

•••CG=KG,CF=DG=KF,

Si=(CG+DG)2

=CG2+DG2+2CG-DG

=GF2+2CG-DG,

22

S2=GF=EF,

222

S3=(KF-NF)=KF+NF-2KF-NF,

Si+S2+S3=GF2+2CG-DG+GF2+KF2+NF2-2KF-NF=3GF2=3EF2=48,

故选：D.

根据八个直角三角形全等，四边形ABC。，EFGH,MNK7是正方形，得出CG=KG,CF=DG=KF,

222

再根据Si=(CG+£»G)2,S2=GF,S3=(KF-NF),Sr+S2+S3=3EF,求出EF2的值即可.

此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据

已知得出3G?2=144是解决问题的关键.

12.【答案】A

解：依题意得：

ry-%>0

Jx-z>0

Jx3(y—x)3>0'

\x3(z-x)3>0

解得x=0,

•••y/x3(^y—x)3+y)x3(z—%)3—yjy—x—Vx—z,

Ay/y--0,

y=-z

二把x=0,y=-z代入/+y3+z3-3xyz得：原式=(-z)3+z3=0

故选：A.

由二次根式有意义可知x-z20,x3(y-x)3>0,x3(z-x)3>0,可得x=0,y=-z.代入代

数式即可求解.

此题考查了二次根式的有意义时被开方数是非负数的性质与不等式组解集的求解方法.此题比较

难，注意仔细分析.

13.【答案】0

貂.2015_2015(^016+1)—2015(师5+1)万百南

解：,7n一&病M-(侬E)(师丽j—-2015-—V2016+1,

二原式=m3(m2—2m—2015)

=m3[(m-I)2—2016]

=m3[(V2016+1-l)2-2016]

=0,

故答案为：o.

将m化简可得Tn=72016+1，代入到原式=m3[(m-I)2-2016]即可得.

本题主要考查二次根式的化简和整式的运算，熟练掌握二次根式的性质和整式运算的法则是解题

的关键.

14.【答案】苧

解：如图：作点C关于直线。8的对称点C',连接OC',CC',AC',AC'交0B于P',连接P'C,此时P'A+P'C

的值最小，最小值为线段4C'的长.

^.Rt^OAB^,

v乙B=60°,

•••ABOA=90°-60°=30°,

根据对称性可知：4coe'=30。+30。=60。，OC=OC'=；,

OCC'是等边三角形，

点的横坐标为：10C=i,纵坐标为：J©)2_(》2=泉

C'点的坐标为(；,?)，

,"(3,0),

•••4C，=](3—；)2+(5)2=亨，

故答案为：苧.

作点C关于直线0B的对称点C',连接。C',CC',AC,AC'交。8于P',连接P'C,此时P'4+P'C的

值最小，最小值为线段4C'的长，再根据勾股定理即可求解.

本题考查了轴对称-最短问题，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短

问题.

15.【答案】x=1或％=3

解-旧=官

>/x-l->/x-2Vx—1

x-2x-2

••V%—1,y/x—2—Vx—1-

**•yfx—X(y/x—2-1)—0•

x-1=0或％-2=1.

•••x=1或x=3.

检验：当％=1,x—2=­1；当％=3,X—2=1.

•••x=1或x=3.

故答案为：*=1或久=3.

根据分式的性质解决此题.

本题主要考查分母有理化，熟练掌握分式的性质是解决本题的关键.

16.【答案】16.9

解：在ABDC中，BD=5,DC=12,BC=13,

BD2+CD2=25+144=169,BC2=169,

BD2+CD2=BC2,

BCO是直角三角形，

•••Z.BDC=90°,

/.ADC=180°-乙BDC=90°,

设AB=AC=x,则40=AB-BD=x-5,

在RtA/WC中，AD2+CD2=AC2,

■■(x—5)2+144=x2,

解得：x=16.9,

•1•AB=AC=16.9,

故答案为：16.9.

先利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，从而可得NBDC=90。，然后利用平角定义可

得乙4DC=90。，再设AB=4C=x,则4D=x-5,最后在心△ADC中，利用勾股定理列出关于

x的方程，进行计算即可解答.

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以

及勾股定理是解题的关键.

17.【答案】解：(1)①原式=9-7-2+2=2；

②原式=^+3-473+4-2+712

—V4+3—4v5+4—2+2^3

=2+3-4次+4-2+2次

=7-2V3;

(2)①vx=V3+V2,y=V3—V2»

・•・%+y=V3+y/2+V3—y/2—2^3>xy—(V3+V2)(V3—V2)=3—2=1,

../+?=*=(x+=-2xy=(2V3f-2=12-2=10；

yxxyxy1

②x+y=2b，xy=lf

・•・2x2+6xy+2y2

=(2x2+4xy+2y2)+2xy

=2(x+y)24-2xy

=2x(2巡)2+2x1

=2x12+2

=24+2

=26；

1、xVx2+2x+l

(a)(-----------)-----------2-------------2

x+1(x+l)2-(x-l)z

2

_X+1Tq(%+l)

x(x+l)x2+2x+l—x24-2x—1

_1x|x+l|

—x(x+l)4%

=K+ll

-4x(x4-l)r

、,1._|%+1|_x+1__1___1

时，原式4x(x4-1)4x(x+1)4%4x12,

【解析】(1)①根据二次根式的混合计算法则和负整数指数累计算法则求解即可；②根据二次根

式的混合计算法则求解即可；

(2)①先求出x+y=2g,xy=1,再根据］+?=竺亭竺:进行求解即可;②先求出％+y=2b,

xy=1,再根据2/+6xy+2y2=2(x+y)24-2xy进行求解即可：

(3)先根据分式的混合计算法则和二次根式的性质化简，然后代值计算即可.

本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，分式的混合计算，负整数指数基，

熟知相关计算法则是解题的关键.

18.【答案】解：将此圆柱展成平面图得：

•••有一圆柱，它的高等于12,底面半径等于3,

AA'=12,BA'=A'B'=；x6兀=9,

AB=yjAA'2+A'B2=15.

故需要爬行的最短路程是15.

【解析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知.

本题主要考查最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是关键.

19.【答案】(1)证明：・••AD是△ABC的中线，

.•・BD—CD,

vBE1AD,CF14D,

・・・Z,CFD=乙BED=90°,

vZ-FDC=乙EDB,

在△BED和△CFD中，

Z.CFD=(BED

乙FDC=乙EDB,

BD=CD

••△BEDWACFD(AAS)；

(2)解：由(1)可知：ABED王XCFD,AAFC=90°,

.・・ED=FD,

vZ.EAC=45°,

・・・△4FC是等腰直角三角形，

・・・AF=FC,

vAF=12,DC=13,

在Rt△DFC中，DF=V£>C2-FC2=5.

•••EF=2DF=10.

【解析】(1)根据44s即可证明结论；

(2)结合(1)证明△4FC是等腰直角三角形，可得2F=FC,再根据勾股定理即可求出EF的长.

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌

握全等三角形的判定与性质.

20.【答案】是2V21

解：(1)问题1：如图②，设点M是纸片下边上的点,

AM

图②

•••纸片为矩形，贝IJBC〃/1M,

Z.CBA=Z.BAM,

由折叠的性质知，^MAB=^CAB,

Z.CBA=乙CAB,

.•.△4BC的形状为等腰三角形，

故答案为：是；

问题2：过点C作CH1AB于点H,则4”=BH=；4B=2,

则=yJCA2-AH2=V52-22=VH，

则小ABC的面积=；xABxCH=gx4xVH=2V21(cm2),

故答案为：2VH;

(2)以点B为圆心，以BC长度为半径作圆交AD于点尸，作NFBC的角平分线BE,交CD于点E,

作图过程如下：

AJD

(3)过点B'作8'HJ.BC于点”，交4。于点N,

B

由题意得：AB=AB'=5,

点夕恰好落在BC的垂直平分线上，故AN=DN=^40=2BC=3,

在Rt△ABW中，cos乙B'AN=器=|=sin^B'AN,

■■-AB'=5,AN=3,则B'N=4,则tan/B'AN=:

则B'H=4+5=9,

•••乙B'AN+乙AB'N=90°,乙AB'N+乙HB'M=90°,

:.乙MB'H=4B'AN,

在Rt△中，tan^HB'M=喘=*=tan^B'AN=*

解得：HM=12,

则BM=BH+HM=3+12=15.

(1)问题1：由折叠的性质知，/-MAB=/.CAB,得到NC82=NC4B,即可求解；问题2：由△4BC的

面积=TXABXCH,即可求解；

(2)以点B为圆心，以8C长度为半径作圆交4。于点F,作NFBC的角平分线BE,交CD于点E,即可

求解；

(3)求出tanNB'AN=2证明LWB'H=乙B'AN,即可求解.

本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，

灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

21.【答案】⑴证明：•••AB=AC,

:、Z.BAC=Z.C,

•・・48/C+4C+48=180。,

・・・乙B+24c=180°,

vAD1BC,

・・・Z,CAD+ZC=90°,

・•・2zC+2Z.CAD=180°,

・•・乙B=2^CAD,

(2)解：设CD=x(%>0),

在和Rt△ACD中，

vAB2-BD2=AC2-DC2=AD2,

2

：.102-(10-x)2=(2710)-x2-

x=2,

・・.BD=BC-CD=10-2=8；

(3)解：作PM"LAB于M,PN1.AC于N,且PM=PN,连接4P,

在Rt△4BD中，AD=7AB2—BD2—V102—82=6，

ABC的面积=△P4B的面积+△PAC的面积，

■•■^BC-AD=^AB-PM+^AC-PN,

10x6=(10+2V10)P/W，

PM=10-2V10.

P到4B的距离是10-2V10.

【解析】(1)由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明；

(2)设CD=x(x>0),由勾股定理得到HB2—BD2="2—DC?,列出关于x的方程，求出x的值，

即可得到答案；

(3)由三角形面积公式得到-AD=^AB-PM+^AC-PN,即可解决问题.

本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于C。的方

程；由三角形面积公式得到同B・PM+pOPN.

22.【答案】如果直角三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2矩形BC<

【解析】【定理表述】（1）解：如果直角三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+匕2=。2.

故答案为：如果直角三角形的两直角边长为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

【定理证明】（2）证明：三RMECD,

•••Z.AEB=乙EDC；

又乙EDC+乙DEC=90°,

•••/-AEB+乙DEC=90°；

Z.AED=90°；

S梯形ABCD=SRSABE+SfttADEC+SRWAED，

••­!（a+b）（a+b）=+|c2,

即g（a2+2ab+b2）=+|c2.

整理得。2+炉=c2.

【定理应用】（3）如图3,过点4作AFICD于点F,则4F<AD,Z.AFC=90°,

•••又，/.ABC=ABCF=90°,

四边形力BCF为矩形，

•••AF=BC,

BC<AD,

又BC=a+b,AD=V2c,

■■a+b<V2c.

故答案为：矩形；BC；<.

【定理表述】（1）由勾股定理得出结论；

【定理证明】（2）利用S4S可证AABE三△ECD,可得对应角相等，结合90。的角，可证乙4ED=90°,

利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a?+匕2=。2；

【定理应用】（3）根据题干中的过程及矩形的性质可直接得出结论.

本题考查了勾股定理的应用，涉及全等三角形的判定和性质，矩形的性质，面积分割法，勾股定

理等知识.熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键.

23.【答案】解：△ABC是等腰直角三角形，

理由是：因为AACE三△BCD,

所以AC=BC,乙EAC=LB,AE=BD,

因为心+"=DE2,

所以+g=DE2,

所以NE4D=90°,

所以NEAC+4£MC=90。，

所以4ZX4C+NB=90°,

所以〃CB=180°-90°=90°,

因为AC=BC,

所以△ABC是等腰直角三角形.

【解析】根据全等三角形的性质得出AC=BC,乙EAC=^B,AE=BD,根据勾股定理的逆定理

得出NE4D=90°,求出N4CB